AB:DC::AC:DE::BC:CE

PROPOSITION XIX

' THÉORÈME

Deux triangles qui ont les côtés homologues proportionnels^ sont équiangles et semblables.

Supposons qu on ait BC : EF : : AB : DE : : AC : DF ; Cg i^o je dis que les triangles ABC , DEF, auront les angles «jaux, saToir, A=D, B==:E, C=:F.

tl

8d géométrie.

Faites au point E Tahgle FEG=:B et au point F l'angle EFG=G, le troisième G sera égal au troi« sieme  ^ et les deux triangles ABC , EFG y seiom ëquiangles ; donc on aura par le théorème précédent BC:EF::AB:EG : mais, par hypothèse, BC:EF::

AB: DE; donc EG=DE. On aura encore, parle \ même théorème, BC :EF : : AC : FG , or on a, par hy« . pothese , BC : EF : : AC ; DF ; donc FG == DF ; donc les triangles EGF, DEF, ont les trois côtés égaux

*"f X. chacun à chacun; donc ils sont égaux*. Mais, par construction , le triangle EGF est équiangle au trian* gle ABC ; donc aussi les triangles DEF , ABC , sont équiangles et semblables.

Scholie L On voit par ces deux dernière^ proposi» tions, que dans les triangles, légalité des angles est une suite de la proportionnalité des côtés, et ré* ciproquement , de sorte qu'une de ces conditions suffit pour assurer la similitude des triangles. Il n'en est pas de même dans les figures de plus de trois côtés; car, dès qu'il s'agit seulement des quadrilatères, on peut, ^ans changer les angles, altérer la proportion des côtés , ou , sans altérer les côtés , changer les angles; ainsi la proportionnalité des côtés ne peut être une suite de l'égalité des angles, ni

%. lai. ^ice "versâ. On voit, par exemple, qu'en menant EF;

parallèle à BC, les angles du quadrilatère AEFD

sont égaux à ceux du quadrilatère ABCD ; mais la

proportion des côtés est différente : de même , sans

changer les quatre côtés AB, BC, CD, AD, on peut

rapprocher ou éloigner le point B du point D , ce qui

altérera les angles.

.Scholie II. Les deux propositions précédentes qui

n'en font proprement qu'une, jointes à celle du

quarré de l'hypoténuse , sont les propositions les plus

importantes et les plus fécondes de la géométrie;

«lies suffisent presque seules à toutes les application^

tX à la résolution de tous les problèmes : là raison en est que toutes, les figures peuvent se partager en triangles , et un triangle quelconque en deux triangles rectangles. Ainsi les propriétés générales des triangles renferment implicitement celles de toutes 1^

PROPOSITION XX

THEOREMES

Deux triangles qui ont un angle égal compris entre côtés proportionnels , sont semblables.

Soit Fangle A = D , et supposons qu'on a AB : fig* ^^u DE : : AC : DP ; je dis que le triangle ABC est semblable à DEF. .

Prenez AG r= DE et menez GH parallèle à BC , Tangle AGH sera égal à l'angle ABC*; et le triangle *a3.i. AGH sera équiangle au triangle ABC ; on aura donc AJB : AG ; : AC : AH : mais , par hypothèse , A.B : DE : : j AC:DF, et par construction AG = DE ; donc AH=: DF. Les deux triangles AGH , DEF , ont donc un angle égal compris entre côtés égaux ; donc ils sont égaux. Or le triangle AGH est semblable à ABC; douG DEF est aussi semblable à ABC%

PROPOSITION XXI

THEOREME»

Deux triangles qui ont les côtes homologues parallèles y ou qui les. ont perpendiculaires cha^ cun à chacun , sont semblables.

Car, 1° si le côté AB est parallèle à DE , et BC à % ia3. EF , l'angle ABC sera égal à DEF* ; si de plus AC est *a6. i, parallèle à DF ^ l'angle AGB sera égal à DFE , et aussi

Onz, éd^ 6

BAC à EDF : donc les triangles ABC, Ï)EF, sont équiangles ; donc ils sont semblables.

«g. 124. 2" Soit le côté DE perpe'hdiculaire à AB, et le côté DF à AG ; dans le quadrilatère AIDH les deux angles I et H seront droits ; les quatre angles Talent

* 28, I. ensemble quatre angles droits *^ donc les deux res^ tants lAH , IDH , valent deux angles droits. Mais le» deux angles EDF , IDH , valent aussi deux angles droits; donc l'angle EDF est égal à lAH ou BAC: pareillement si le troisième côté EF est perpendi* culaire au troisième BC , on démontrera que Fangle DFE=C, et DEF=B ; donc les deux triangles ABC, DEF, qui ont les côtés perpendiculaires chacune chacun , sont équiangles et semblables.

