LIVRE III. lOI
FEH, prenez GE égal au plus petit des côtés A et B ; du point G, comme centre, et d'un rayon GH égal à Fautre côté , décrivez un arc qui coupe EH en H ; je db que le quarré fait sur EH sera égal à la différence des quarrés faits sur les lignes  et B.
Car le triangle GEH est rectangle , l'hypoténuse GH=A, et le côté GE=B; donc le quarré fait sur EH, etc.
Scholie. On peut trouver ainsi un quarré égal à la somme de tant de quarrés qu'on voudra ; car la construction qui en réduit deux à un seul , en réduira trois à deux, et ces deux-ci à un, ainsi des autres. Il en serait de même si quelques-uns des quarrés devaient être soustraits de la somme des autres.
PROBLEME XII
Construire un quarré qui soit au quarré donné ^s- '^■ AJBCD, comme la ligne M est à la ligne N.
Sur la ligne indéBnie EG , prenez EF=M , et FG = N ; sur ËG , comme diamètre , décrivez une demicirconférence , et au point F élevez sur le diamètre la perpendiculaire FH. Du point H menez les cordes HG , HE , que vous prolongierez indéfiniment : sur la première prenez HK égale au côté AB du quarré donné , et par le point K menez Kl parallèle à EG ; je dis que HI sera le côté du quarré cherché.
Car, à cause des parallèles Kl, GE, on a HI:HK :;
HE:HG; donc m\HK :: ÎÏE: HG : mais dans le triangle rectangle EHG *, le quarré de HE est au * a3. quarré de HG comme le segment EF est au segment
FG , on comme M est k N, donc HI:HK::M:N.
Mais HK=AB; donc le quarré fait sur HI est au quarré fait sur AB comme M est à N.
lOa «BOM^TRIB.
PROBLÊME XIII
fig- "9. Sur le côté FG , homologue à AB , décrire ua poljrgone semblable au polygone donné KBCJM.
Dans le polygone donné tirez les diagonales AC, AD : au point F faites langle GFH=BAG, e% am , point G l'angle FGH=ABC; les lignes FH, GH, se couperont en H , et FGH sera un triangle semblable à ABC : de même sur FH , homologue à AC , construisez le triangle FIH semblable à ADC, et sur FI, homologue à AD, construisez le triangle FIK, semblable à ADE. Le polygone FGHIK ser^C le polygone demandé, semblable à ABCDE. .
Car ces deux polygones sont composés d'un même nombre de triangles semblables et semblablement placés *.
PROBLEME Xiy.
Deux figures semblables étant données; construire une figure semblable qui soit égale à leur somme ou à leur différence.
Soient A et B deux côtés homologues des figures données , cherchez un quarré égal à la somme ou à la difFérence des quarrés faits sur A et B ; soit X le côté de ce quarré , X sera dans la figure cherchée le côté homologue à A et B dans les figures données. On construira ensuite la figure elle-même par le problême précédent.
Car les figures semblables sont comme les quarrés des côtés homologues ; or le quarré du côté X est égal à la somme ou à la différence des quarrés faits sur les côtés homologues A et B ; donc la figure faite sur le côté X est égale à la somme ou à la différence das figures semblables faites sur les côtés A et B.
litrs III. io3
PROBLÊHB XY.
Construire une figure semblable à une figure donnée f et qui soit à cette figure dans le rapport dorme ^ M ^ N.
Soit A un<;ôté de la figure donnée , X le côté homologue dans la figure cherchée ; il faudra que le quarré de X soit au quarré de A comme M est à N *. On troa. * nf, vera donc X par le problême xii; connaissant X., le reste s'acheveia par le problême xiii.
PROBLÊME XVI
Construire une figure semblable à la figure P ^' »^»' et équivalente à la figure Q.
Cherchez le côté M du quarré équivalent à la figure P 9 et le côté N du quarré équivalent à la figure Q. Soit ensuite X une quatrième proportionnelle aux trois lignes données M , N, AB ;.sur le côté X , homologue à AB, décrivez une figure semblable à la figure P ; je dis qu'elle sera de plus équivalente à la figure Q.
Car en appelant Y la figure faite sur le côté X , on
aura P:Y:: AB:X; mais, par construction, AB:X:::
M:N, ou Âb':X*::M:N'; donc P:Y::M:N! Mais on a aussi, par construction, M*=P etN'=Q; donc P:Y:: PrQ; donc Y=Q; donc la figure Y est semblable à la figure P, et équivalente à la figure Q.
