OC:OA::OA:OD
qui donne ÔÂ = OC X OD.
PROPOSITION XXXI
THEOREME.
Dans un triangle ABC , si on divise V angle A eh deux fig. i33. ' parties égales par la ligne AD, le rectangle des côtés AB, AC , sera égal au rectangle des segments BD, DC , plus au . quarré de la sécante AD.
Faites passer une circonférence par les trois points A, B, G, prolongez AD jusqa*a la circonférence , et joignez CE.
Le triangle BAD est semblable au triangle £AC \ car, par hypothèse, l'angle BAD = EAC ; déplus Tangle Bz=E, puisqu'ils ont tous deux pour mesure la moitié de Tare AC ; donc ces triangles sont semblables, et les côtés homologues tiennent la proportion BA : AE : : AD : AC ; de là résulte
3^ Gé'ÔttBI^RIË.
BAXAC=AEXAD; mais AE=AIH-DE, et en mnlH^
pliant de part et d'autre par AD, on a AEX At) = AD>|- * a8. AD X DE ; d'ailleurs AD X DE=:BD X DC * ; ^onc enfini
BA X AC =:Xd+BD X DC.
PROPOSITION XXXIL
THÉOR£M£.
lis- »34. Dans tout triangle ABC, le reètangTe des deux YiStéfAB'y. AC, est égal au rectangle compris par lé diamètre GE dtt cercle circonscrit et la perpendiculai/v AD abaissée sur le troisième côté BC.
Car, en joignant AE, les triangles ABD, AEC^sont rectangles, l'un en D, l'autre en A; de plus Tàngle B::r:E*; dono ces triangles sont sembla)>les , e^ ils donnent la pcoportioit: AB:GE::AD:AC; d'où résulte ABxAC == CE X AD.
Corollaire. Si on multiplie ces quantités égales par la> même quantité" BC, on aura AB-X AC X BC = CE X AD X BC. ^' Or, AD X BC est le double de la surface du triangle *; donc le prryduit des trois côtés d^un triangle est égal à sa suîrfticemultipliée par le double dit dianietre du cercle circonscrit. Le produit de trois lignes s'appelle quelquefois un solide, par une raison qu'on verra ci-après. Sa valeur se conçoit aisément, en imaginant que les lignes sont réduites en nombres, et multipliant les nombres dont il. s'agit.
Scholie, On peut démontrer aussi que la surface dUm triangle est égale a son périmètre multiplié par la moitié du rayon du cercle inscrit.
Car les triangles AOB, BOC, AOC, qui ont leur sommet commun en O , ont pour hauteur commune le rayon du cercle inscrit ; donc la somme de ces triangles sera égale à la somme des bases AB, BC , AC , multipliée par la moitié du rayon OD ; donc la surface du triangle ABC est égale à son périmètre multiplié par la moitié du rayon du cercle
fis- 87.
inscrit.
PROPOSITION XXXIIl.
THEOREME.
Dans tout quadrilatère inscrit ABCD , le rectangle des lîg. 135. ^dcux diagonales AC, BD, est égal à la somme des rectangles des côtés opposés, de sorte qu^on a
ACXJ5D = ABXCD+ADXBC. Prenez Tare CO=AD , et tirez BO qui rencontre la dîa- •çonale AC en I.
L'angle ABD=CBI, puisque Tun a pour mesure la moitié •de AD, et l'autre la moitié de CO égal à AD. L'angle ADB= BCI, parce qu'ils sont inscrits dans le même segment AOB; donc le triangle ABD est semblable au triangle ÎBC, et on a la proportion AD:CI::BD:BC ; d'où résulte ADXBC= Çl X BD. Je dis maintenant que le triangle Api est semblable au triangle BDC ; car l'arc AD étant égal à CO, si on ajoute de part et d'autre OD, on aura l'arc AO=DC; donc l'angle ABI=DBG; de plus l'angle BAIiz:BDC, parce qu'ils sont inscpitsdansle même segment; donc les triangles >ABÏ,DBC, sont semblables, et les «ô tés homologues donnent la proportion AB : BD : : AI : CD ; d'où résulte AB X CD = AI x BD.
Ajoutant les deux résultats trouvés, et observant que AIxBD-VClxBD=<Al4-CI) xBD=ACxBDi,^on ^ura ADXBC+ABXCD=ACXBD.
Scholie, On peut démontrer de la même manière un attire théorème sur le quadrilatère inscrit.
Le triangle ABD semblable à BIC, donne la proportion BD:BC::AB:BI^ d'où résulte BIXBD = PCXAB. â on joint CO, le triangle ICO, semblable à ABI, sera semblable à BDC , et donnera la proportion BD:CO :: DClOI ; d'où résulte OIXBD=z:C0xDC , ou, à cause de CO=:AD, OIxBD=ADxDC. Ajoutant les deux résultats, et observant que BÏXBD-i-OIxBD se réduit à BOxBD, on aura, BO X BD=zAB X BC+AD X DC.
Si on ci\t pris BP = AD, et qu'on eût tiré CKP, on aurait trouvé par des raisonnements semblables , CP X C A=AB X AD+BC X CD.
q4 GéOMBT&IB.
Mais Tare BP étant égal à CO , si on ajoute de part et d'autre BC, on aura l'arc CBP=BCO ; donc la corde CP est égale à la corde BO, et p^ conséquent les rectangles BO X BD et CP X CA sont entre eux comme BD est à CA ; donc,
' BD:CA.::ABxBC-hADXDC:ADxAB4-BCxCD.
Donc les deux diagonales d'un quadrilatère inscrit sont entre elles comme les sommes des rectangles des côtés qui aboutissent à leurs extrémités*
Ces deux théorèmes peuvent servir à trouver les diagonales quand on connaît les côtés.
PROPOSITION XXXIV
THEOREME. «
fig. i36. Soit P un point donné au dedans du cercle sur le rayon AC, et soit pris un point Ç^ au- dehors sur le prolongement du même rayon , de sorte qu *on ait CP : C A : : CA : CQ ; si d'un point quelconque M de la circonférence on mené aux deux points V etQ les droites MP, MQ, je dis que ces droites seront par-tout dans un même rapport y et qu'on aura BIP:MQ::AP:AQ.
Car on a, par hypothèse, CP:CA::CA:CQ ; mettant CM À la place de CA, on iaura CP:CM:: CM:CQ; donc les triangles CPM , CQM , ont un angle égal C compris entre
* 20, 3. côtés propçrtionnels ; donc ils sont semblables *'y donc le troisième côté MP est au troisième MQ comme CP est à CM ou CA. Mais la proportion CP:CA::CA:CQ donne, dividendo, CP:CA::CA— CP:CQ— CA, ou CP:CA::AP:AQ, donc MP;MQ:: AP:AQ.
LIVÀE III. g^i
Problèmes relatifs au Livre III.
