LIVRE IV. Il

i^ayon du cercle^ inscrit; soit pareillement ab le ►té d'un autre polygone semblable, o son centre, i et od les rayons des cercles fcirconscrit et inscrit. es périmètres des deux polygones sont entre eux ^minie les côtés AB et ab; mais les aiigles  et a sont raux comme étant (Chacun moitié de l'angle du po- ^goiie ; il en ést'de même des angles.B et b; donc jes riangles ABO, abo^ sont semblables, ainsi que les rianglès rectangles ADO, ado; donc AB:ai::AO; to ;: jyO vdo; donc les périmètres des polygones sont . între eux comme les rayons AO , ao , des cercles circonscrits, et aussi comme les rayons DO', doj des cercles inscrits.

Les surfaces de ces mêmes polygones sont entre elles comme les quarrés des côtés homologues AB , ab; " elles sont par conséquent aussi comme les quarrés des rayotisdes cercles circonscrits AO^ ao , ou comme les quarrés des rayons des cercles inscrits OD , od.

PROPOSITION IX

liEMME.

Toute ligne courbe ou polygone qui enveloppe d^une extrémité à Vautre la ligne convexe A MB est plus longue que la ligne enveloppée AMB.

Nous avons déjà dit que par ligne convexe nous fig.162^ entendons une ligne courbe ou polygone, ou en partie courbe et en partie polygone, telle qu'une ligne droite ne peut la couper en plus de deux points. Si la ligne AMB avait des parties rentraïites ou des sinuosité, elle cesserait d'être convexe, parce qu'il est aisé de voir qu'une ligne droite pourrait la couper en plus de deux points. Les arcs de cercle sont essentiellement convexes; liiais la proposition dont il s'agit maintenant s*étend à une ligne quelconque qui remplit la condition exigée.

Il6 GSOHÉT&IS.

Cela posé, si la ligne AMB n'est pas plus petite ifm toutes celles qui lenyeloppent, il existera parmi ces » dernières une ligne plus courte que toutes les .autreii |j laquelle sera plus petite que ÂMB, ou tout au pkif. égale à ÂMB. Soit ACDEB cette ligne enveloppante; entre les deux lignes menez par-tout où vous Toudrez la droite PQ, qui ne rencontre point la ligne AMB| ou dû moins qui ne fasse que la toucha; la droite PQ est plus courte que PCDEQ; donc, $i à la partie PGDEQ on substitue la ligne droite PQ, on aura la ligne enveloppante APQB plus courte que APDQB» Mais, par hypothèse , celle-ci doit être la plus courte, de toutes; donc. cette hypothèse ne saurait subsister; < donc toutes les lignes enveloppantes sont plus longues ^ que AMB.

fig. i63. Scholie. On démontrera absolument sde la même manière qu'une ligné tcon vexe et rentrante sur ellemême AMB, est plus courte que toute ligne qui l'envelopperait de toutes parts, soit que la ligne enveloppante FHG touche AMB en un ou plusieurs points, soit qu'elle l'environne sans la toucher,

PROPOSITION X

liEKME.

Deux circonférences concentriques étant don' néeSy on peut toujours inscrire dans laplus grande un polygone régulier dont les côtés ne rencontrent pas la plus petite y et on peut aussi circonscrire à la plus petite un polygone régulier dont les côtés ne rencontrent pas la grande; de sorte que dans Vùn et dans Vautre cas les côtés du polygone dé' crit seront renfermés entre les deux circonférences. Cg.i6/|. Soient CA,.CB, les rayons des deux circonférences données. Au point A menez la tangente DE terminée à la grande circonférence ea D et E ; inscrivei