Sckolie. Dans le cas des côtés parallèles , - les côtés homologues sont les côtés parallèles, et, dans celui des côtés perpendiculaires , ce sont les côtés perpen-. diculaires. Ainsi, dans ce dernier cas, DE est honuh logue à AB, DF à AC, et EF à BC.

Le cas des côtés perpendiculaires pourrait ofifrir une situation relative des deux triangles , différente de celle qui est supposée dans la fig. 124; mais Tégalité des angles respectifs se démontrerait toujours, soit par des quadrilatères tels que AIDH, dont deux angles sont droits , soit par la comparaison de deux triangles qui , avec des angles opposés au sommet , auraient chacun un angle droit : d'ailleurs on pourrait toujours supposer qu'on a construit au-dedans du triangle ABC un triangle DEF, dont les côtés seraient parallèles à ceux du triangle comparé à ABC^ et alors la démonstration rentrerait dans le cas de la fig. 124.

riVRS III. &3

PROPOSITION xxir.

THEOREME.

Les lignes AF, AG^ etc., menées comme on vou-^ fig. 125 dra par le sommet d'un triangle, divisent proportionnellement la base BC et sa parallèle HE, de sorte qu'on a Dl : BF : : IK : FG : : KL :GH , etc. Car, puisque DI est parallèle à BF, le triangle ADI est équiangle à ABF, et on a la proportion DI:BF :: AI: AF ; de même IK étant parallèle à FG, on a AI:AF:: IK:FG ; donc», à cause du rapport commun AI : AF, on aura DI : BF : : IK : FG. On trouvera semblablement IK:FG:: KL:GH, etc.; donc la ligne DE est divisée aux points I , K , L , comme la base BC Test aux points F, G, H.

Corollaire. Donc , si BC était divisée en paities égales aux points F, G, H, la parallèle DE serait divisée de même en parties égales aux points I, K, L.

PROPOSITION XXIII

THEOREME,

Si de V angle droit k d'un triangle rectangle on ^^ ^^^ abaisse la perpendiculaire AD sur V hypoténuse; lo Les deux triangles partiels ABD, ADC, seront semblables entre eux et au triangle total ABC;

a® Chaque coté AB ou AC sera moyen proportionnel entre ^ V hypoténuse BC et le segment adjacent BD ou DC ;

3<> La perpendiculaire kH sera moyenne proportionnelle entre les deux segments BD, DC.

Car, i** le triangle BAD et le triangle BAC ont l'angle commun B ; de plus langle droit BDA est égal à langle droit BAC ; donc le troisième angle BAD àe l'un est égal au troisième C de Tautre \ donc

ces deux triangles sont équiangles et semblables. Ou démontrera de même que le triangle DAG est semblable au triangle BAC ; donc les trois triangles sont ëquiangles et semblables entre eux.

2? Puisque le triangle BAD est semblable au triangle BAC, leurs côtés homologues sont proportionnek Or, le côté BD dans le petit triangle est homologue à BA dans le grand , parce qu^ils sont opposés à des angles égaux, BAD, BCA; l'hypoténuse BA du petit est homologue à Thypoténuse BC du grand ; donc on peut former la proportion BD : BA :: BA : BC, On aurait de la même manière DC:AC:: AG:BC; donc, a*' chacun des côtés AB , AC , est moyen proportionnel entre Thypoténuse et le segment adjacent a ce côté.

3^ Enfin la similitude des triangles ABD, ADC, donne , en comparant les côtés homologues , BD: AOxAD:DC; donc, 3® la perpendiculaire AD est moyenne proportionnelle entre les sqgments BD, DG de l'hypoténuse.

Scho/ie. La proportion fiD:AB::AB:BC donne, en égalant le produit des extrêmes à celui des moyens,

ÂbWbDxBC. On a de même AC'—DCxBC,

donc AbVÂG=BDxBC + DCxBC; le second membre est la même chose que (BD4-DC)xBC,

et il se réduit à BC X BC ou BC 5 donc on a AB

+ AG = BC ; donc le qiiarré fait sur rhypoténuse BC est égal à la somme des quarrés faits sur les deux autres côtés AB , AC. Nous retombons ainsi sur la proposition du quarré de Ihypoténuse par une voie très-différente de celle que nous avions suivie ; d'où Ton voit qu'à proprement parler , la proposition du quarré de Ihypoténuse est une suite de la proportionnalité des côtés dans les triangles équianglcs.