PROBLEME PREMIER
Diviser une ligne droite . donnée en tant de parties égales qu'on voudra , ou en parties pro^ portionnelles à des lignes données.
\* Soit proposé de diviser la ligne AB en cinq fig. lî;. parties égales ; par lextrémité A on mènera la droite ^ indéfinie AG, et prenant AC dune grandeur quelconque , on portera AC cinq fois sur AG. On joindra le dernier point de division G et Textréinité B-par la ligne GB, puis on mènera CI parallèle à GB ; je dis que AI sera la cinquième partie de la ligne AB^ et qu'ainsi en portant AI cinq fois sur AB , la ligne AB sera divisée en cinq parties égales.
Car, puisque CI est parallèle à GB, les côtés AG, AB, sont coupés proportionnellement en C et I *. Mais * ^5». AC est la cinquième partie de AG ^ donc AI est la cin. quieme partie de AB.
q!* Soit proposé de diviser la ligne AB en parties fig. i38. proportionnelles aux lignes données P, Q,' R. Par l'extrémité A on tirera Tindéfinie AG, on prendra AC==:P, CD=Q, DE=R, on joindra les extrémiiés E et B, et par les points C , D , on mènera CI, DK , parallèles à EB ; je dis que la ligne AB sera divisée en parties^ AI , IK, KB, proportionnelles aux lignes données P, Q, R.
Car, à cause des parallèles CI, DK, EB, les parties AI, IK, KB, sont proportionnelles aux parties AC, CD, DE *; et par construction celles-ci sont égales * i5. aux lignes données P, Q, R.
PROBLEME II
Trouver une quatrième proportionnelle à trois lignes données A, B, G.
9^ -GéoMETRIS.
ûç. iSr. Tirez les deux lignes indéfinies DE, DF, sous un angle quelconque. Sur DE prenez DA= A et DB=B, sur DF prenez DC=G, joignez AC, et par le point B menez BX parallèle à AG ; je dis que DX sera h quatrième proportionnelle demandée : car, puisque' BX est parallèle à AC, on a la proportion DA:DB::i De jDX; or, les trois premiers termes de cette proportion sont égaux aux trois lignes données ; donc DX est la quatrième proportionnelle demandée.
Corollaire. On trouvera de même une troisième proportionnelle aux deux lignes données A, B, car elle sera la même que la quatrième proportionnelle . aux trois lignes A, B^ B.
PROBLEMB III.
Trouver une moyenne proportionnelle entre deux lignes données AetB.
t 4o. Sur la ligne indéfinie DF prenez DE==A, et ÈFnzB: sur la ligne totale DF comme diamètre décrivez la demi - circonférence DGF ; au point E élevez sur le diamètre la perpendiculaire EG, qui rencontre la circonférence en G; je dis que EG sera la moyenne proportionnelle cherchée.
Car la perpendiculaire GE, abaissée dun point de la circonférence sur le diamètre , est moyenne pro- . portionnelle entre les <leux segments du diamètre DE, ♦ 23. EF * : or, ces segments sont égaux aux lignes données A et B.
PROBLEME IV
%. 14 r. Diviser la ligne donnée AB en deux parties j
de manière que la plus grande soit moyenne
proportionnelle entre la ligne entière et Vautre
