LIVRE XV. III

laquelle est 4 AB ou 4 BO ; retranchant de part ^X

f autre BO", il restera ÂG = 3 BÔ5 donc ÂC:BÔ': 3:i, ou ÀC.'BO:: V^3:i; donc & côté du triangle équUatéral ùtscrit est au rœyon comme la racine juarrée -de 3 est a Vanité.

PROPOSITION V.-

PROBLEME

Inscrire dans un cercle donné un décagone régulier j ensuite un pentagone et unpentédé'^

cagone.

Divisez le rayon AO en moyenne et exttême raison ^^'^if^au point M * , prenez la corde ÂB égale au plus grand Ur. 3. segment OM, et ÂB sera le côté du décagone régulier qu'il faudra porter dix fois sur la circonférence.

Car en joignant MB , on a par construction ÂO : OM::OM:AM; ou, à cause de AB=OM, AO: AB ::: AB:AM; donc les triangles ABO, AMB, ont un angle commun A compris entre côtés proportionnels ; donc ils sont semblables *. Le triangle OAB est isos- *ao,3. celé , donc le triangle AMB l'est aussi, et on a AB= BM: douleurs AB==OM; donc aussi MB = OM,donc le triangle BMO est isoscele.

L'angle AMB, extérieur au triangle isoscele BMO , est double de l'intérieur O * ; or l'angle AMB= M AB ; * *7> ^• donc le triangle OAB est tel que chacun des angles à la base , OAB ou OBA, est double de l'angle au sommet O ; donc les trois angles du triangle valent cin^ fois l'angle O, et ainsi l'angle O est la cinquième partie de deux angles droits ^ ou la dixième de quatre : donc l'arc AB est la dixième parue de la circonférence , et la corde AB est le côté du décagone régulier.

112 CÉOMÉtRlS^

Corollaire I. Si on joint de deux en deux les commets du décagone régulier, on formera le pentagone véfft' ^ lierACEGI.

Corollaire II. AB étant toujours le côté du décagone ^ soît AL le côté de Fhexagone; alors Tare BL sera , par rapport à la circonférence, 7 — •— ou~j; donc la corde BL sera le côté du pentédécagone ou polygone régulier de i5 côtés. On voit eii même temps que lare CL est le tiers de CB.

Scholie, Un polygone régulier étant inscrit, si on divise les arcs sous-tendus par ses côtés en deux parties égales, et qu'on tire les cordes des demi-arcs, celles-ci formeront un nouveau polygone r^^ulier d'un nombre de côtés double : ainsi on voit que le quarré peut servir à inscrire successivement les polygones réguliers de 8 , 16 , 32, etc. , côtés. De même l'hexagone servira à inscrire les polygones régniien de 12 , 24 , 4^ 9 etc. , côtés ; le décagone , des polygones de 20, 40, 80, etc., côtés; le pentédécagone , des polygones de 3o, 60, 120, etc., côtés (i).

PROPOSITION VL

PROBIiEMEm

fîg.i6o. Étant donné le polygone régulier inscrit ABCD, etc. , circonscrire à la même circonférence un polygone semblable.

(i) On a cru long^temps que ces polygones étaient les seals qui pussent être inscrits par les procédés de la géométrie élémentaire, ou , ce qui revient au même, par la résolution 'def équations du premier et du second degré : mais M. Ganss a prouvé , dans un ouvrage intitulé Disquintiones Arithmeticœ , Lip» siœ, 1801, qu'on peut inscrire par de semblables moyens le polygone régulier de dix-sept côtés, et en général celui de 2**+! ^ côtés, pourvu que a'^+i soit un nombre premier.

' LIYRfi IV. Il3

Au point T, itiilieu de l'arc AB , menez la tangente GH ^ qui sera parallèle à AB * ; faites la même chose au milieu *io,2. de chacun des autres arcs BG, CD, etc.; ces tangentes fonneront par leurs intersections le polygone régulier circonscrit GHIK , etc. , semblable au polygone inscrit.

Il est aisé de voir d'abord que les trois points O y B, H , sont en ligne droite, car les triangles rectangles OTH , OHN , ont Thypoténuse commune OH , et le côté OT=ON; donc ils sont égaux*; donc *i8,i. l'angle TOH == HON , et par conséquent la ligne OH passe par le point B milieu de Tare TN : parla même raison le point I est sur le prolongement de OC, etc. Mais, puisque GH est parallèle à AB et HI à BG, l'angle GHI=:ABC *; de même HIK=zBCD, etc.; *26,i. donc les angles du polygone circonscrit sont égaux à ceux du polygone inscrit. De plus , à cause de ces mêmes parallèles, on a GH:AB:: OH:OB, et HI:

BC::OH:OB; donc GH:AB:: HlrBC. Mais AB = BC , donc GH=HL Par la même raison HI= IK , etc. ; donc les côtés du polygone circonscrit sont égaux entre eux; donc ce polygone est régulier et semblable au polygone inscrit.

Corollaire I. Réciproquement , si on donnait le polygone circonscrit GHIK, etc. , et qu'il fallût tracer par son moyen le polygone inscrit ABC, etc., on voit qu'il suffirait de mener aux sommets G, H , I, etc. , du polygone donné les lignes OG, OH, etc. , qui ren^ conU*eraient la circonférence aux points A, B , C , etc. ; on joindrait ensuite ces points par les cordes AB , BC, etc., qui formeraient le polygone inscrit. On pourrait aussi, dans le même cas, joindre tout simplement les points de contact , T, N , P, etc. , par les cordes TN, NP, etc., ce qui formerait également un polygone inscrit semblable au circonscrit.

Corollaire II, Donc on peut circonscrire à un Onz. éd. 8

Il4 GÉOlliTRIB.

cercle donne tous les polygones r^[uliers qu'on sait insjcrire dans ce cercle, et réciproquement.

PROPOSITION VIL

THBOaÊMB.

L'aire â^ un polygone régulier est égale à son périmètre multiplié par la moitié du regron dû cercle inscrit.

fie .160. «^^^^^ P^^ exemple , le polygone régulier GHIK , etc. ; le triangle GOH a pour mesure GH X 7OT, le triangle OHI a pour mesure HIX7ON : mais ON = OT; donc les deux triangles réunis ont pour mesure ( GH + HI ) X 7OT. En continuant ainsi • pour les autres triangles y on verra que la somme de tous les triangles, ou le polygone entier a pour mesure la sonune des bases GH, HI, IK, etc., ou le périmètre du poiygone , multiplié par 7OT, moitié da rayon du cercle inscrit.

Scholie, Le rayon du cercle inscrit OT n^est autre chose que la perpendiculaire abaissée du centre sur un des côtés ; on l'appelle quelquefois X apothème du polygone.

PROPOSITION VIII

THÉORÈME

Les périmètres des polygones réguliers d'un même nombre de côtés sont comme les rayons des cercles circonscrits, et aussi comme les rayons des cercles inscrits; leurs surfaces sont comme les quarrés de ces mêmes rayons.

gg. 161. Solt AB un côté de lun des polygones dont il s'agit, O son centre, et par conséquent OA le rayon du cercle circonscrit, et CD, perpendiculaire sur AB,