LIVRE IV

est plus grand que cire. OD ; dono il est impossible que GA soit à OB comme circ.CàK est à une circonférence plus petite que cire, OB, ou, en termes plus généraux, il est impossible qu'un rayon soit à un rayon comme la circonférence décrite du premier rayon est à une circonférence plus petite que la cir* conférence décrite, du second rayon.

De là je conclus qu^on ne' peut avoir non plus , CA est à OB comme cire. CA. est à une circonférence plus grande que cire. OB ; car si cela était, on aurait, en renversant les rapports : OB est à CA comme une circonférence plus grande que cire. OB est à cire. CA , ou , ce qui est la même chose , comme cire. OB est à une circonférence plus petite que cire, CA; donc un rayon serait à un rayon comme la circonférence décrite du premier rayon est à une circonférence plus petite que la circonférence décrite du second rayon, ce qui a été démontré impossible.

Puisque le quatrième terme de la proportion CA: OB::€r//%;.GA:X ne peut être ni plus petit ni plus grand que cire. OB , il faut qu^il soit égal à cire. OB ; donc les circonférences des cercles sont entre elles comme les rayons.

Un raisonnement et une construction entièrement semblables servii*ont à démontrer que les surfaces des cercles sont comme les quarrés de leurs rayons. Nous n'entrerons pas dans d autres détails sur cette proposition , qui d'ailleurs est un corollaire dé la suivante.

CoroUeUre. Les arcs semblables AB, DE, sont fig.iC6. comme leurs rayons AC , DO, et les secteurs semblables AGB j DOE , sont comme les quarrés de ces mêmes * rayons.

Car, puisque les arcs sont semblables, langle G est égal à l'angle O*; or l'angle C est à quatre angles ♦déf. 3. droits conune l'arc AB est à la circonférence entière ^' '

laO GEOMETRIE.

* ï7. a- décrite du rayon AC*, et l'angle O est à quatre anglec droits comme Tare DE est à la circonférence décrite du rayon OD; donc les arcs AB, DE, sont entre eux comme les circonférences dont ils font partie : ces circonférences sont comme les rayons AC, DO, donc arcAB:arcJ)E::AG:DO.

Par la même raison les secteurs ACB, DOE^ sont comme les cercles entiers , ceux-ci sont comme les quarrés des rayons; donc secû. ACBisecû. DOS::;

. ÂC : DO.

PROPOSITION XII

THEOREME.

L'aire du cercle est égale au produit de sa circonférence par la moitié du rayon.

Désignons par surf, CA la surface du cercle dont k rayon est CA; je dis qu'on aura surf. CA=7CAx cire, CA. ' fîg. 167- Car si \ CA X cire, CA n'est pas Taire du cercle dont CA est le rayon, cette quantité sera la mesure dun cercle plus grand ou plus petit. Supposons d'abord quelle est la mesure d'un cercle plus grand, et soit, s'il est possible ,'7 CA X cire, CKz=:suïf. CE.

Au cercle dont le rayon est CA circonscrivez un polygone régulier DEFG , etc. , dont les côtés ne ren- * 10. contrent pas la circonférence qui a CE pour rayon *; la surface de ce polygone sera égale à son contour * 7. DE + EF + FG + etc. multiplié par 7 AG * : mais le contour du polygone est plus grand que la circonférence inscrite , puisqu'il lenveloppe de toutes parts ; donc la surface du polygone DEFG, etc., est plus grande que 7 AC X cire, AC , qui , par hypothèse , est la mesure du cercle dont CE est le rayon; donc le polygone serait plus grand que le cercle. Or au contraire

lilYBE IV, lâl

l est plus petit, puisqu'il y est contenu; donc il est mpossible que 7 GA X cire. GÂ soit plus grand que urf, CA, ou, en d'autres termes, il est impossible que a circonférence d'un cercle multipliée par la moitié le son rayon soit la mesure d'un cercle plus grand.

Je dis en second lieu que le même produit ne peut ^tre la mesure d'un cercle plus petit; et, pour ne pas i^hanger de figure, je supposerai qu'il s'agit du cercle lont CB est.le rayon; il faut donc prouver que-CB X cire, CB ne peut être la mesure dun cercle plus petit, par exemple, du cercle dont le rayon est CA. En effet, soit, s'il est possible, 7GB x^/r^;. GB = su7^. CA.

