LIVRE IV. IIJ

dans la grande circonférence l'un des polygones réguliers qu'on peut inscrire par les problêmes précédents, avisez ensuite les arcs sous«tendus par les côtés en deux parties égales , et menez les cordes des demi-arcs; vous aurez un polygone régulier d'un nombre de côtés double. Continuez la bissection des arcs jusqu'à ce que vous parveniez à un arc plus petit que DBE. Soit MBN cet arc ( dont le milieu est supposé en B); il est clair que la corde MN sera plus éloignée du centre que DE, et qu'ainsi le polygone régulier dont MN est le côté ne saurait rencontrer la circonférence dont CA est le rayon.

Les mêmes choses étant posées, joignez CM et CN qui rencontrent la tangente DE en P et Q ; PQ sera le côté d'un polygone circonscrit à la petite circonférence, semblable au polygone inscrit dans la grande , dont le côté est MN. Or il est clair que le polygone circonscrit qui a pour côté PQ, ne saurait rencontrer la grande circonférence, puisque CP est moindre que CM.

Donc , par la même construction , on peut décrire un polygone régulier inscrit dans la grande circonférence, et un polygone semblable circonscrit à la petite ; lesquels auront leurs côtés compris entre les deux circonférences.

Scholîe. Si on a deux secteurs concentriques FCG , ICH , on poun'a de même inscrire dans le plus grand une portion de polygone régulier y ou circonscrire au plus petit une portion de polygone semblable, de sorte que les contours des deux polygones soient compris entre les deux circonférences : il suffira de diviser Tare FBG successivement en 2,4^8, i6, etc., parties ^ales, jusqu'à ce qu'on paiTienne à une partie plus petite que DBE.

Nous appelons ici portion de polygone régulier la fiig(ltfç terminée par une suite de cordes égales inscrites

Il8 GÉOMÊTRIB.

dans l'arc FG d^une extrémité à l'autre. Cette portk» a les propriétés principales des polyg^ones réguliecs, elle a les angles égaux et les côtés ég^ux, elle estirlafois inscriptU)le et circonscriptible au cercle; cependant elle ne ferait partie d'un polygone r^^ulier proprement dit, qu'autant que l'arc sous -tendu par un de ses côtés serait une partie aliquote de la circonférence.

PROPOSITION XL

TH£ORB9iE.

Les circonférences des cercles sont entre elles comme les rayons, et leurs surfaces comme les quarrés des rayons.

Cg.tCS. Désignons, pour abréger, par circj CA la droonférence qui a pour rayon GA; je dis quQI^ aura cire, GA : cire. OB : : GA : OB.

Gar, si cette proportion n'a pas lieu, CA sera à OB comme cire, GA est à. un quatrième tentie plus grand ou plus petit que cire, OB : supposons-le plus petit, et soit, s'il est possible, GA:OB::cir. CA: cire, OD.

Inscrivez dans la circonférence dont OB est le rayon

un polygone régulier EFGKLE, dont les côtés ne

rencontrent point la circonférence dont OD est le

* 10. rayon * ; inscrivez un polygone semblable MNPSTM

dans la circonférence dont CA est le rayon.

Gela posé, puisque ces polygones sont semblables, leurs périmètres MNPSM, EFGKE sont eutre eux * 8. comme les rayons GA , OB , des cercles circonscrits *, et on aura MNPSM : EFGKE :: GA: OB 5 mais, par hypothèse , G A : OB : : eire, GA : eirc, OD ; donc MNPSM : EFGKE :: eirc, GA : cire. OD. Or, cette proportion est impossible, car le contour MNPSM * 9< est moindre que cire, CA % et au contraire EFGKE