PROBLEME XVII
Construire un rectangle équivalent à un % '^ quarré donné G , et dont les côtés adjacents fassent une somme donnée AB.
Sur AB, comme diamètre, décrivez une demi-circonférence , menez parallèlement au diamètre la lign# P£ à mne disunce AD égale au côté du quarré donné CL
I04 6ÉOMÉTAIB.
Du point E , où la parallèle coupe la circonférence^ abaissez sur le diamètre la perpendiculaire EF ; je dis que AF et FB seront les côtés du rectangle cherché.
Car leur somme est égale à AB; et leur rectangle • a3. AF X FB est égal au quarré de EF * , ou au quatre de AD; donc ce rectangle est équivalent au quarré donné C.
Scholîe, Il faut, pour que le problême soit possible, que la distance AD n excède pas le rayon , c'est-à-dire que le côté du quarré G n'excède pas la moitié de la ligne AB.
PROBLEME XVIII
fig.i53. construire un rectangle équivalent à un quatre C , et dont les côtés adjacents aient entre eux, la différence donnée AB.
Sur la ligne donnée AB, comme diamètre, décri* vez une circonférence; à l'extrémité du diamètre, menez la tangente AD égale au côté du quatre C : par le point D et le centre O tirez la sécante DE ; je dis que DE et DF seront les côtés adjacents du rectangle demandé.
Car \^ la différence de ces côtés est égale au diamètre EF ou AB ; 2^ le rectangle DE X DF est égal
à AD * ; donc ce rectangle sera équivalent au quarré donné C.
PROBLEME XIX
Trouver la commune mesure j sHl yen a une^ entre la diagonale et le côté du quarré.
fig. i54. Soit ABCG un quarré quelconque , AC sa diagonale. Il faut d'abord porter CB sur CA autant de fois 3™iiv? qu il peut y être contenu *, et pour cela soit décrit du centre C et du rayon GB le demi-cercle DBE : on ▼oit que CB est contenu une fois dans AC avec le reste AD, le résultat de la première opération est donc
LIVRS III. |o5
le qiijotient i avec le reste AD , qu'il faut comparer avec BC ou son égale AB.
On peut prendre AF==AD, et porter réellement AT sur AC; on trouverait qu'il y est contenu deux fois avec un reste : mais comme ce reste et les suivants vont en diminuant , et que bientôt ils échapperaient par leur petitesse , ce ne serait là qu'un moyen mécanique im|)arfait, doù l'on ne pourrait rien conclure pour décider si les lignes AC , CB, ont entre elles ou n'ont pas une commune mesure : or il est un moyen très - simple d'éviter les lignes décroissantes , et de n'avoir à opéi*er que sur des lignes qui restant toujours de la même grandeur.
En effet , l'angle ABC étant droit , AB est une tangente , et AE une sécante merfée du même point , de sorte qu'on a * AD:AB:: AB:AK Ainsi dans la se- * 3o. conde opération , où il s'agit de comparer AD avec AB , on peut, au lieu du rapport de AD à AB, prendre celui de AB à AE : or AB ou son égale CD est contenue deux fois dans AE avec le reste AD; donc le résultat de la seconde opération est le quotient 2 avec le reste AD qu'il faut comparer à AB.
La troisième opération , qui consiste à comparer AD avec AB , se réduira de même à comparer AB ou son égale CD avec AE , et on aura encore 2 pour quotient et AD pour reste.
Delà on voit que l'opération ne sera jamais terminée , et qu'ainsi il n'y a pas de commune mesure entre la diagonale et le côté du quarré : vérité qui était déjà connue par l'arithmétique ( puisque ces deux lignes sont entre elles :: i/ 2 : i)*, mais qui acquiert un * lu plus grand degré de clarté par la résolution géou: étriqué.
Jcholie, Il n'est donc pas possible non plus de trouver en nombres le rapport exact de la diagonale au côté du quarré ; mais on peut en approcher tant
I06 GBOMBTRIS.
qu^on voudra au moyen de la fraction continue qui est égale à ce rapport. La preiçiere opération a donné pour <{uotient i ; la seconde et toutes les autres à l'infini donnent a : ainsi la fraction dont il s'agit
etc. à l'infini.
• Par exemple , si on calcule cette fraction jusqu'au quatrième terme inclusivement , on trouve que sa valeur est i f| ou |^ ; de sorte que le rapport approché de la diagonale au côté du quarré est :: 4^ • ^9* 'On trouverait un rapport plus approché en calculant un plus grand nombre de termes.