Ayant fait la même construction que ci-dessus, la surface du polygone DEFG , 'etc. , aura pour mesure (DE+EF + FG+etc.)X7GA; mais le contour DE+.EF + FG + etc., est moindre que cire. CB qui l'enveloppe de toutes parts; donc Taire du polygone est moindre que 7 G A X cire. CB , et à plus forte raison moindre que | CB x cire. CB. Cette dernière quantité est, par hypothèse, la mesure du cercle dont G A est le rayon; donc île polygone serait moindre que le cercle inscrit, ce qui est absurde; donc il est impossible que la circonférence d'un cercle, multiphée par la- moitié de son rayon, soit la mesure d'un cercle plus petit.

Donc enfin la cii*conférence d'un cercle multipliée par la moifié de son rayon est la mesure de ce même . cercle.

Corollaire I. La surface d un secteur est égalé à l'arc fig. 168. de ce secteur multiplié par la moitié du rayon. 1

Car le secteur AGB est au cercle entier comme l'arc. AMB est à la circonférence entière ABD*, ou *i7,a. comme AMBX7AG est à ABDxiAG. Mais le cercle entier=ABDx7AG; donc le secteur AGB a pour mesure AMB X 7 AC.

M^-ti 'ki k.^14

jaa GÉOMÉTRIE.

Corollaire II. Appelons ir la circonférence dont k|É: diamètre est lunité; puisque les circonférences sont comme les rayons ou comme les diamètres ^ on poum faire cette proportion : le diamètre i est à sa circonférence ^ comme le diamètre siGA est à la circonférence qui a pour rayon GA; de sorte qu'on tnn âgiCyS. iiTç:: aCA : cire, CA; donc eirc. CA = 3 ir X CA. Multipliant de part et d'autre par ~ CA, on aura

^CAx cire. CA = 7rxeA', ou swf. CA = r. CA- |^ donc la surface (Tun cercle est égale au vroduit du quarré de son rayon par le nombre constant ir, fi représente la circonférence dont le diamètre est i, «t le rapport de la circonférence au diamètre.

Pareillement la surface du cercle qui a pour rayon

OB sera égale à tc x OB ; or w X ÇA : ir X OB ::

^ CA : OB ; donc les surfaces des cercles sont entre eUes comme les quarrés de leurs rayons , ce qui s*accorde avec le théorème précédent.

Scholie, Nous avons déjà dit que le problâme delà quadrature du cercle consiste à trouver un quarré égal en surface à un cercle dont le rayon est connu \ or on vient de prouver que le cercle est équivalent au rectangle fait sur la circonférence et la moitié du rayon, et ce rectangle se change en quarré en prenant une * pr. 6, moyenne proportionnelle entre ses deux dimensions*: ainsi le problême de la quadrature du cercle se réduit à trouver la circonférence quand on connaît le rayon , et pour cela il suffit de connaître le rapport de la circonférence au rayon ou au diamètre.

Jusqu'à présent on n'a pu déterminer ce rapport que dune manière approchée; mais Tapproximation a été poussée si loin, que la connaissance du rapport exact n'aurait aucun avantage réel sur celle du rapport approché. Aussi cette question , qui a beaucoup occupé les géomètres lorsque les méthodes d approxi-

malion «taient moins connues , est maintenant reléguée parmi les questions oiseuses dont il nest permis de s'occuper qu'à ceux qui ont à peine les premières notions de géométrie.

Arclwnede a prouvé que le rapport de la circonférence au diam^etre est compris entre 3 ^7 et 3^; ainsi Sf ou ^ est uiie valeur déjà fort approcl^ée du nombre quje nous avons représenté par ir, et cette première approximation est fort en usage à cause de sa simplicité. Métius a trouvé pour le même nombre là valeur beaucoup plus approchée —f. Enfin la valeur de ^) développée jusqu'à un certain ordre de décimales, a été trouvée par d'autres calculateurs 3,141^926535897932, etc., et on a eu la patience de prolonger ces décimales jusqu'à la cent vingt-septième ou même jusqu'à* la cent-quarantième. Il est év^deqt qu'une tplle approximation équivaut à la vérité, et qu'on ne çoi^nait pas mieux les racines des puissances imparfaites. ^

On expliquera, dans les problèmes suivants, deux des méthodes élémentaires les plus simples pour obtenir ces approximations.

PROPosiTioisf xm.

PROBliBM s.

Etant données les surfaces cVun polygone régulier inscrit et d'un polygone semblable cir^ conscrit j trouver les suif aces des polygones ré* guliers inscrit et circonscrit d'un nombre de côtés double.

