ÂB = ^ + BC + 2 BC X CD

La perpendiculaire ne peut pas tomber au-dedans

du triangle; car si elle tombait, par exemple, en E,

le tiiangle ACE saurait à-la-fois langle droit E et

*a7,i. Tangle obtus C, ce qui est impossible*; donc elle

tombe au-dehors, et on a BD=BC+CD. De là

♦8. résulte * BD = BcV CD V 2 BCxCD. Ajoutant de

part et dautre AD et faisant les réductions comme

dans le théorème précédent , on en conclura AB

= BC4-ÂG4-2BCxCD.

Scholie. Le triangle rectangle est le seul dans lequel la somme des quarrés de deux côtés soit ^ale

XIVRK III. ' 75

au quarré du troisième ; car si l'angle compris par ces côtés est aigu , la sommée de leurs quarrés sera plus grande que le quarré du côté opposé ; s'il est obtus^

elle sera moindre.

PROPOSITION XIV

THEOREME.

Dans un triangle quelconque ABC, si on mené ^s- "»• du sommet au milieu de la base la ligne AE , je

dis qu'on aura AB-h AC=î2 AE + 2BE.

Abaissez la perpendiculaire AD sur la base BC, le triangle AEC donnera par le théorème xii ,

ÂG=Â1+ËC— aECxED.

JiC uiangle ABE donnera par Ife théorème xm ^

;Sb=ÂÊ +ÈbV 2 EB X ED.

Donc, en ajoutant et obseiTant que EB — EC, on aur(!>

ÂB 4- AC = 2 ÂÊV 2 m

Corollaire. Donc, dans tout parallélogramme ^ la somme des quarrés des cotés est égale a la somme des quarrés des diagonales.

Car les diagonales AC, BD, se coupent mutuelle- fig.n3. ment en deux parties égales au point E*; ainsi le *3a,f triangle ABC donne ,

AB V BC = 2 ÂÊ + 2 Be!

Le triangle ADC donne 'pareillement,

AD4-DC=2ÂÊV2DÊ!

Ajoutant membre à membre , en observant que BE=: DE , on aura ,

4bVâdVdcVbc=4ÂêV4d1!

Mais 4 AE est le quarré de 2 AE ou de AC ; 4 DE est le quarré de BD ; donc la somme des quarrés des côtés est égale à la somme des quarrés des diagonale^,

j6 geohbtrie;

PROPOSITION XV

THÉORÈME

♦au

*«•"*• Za iigne DE, menée parallèlement -à la base d'un triangle ABC , divise les côtés AB , AC, proportionnellement; de sorte qu'on a AD : DB : : AE ; EC.

Joignez BE et DC; les deux triangles BDE, DEC, ont même base DE ; ils ont -aussi même hauteur, puisque les sommets B et G sont situés sur une, parallèle £^ la base; donc ces triangles sont équivalents*.

Les triangles ADE, BDE, dont le sommet commun > est E , ont même hauteur et sont entre eux comme * ^' leurs bases AD , DB * ; ainsi on a ,