LES POLYGONES REGULIERS^ ET LA MESURE DU CERCLE

DEFINITION

U N polygone qui est à*la-fois équiangle et éciuilatéral, s^sippeUe pofy^gone régulier.

Il y a des polygones réguliers de tout nombre de côtés. Le triangle équilatéral est celui de trois côtés ; 6t le quarré, celui de quatre.

PROPOSITION PREMIERE

TBÉOEEME.

Deux polygones réguliers d'un même nombre de côtés sont deux figures semblables.

Soient , par exemple , les deux hexagones réguliers fig. i^^. ABCDEF , ahcdef; la somme des angles est la même dans Tune et dans l'autre figure; elle est égale à huit angles droits *. L'angle A est la sixième partie de *a8,ï« cette somme aussi bien que langle a; donc les deux angles A et a sont égaux ; il en est par conséquent de même des angles B et ^ ^ des angles C et ^ , etc.

De plus , puisque par la nature de ces polygones les côtés AB, BC, CD, etc. , sont égaux, ainsi que ab^ bc ycdy etc. , il est clair qu'on a les proportions AB : ab :: BC: bc:: CDicdy etc. ; donc les deux figures dont il s'agit ont les angles égaux et les côtés homologues proportionnels i donc elles sont semblables *. iw^^'

Io8 GBOMBTAll.

Corollaire, Les périmètres de deux polygones r^« guliers d'un même nombre de côtés sont entre eux comme les côtés homologues, et leurs surfiu^es sont *27«3. comme les quarrés de ces mêmes côtés ^.

Scholie. Langle d'un polygone régulier se détermine par le nombre de se& côtés comme celui d*iui ♦28,1. polygone équiangle ^.

PROPOSITION IL

THEOREME.

Tout polygone régulier peut être inscrit dam le cercle y et peut lui être circonscrit.

fig.i56. Soit ÂBGDE, etc. , le polygone dont il s^agit, ima* ginez qu'on fasse passer une circonférence par les trois points A , B , C ; soit O son centre, et OP la perpendiculaire abaissée sur le milieu du côté BG ; joignez AO et OD.

Le quadrilatère OPCD et le quadrilatère OPBA peuvent être superposés : en effet le côté OP est commun , langle OPC=OPB, puisqu'ils sont droits; donc le côté PC s appli(|uera sur son égal PB , et le point G tombera en B. De plus , par la nature du polygone, l'angle PGD=PBA, donc CD prendra la direction BA, et puisque CD = BA, le point D tom* bera en A , et les deux quadrilatères coincideroBt entsèi*ement Tun avec lauti^. La distance OD est donc égale à AO , et par conséquent la circonférence qui passe par les trois points A , B , G , passera aussi par le point D : mais , par un raisonnement semblable , on prouvera que la circonférence qui passe par les trois sommets B , G , D , passera par le somme suivant E, et ainsi de suite; donc la même circonférence qui passe par les points A, B, G, passe par tous les sommets des angles du polygone, et le polygone est inscrit dans, cette circonférence. ^

En «econd lieu , par rapport à cette circonférence, tQVis les côtes AB , BG , CD , etc., sont des cordes égales ; elles sont donc également éloignées du centre^; donc * 8,aw si du point O , comme centre , et du rayon OP , on décrit une circonférence , cette circonférence touchera le côté BG et tons les autres côtés du polygone , chacun dans son milieu, et la circonférence sera in« scrite dans le polygone, ou le polygone circonscrit à la circonférence. >

Scholie I. Le point O , centre commun du cercle inscrit et du cercle circonscrit , peut être regardé aussi comme le centre du polygone , et par cette raison on appelle angle au centre y Tangle ÂOB formé par les deux rayons menés aux extrémités d'un même côté AB.

Puisque toutes les cordes AB , BG , etc. , sont égales, il est clair que tous les angles au centre sont égaux , et ({uainsi la valeur de chacun se trouve en divisant quatre angles droits par le nombre des côtés du polygope.

Scholie II. Pour inscrire un polygone régulier d'un certain nombre de côtés dans une circonférence donnée, il ne s'agit que de diviser la circonférence en autant de parties égales que le polygone doit avoir de côtés ; car, les arcs étant égaux, les cordes AB , BG, %.x.'.8. CD , etc. , seront égales ; les triangles ABO , fiOG , COD , etc. , seront égaux aussi , parce qu'ils sont équilatéraux entre eux ; donc tous les angles ABC , BGD , GDE , etc., seront égaux ; donc la figure ABCDE, etc. , sera un polygone régulier.

PROPOSITION III

PAOBIiEME.

Inscrire un quarré dans une circonférence donnée.

IIO asOtfETAIEk

ûg.iSj. Tirez deux diamètres ,ÂG , BD , qui se coupent à angles droits ; joignez les extrémitës AyS^G^D^etU 'figure ABGD seka le quarré inserit : car les angla AOB , BOG , etc. , étant ^aux , les cordes AB , BG , etc., sont ëgalesi

Scholie. Le triangle BOG étant rectangle et isoscele,

*ix,3. ona*BC:BO:: v^ari; donc le côté du^ quarré inscrit est au rayon comtne la racine quarrée de a. est a Purdté.

PROPOSITION IV

PROBIiEME.

Inscrire un hexagone régulier et un triangle équilatéral dans une circonférence donnée.

fig. i58. Supposons le problême résolu, et soit AB un côté de l'hexagone inscrit; si on mené les rayons AO, OB, je dis que le triangle AOB sera équilatéral.

Car langle AOB est la sixième partie de quatre angles droits ; ainsi en prenant langle droit pour unité, on aura AOB =|=f : les deux autres angles ABO, BAO, du même triangle valent ensemble 2 — \ ou 7, et comme ils sont égaux , chacun d'eux = \ 5 donc le triangle ABO est équilatéral ; donc le côté de Tbexagone inscrit est égal au rayon.

Il suit de là que pour inscrire un hexagone régulier dans une circonférence donnée , il faut porter le rayon six fois sur la circonférence , ce qui ramènera au même point d'où on était parti.

L'hexagone ABCDEF étant inscrit , si Ton joint les sommets des angles alternativement, on formera le triangle équilatéral ACE.

Scholie. La figure ABCO est un parallélogramme et même un losange, puisque AB=BC=CO=A0;

•14,3. donc * la somme des. quarrés des diagonales AC4-

BO, est égale à la somme des quarrés dès côtés,