ADE : DEC : : AE : EC

Mais le triangle BDE=^DEC; donc, à cause du rapport commun dans ces deux proportions^ on en conclura AD : DB : : AE : EC.

Corollaire I. De là résulte componendo AD-f-DB: AD : : AE + EC : AE, ou AB : AD : : AC : AE, et aussi AB : BD : : AC : CE.

É3M15. Corollaire II. Si entre deux droites AB, CD, on mené tant de parallèles qu'on voudra AC, EF, GH, BD, etc., ces droites seront coupées proportionnelle-ment, et on aura AE : CF : : EG : FH : : GB : HD.

Car soit O le point de concours des droites AB ^ CD; dans le triangle OEF, où la ligne AC est menée parallèlement à la base EF , on é^ura OE : AE : : OF : CF, ou OE : OF : : AE : CF. Dans le triangle OGH, on ^ura semblablement OE : ËG : : OF : FH, ou OE : OF

EG ; FH ; donc , à cause du rapport commua y^

lit

livks tiî, 97

OE:OF, ces deux proportions donnent AE:CF::

EG : FH. On démontrera de la même manière que EG : FH ::GB:HD, et ainsi de suite; donc les lignes AB, CD y sont coupées proportionnellement par les parallèles EF, GH, etc.

PROPOSITION XVI

THEOREME.

Réciproquement si les côtés AB , AC , sont cou* fie* "* pés proportionnellement par la ligne DE , en sorte quon ait AD : DB : : AE : EG , je dis que la ligne DE sera parallèle à la base BC.

Car si DE n'est pas parallèle à BC , supposons que ÏX) en soit une; alors ^ suivant le théorème précédent, ou aura AD:BD::AO:OC. Mais,' par hypothèse , AD : DB : : AE : EC ; donc on aurait AO : OC :i AE:EC; proportion impossible, puisque d'une part \ Vantécéderit AE est plus grand que AO , et que de ^ l'autre le conséquent EC est plus petit que OC ; donc la parallèle à BC menée par le point D ne peut différer de DE ; donc DE est cette parallèle.

Sckolie. La même conclusion aurait lieu si on supposait la proportion AB: AD:: AC:AE. Car cette proportion donnerait AB — AD:AD::AC — AE:AE, ou BD:AD::CE:AE.

PROPOSITION XVII

THEOREME.

La ligne AD , qui divise en deux parties égales fig. îi7i î angle BAC d'un triangle , divisera la base BC m deux segments BD , DC, proportionnels aux côtés adjacents AB, ACj de sorte qu'on aura BD:DC::AB:AC.

^8 GE0METRI2.'

Par le point C menez CE parallèle à AD jusqu'à k | rencontre de BA prolongé.

Dans le triangle BCE , la ligne AD est parallèle il ♦ i5. base CE ; ainsi on a la proportion * ,