AB— BC)=AB— BC

Construisez sur AB et AC les quarrés ABIF, ACDE ; prolongez AB d'une quantité BK = BC , et achevez le rectangle AKLE.

La base AK du rectangle est la somme des deux

* ignés AB, BC , sa hauteur AE est la différence

de ces mêmes lignes ; donc le rectangle AKLE=

(AB + BC) X (AB— BC). Mais ce même rectangle

9st composé des deux parties ABHE -|- B^LK ; et

LIYRB III. 71

la partie BHLK est égale au rectangle EDGF , car BH=DE et BK=EF; donc AKLE=l\BHE+EDGF.

Or, ces deux parties forment le quan^é ABIF moins le quarré DHIG , qui est le quarré fait sur BC ; donc

enfin (AB+BC) X (AB— BC)=ÂB— BC.'

Sckolie, Cette proposition revient à la formule d'algèbre {a-^b) (a — i)=:a'* — b*.

PROPOSITION XI

THEOREME.

Le quarré fait sur V hypoténuse d'un tiiangle rectangle est égal à la somme des quarrés faits • sur les deux autres côtés.

Soit ABC un triangle rectangle en A : ayant formé fig» 109^ des quarrés sur les trois côtés, abaissez 4^ Tangle droit sur l'hypoténuse la perpendiculaire AD que ▼ous prolongerez jusqu'en E ; tirez ensuite les diagonales AF, CH.

L angle ABF est composé de l'angle ABC plus l'angle droit CBF : l'angle CBH est composé du même angle ABC plus l'angle droit ABH ; donc l'angle ABF = HBC. Mais AB=BH comme côtés d'un même quarré, et BF=BC par 4a même raison ; donc les triangles ABF , HBC , ont un angle égal compris entre côtés é^aux ; donc ils sont égaux*. *^6, r.

Le triangle ABF est la moitié du rectangle BDEF , (ou pour abréger BE) qui a même base BF et même hauteur BD *. Le triangle HBC est pareillement la ♦pr. 2I moitié du quarré AH; car l'angle BAC étant droit ainsi que BAL , AC et AL ne font qu'une mêm^e ligne droite parallèle à HB; donc le triangle HBC et le quarré AH, qui ont la base commune BH, ont aussi la hauteur commune AB ; donc le triangle est la «moitié du quarré.

J1 eKOXBTRIX.

On a dëja prouvé que le triangle ABF est ëgal ra triangle HBG; donc le rectangle BDEF, douUe da triangle ABF, est équivalent au quarré AH, doublt du triangle HBG. On démontrera de même que le reetangle CDËG est équivalent au quarré AI ; mab kl deux rectangles BDEF, CDEG, pris ensemble, font le quarré BCGF ; donc le quarré BCGF , fait siur lliypo* ténuse , est égal à la somme des quarrés ABHL, AdK, faits sur les deux autres côtés; ou, eux d'autres termes,

BC=XB4-Âc' '

Corollaire I. Donc le quarré dun des côtés de' l'angle droit est égal au quarré de Thypotéause moins le quarré de lautrç côté, ce qu'on exprime amsi:

AB=BC— ÂC.

fig;.j^s. Corollaire H. Soit ABCD un quarré, AD sa diagonale; le triangle ABC étant rectangle et isoscele,

on aura AC2r=AB+BC=2AB ; donc lé quant fait sur la diagoruUe AG est double du quarré fait sur le coté AB.

On peut rendre sensible cette propriété en menant par les points A et C des parallèles à BD, et par les points B et D des parallèles à AG : on formera ainsi un nouveau quarré EFGH qui sera le quarré de AC. Or , on voit que EFGH contient huit triangles égaux à ABE , et que ABCD en contient quatre ; donc le quarré EFGH est double de ABCD.

Puisque AC : AB : : 2 : i , on a , en extrayant la racine quarrée , AC : AB : : V/'a : i ; donc la diagonale d'un quarré est incommensurable avec son cote,

Cest ce qu'on développera davantage dans une autre

occasion.

«g.icg. Corollaire III. On a démontré que le quarré AH

est équivalent au rectangle BDEF ; or , à cause de \\

hauteur commune BF , le quarré BCGF est au rec-r