partie

A l'extrémité B de la ligne AB élevez la perpendiculaire BC égale à la moitié de AB \ du point C

LIT&S IIZ. ^

€omnie centre , et dii rayon GB décrivez une circon- Séreùce, tirez AG, qui coupera la circonférence en D, et prenez AF=:AD ; je dis que la ligne AB sera divisée au point F de la manière demandée , c'est-à-dire qu'on aura AB:AF:: AF:FB.

Car AB étant perpendiculaire à l'extrémité du rayon GB, est une tangente ; et si on prolonge AÇ jusqu'à ce quelle rencontre de nouveau la circonférence en E^ on aura * AE : AB : : AB : AD ; donc , dis^idendo , AE *5>a. — AB:AB::AB — AD: AD. Mais, puisque le rayon BC est la moitié de AB , le diamètre DE est égal à AB, et par conséquent AE — AB=AD=AF ; oh a aussi, à cause de AF=AD, AB — AD=FB; donc AF : AB :: FB : AD ou AF ; donc , irwertendo , AB : AF ::AF:FB.

Scholie. Gette sorte de division de la ligne AB s^appelle division en moyenne et extrême raison : on en verra des usages. On peut remarquer que la sécante AE est divisée en moyenne et extrême raison au point D^ car^ puisque AB=DE, on a AE.DE::} DE;AD.

PaOBLEME V.

Par un point donné A dans V angle donné fig- «w . BCD, tirer la ligne BD de manière que les parties AB, AD, comprises entre le point A et les deux côtés de V angle, soient égales.

Par le point A menez AE parallèle à CD , prenez BE=GE, et par les points B et A tirez BAD, qui sera la ligne demandée. . ^

Car , AE étant parallèle à CD , on a BE:EC :: BA:. AD; or BE=EC ,• donc BA=: AD.

PROBLEME VI

Faire un quarré équivalent à un parallilo" gramme ou à un triangle donné.

Onz. éd. 7

gB «BOMBTEIC.

fig. i43. jO g^^i- ABCD le parallélogramme clonnë, ÂB « base, DE sa hauteur : entre AB et DE cherchez une moyenne proportionnelle XY*; je dis <jue le cpiané fait sur XY sera équivalent au parallélogramme ABGD. Car on a , par construction , AB : XY : : XY : DE ; donc

XY=ABxDE : or ABxDE est la mesure du pa**

rallélogramme, et XY celle du quarré^ donc ils sont équivalents.

§S' 144. 20 Soit ABC le triangle donné, BC sa base, AD sa hauteur : prenez une moyenne proportionnelle entre BC et la moitié de AD , et soit XY cette moyenne ; je dis que le'quarré fait sur XY sera équivalent au triangle ABC.

Car, puisqu'on a BC:XY::XY: 7 AD,, il en résulte XY?=zBC X 7AD , donc le quarré fait sur XY est équivalent au triangle ABC.

PROBLBMB VII.

fig. 14^. Faire sur la ligne donnée AD un rectangle ADEX équivalent au rectangle donné ABFC.

Cherchez une quatrième proportionnelle aux trois lignes AD, AB, AC, et soit AX cette quatrième proportionnelle, je dis que, le rectangle fait sur AD et AX sera équivalent au rectangle ABFC.

Car , puisqu'on a AD : AB : : AG : AX , il en résulte ADxAX=ABxAC; donc le rectangle ADEX est équivalent au rectangle ABFC.

PROBLEME VIII

fig. «48. Trouver en lignes le rapport du rectangle des deux lignes données A et B au rectangle des deux lignes données C e^ D.

Soit X une quatrième proportionnelle aux trois lignes B , C , D ; je dis que le rapport des deux hgam

LITRB III. 99

A et X sera égal à celui des deux rectangles A X B , CxD.

Car, puisqu'on a B:C::D:X, il en résulte CxD = BxX: donc AxB:CxD:: AxB:BxX:: A:X.

Corollaire. Donc, pour avoir le rapport des quarrés faits sur les lignes données A et C , cherchez une troisième proportionnelle X aux lignes A et C, en sorte qu'on ait A;C::C:X, et vous aurez A' :C* :: A:X,

PROBLâME IX.

Trouver en lignes le rapport du produit des fig. 149. trois lignes données A , B , C , au produit des trois lignes données P , Q , R.

Aux trois lignes données P, A, B, cherchez une quatrième proportionnelle X : aux trois lignes données C , Q , R , cherchez une quatrième proportionnelle Y. Les deux lignes X, Y, seront entre elles comme les produits A X B X G , PxQxR.

Car, puisque P:A::B:X , on a AxB=:PxX; et , en multipliant de part et d^autre par C , A X B xC=:CxPxX. De même, puisque C:Q::R:Y, il en résulte Qx R=C x Y; et, multipliant de part et d'autre pax P, on a PxQxR=PxCxY, donc le produit AxBxC est au produit PxQxR comme CxPxX est à PxCxY, ou comme X est à Y.

PROBLEME X

Faire un triangle équivalent à un polygone donné.

Soit ABCDE le polygone donné. Tirez d'abord %• »*^ la diagpnale CE , qui retranche le triangle GDE ; par le point D menez DF parallèle à CE jusqu'à la rencontre de AE prolongé ; joignez GF , et le polygone ABCDE sera équivalent au polygone ABGF qui a un iAxé de moins.

Car les triangles GDE, CFE, ont la base comiiimie CE ; ils ont aussi même hauteur , puisque leui*s soni* mets D , F , sont situés sur une ligne DF parallèle i II base; 4onc ces triangles sont équivalents. Ajoutairt de part et d autre la figure ABGE , on aura d'un côté le polygone ABCtiE, et de l'autre le polygone ABCF, qui seront équivalents.

On peut pareillement retrancher l'angle B en substituant au triangle ABC le triangle équivalent AGC, et ainsi le pentagone ABDE sera changé en un triangk équivalent GCF.

Le même procédé s'appliquera à toute autre figure; car en diminuant d'un à chaque fois le nombre des côtés , on finira par tomber sur le triangle éqtdvalent

Scholie. On a déjà vu que tout triangle peut être * pr. 6. changé en un quarré équivalent ^ , ainsi on trouvera toujours un quarré équivalent à une figure rectiligne donnée ; c'est ce qu'on appelle quarrer la fig^ure rectiligne ^ ou en trouver la quadrature.

Le problême de la quadrature du cercle consiste à trouver un quarré équivalent à un cercle dont le diamètre est donné.

PROBLEME XI

Faire un quarré qui soit égal à la somme ou à la différence de deux quarrés donnés.

Soient A et B les côtés des quarrés donnés:

<gx47- i^ S'il faut trouver un quarré égal à la somme de ces quarrés , tirez les deux lignes indéfinies ED , EF à angle droit; prenez ED=A et EG=B,* joignez DG, et DG sera le côté du quarré cherché.

Car le triangle DEG étant rectangle , le quarré fait sur DG est égal à la somme des quarrés faits sur ED et EG.

2*^ S'il faut trouver un quarré égal à la différence des quarrés donnés , formez de même l'angle droit