AB:DE::AC:DF
Et si on multiplie cette proportion terme à tepae par la proportion identique,
AG:DF::AC:D1\ il en résultera ,
ABxAG:DExDF::AcVdf!
Donc,
ABC:DEF::ÂC:DFr Donc deux triangles semblables ^ABC , DEF, sont entre eux comme, les quarrés des côtés homologues AC, DF, ou comme les quarrés de deux autres côtés homologues quelconques.
PROPOSITION XXVI
THEORBjBf.JI.
Deux polygones semblables sont composés d^un même nombre de triangles semblables chacun à chacun et semblablement disposés.
Dans le polygone ABCDE, menez d'un même angle fig. 12^^ A les diagonales AC, M) aux, autres angles. Dans l'autre polygone FGHIK, menez semblablement de l'angle F homologue à A, les diagonales FH, FI aux autres angles.
Puisque les polygones sont semblablies , l'angle ABC est égal à son homologue FGH *, et de plus les côtés * déf. a* AB, BG, sont proportionnels aux côtés FG, GHj desorte qu'on a AB.FG:: BG:GH. Il suit de-là que les triangles ABC, FGH, ont un angle: égaL compris '. . entre côtés proportionnels; donc ils sont semida"* .
88 G^OMÉTIIIX.
» ao. bles * ; donc fangle BGA est égal à GHF. Ces angles égaux étant retranchés des angles égaux BGD, GHI^ les restes ACD, FHI seront égaux : lAais puisque les triangles ABC, F6H sont semblables, on a AC:
FH :: BC:GH; dailleun^, à cause de la similitude <fos • déf. 2, polygones * , BC : GH : : CD : HI ; donc AG : FH ::l CD:HI.: mais on a déjà vu que Tangle AGD=FHI; donc les triangles ACD, FHI, ont un angle égal com* pris entre côtés proportionnels , donc ils sont sem* blables. On continuerait de même à démontrer- la similitude des triangles suivants, quel que fut le nombre des côtés des polygones proposés ; donc deux polygones semblables sont composés dun .même nombre de triangles semblables et semblablement disposés.
Scholie. La proposition inverse est également vraie : SI deux polygones sont composés (Tun mènie nombre, de triangles semblables et semblablement disposes ^ ces deux polygones seront semblables^
Car la similitude des triangles respectifs donnera l'angle AËG=FGH, BCA=GHF, AGD=FHI ; donc BGD=GHI, de même CDE=HIK, etc. De plu3, otk aura AB:FG :: BC:GH :: AC:FH :: CD:HI, etc. ; donc les deux polygones ont les angles égaux et les côté* proportionnels; donc ils sont semblables.
PROPOSITION XXVII
, THEOREME.
Les contours OU périmètres des polygones sem* blables sont comme les cotés homologuesy et leurs surfaces sont comme les quarrés de ces méînes cotes, te.xig. ^^ 1 i^ puisq^u'on a, par la nature des figures semblaUes, AB: FG :; BC;GH :: GO : HI, etc. , ©a
peut conclure de ceue suite de rapports égaux : La somme des antécédents AB + BGt^-CD, etc., périmètre de la première figure, est à la somme des conséquents FG+GH4-HI, etc. , périmètre de la seconde figpore , comme un antécédent est à son conséquent ^ ou comme le côté ÂB est à son homologue FG.
2** Puisque les triangles ABC, FGH sont semblables, on -a* ABC : FGH :: Âc'rFH; de même les ♦ a5. triangles semblables ACD, FHI, donnent ACD : FHl
r:: AG : FH^ donc , à, cause du rapport commun
AC:. FH, onà,