Soit AB le côté du polygone donné inscrit, EF fig. 1% parallèle à AB, celui du polygone semblable circonscrit, C le centre du cercle; si on tire la corde AM et l&ê tangentes AP, BQ, la corde AM sera le côté du

134 GÉOMBTRIX.

polygone inscrit d'un nombre de c6tës double, et PQ double de PM sera celui du piDlygone senotblable *6. circonscrit *. Cela posé, comme la même constrùctioa aura lieu dans les différents angles égaux à ACM, M suffit de considérer l'angle ACM seul , et les triangles qui y sont contenus seront entre eux comme les polygones entiers. Soit A la surface du polygone inscrit dont AB est un côté, B la surface du polygone semblable circonscrit. A' la surface du polygone dont AM est im côté, B' la surface du polygone semblable circonscrit; A et B sont connus, il Vagit de trouTer A' et B'.

1^ Les triangles ACD, ACM, dont le sommet commun est A, sont entre eux comme leurs bases CD , CM ; d'ailleurs ces triangles sont comme les polygones A et A' dont ils font partie; donc A: A';: CD : CM. Les triangles CAM , CME , dont le sonunet commun est M, sont entre eux comnm leurs bases CA, CE; ces mêmes triangles sont comme les polygones A' et B dont ils font partie ; donc A' : B : : CA : CE. Mais à cause des parallèles AD, ME, on a CD: CM:: CA:CE; donc A:A'::A':B; donc le polygone A, , l'un de ceux que l'on cherche , est moyen proportionnel entre les deux polygones connus A et B , et on

a par conséquent A'= V/A X B.

2° A cause de la hauteur commune CM , le triangle CPM est au triangle CPE comme PM est à PE ; mais la ligne CP divisant en deux parties égales 17,3. l'angle MCE, on a^ PM:PE::CM:CE::CD:CA:: A : A' ; donc CPM : CPE : : A : A', et par suite , CPM : CPM-hCPE, ou CME::A:A+A'. Mais CMPA ou 2CMP et CME sont entre eux comme les polygones B' et B dont ils font partie ; donc B' : B : : aA:A+A'. On a déjà déterminé A'; cette nouveUe proportion déterminera B', et on aura B'=:

'LiTâs iT. ia5

^ ' j^, i donc, au moyen des polygones A et B, il est

acile de trouver les polygones A' et B' qui ont deux fois plus de côtés.

PROPOSITION XIV

PROBLÈME

Trouver le rapport approché de la circonférence au diamètre.

Soit le rayon du cercle =z= i , le côté du quarré inscrit sera V^2*, celui du quarré circonscrit sera «3^ égal au diamètre 2; donc la surface du quarré inscrits 2, et celle du quarré circonscrit = 4* Maintenant, si on fait A:=2 et B=4> on trouvera par le problême précédent l'octogone inscrit ' A'=v^8=:

2,8284271 , et l'octogone circonscrit B'= -=

3,3 137085. Connaissant ainsi les octogones inscrit et circonscrit, on trouvera par leur moyen les polygones d'un nombre de côtés double ; il faudra de nouveau supposer A=2,828427i, B=3,3i37o85, et

on aura A'=v/ÂxB=3,o6i4674, et B' = î^

=3,1825979. Ensuite ces polygones de 16 côtés serviront à connaître ceux de 32 , et on continuera ainsi jusqu'à ce que le calcul ne donne plus de différence entre les polygones inscrit et circonscrit, au moins dans Tordre de décimales auquel on s'est arrêté , qui est le septième dans cet exemple. Arrivé à ce point , on conclura que le cercle est égal au dernier résultat, car le cercle doit toujours être compris entre le po-» lygone inscrit et le polygone circonscrit; donc si ceux-ci ne différent point entre eux jusqu'à un certain

ordre de décimales, le cercle n^en différera pas non plus jusqu'au même ordre.

Voici le calcul de ^ces polygones prolongé jusqu'à ce qu'ils ne différent plus dans le septième ordre de décimales.

Nombre àt% cdt^. Poljgone int<!rit. Poljgone ciromMoiit.

4 2,0000000 4yOOOOOOO

64 3,i365485 3,i44ri84

ÏÔ24 ..*... . 3,1415729 3,r4i6oa5

De là je conclus que la surface du cercle se 3,1415926. On pourrait avoir du doute sur la dernière décimale à cause des erreurs qui viennent des parties négligées; mais le calcul a été fait avec une décimale de plus , pour être sûr du résultat que nous venons de trouver jusque dans la dernière décimale.

Puisque la surface du cercle est égale à la demi* circonférence multipliée par le rayon , le rayon étant I, la demi-circonférence est 3,1415926; ou bien le diamètre étant i, la circonférence est 3,i4i5g26; donc le rapport de la circonférence au diamètre désigné ci-dessus par 77=3,1415926.

LITRE IT. lay

PROPOSITION XV

LEMME

Le trian^ CAB est équivalent au triangle isoscele DCE, fig.i7o« Ml a le même an^e C , et dont le côté CE égal h CD est %(yf en proportionnel entre CA et CB. De plus ^ si V angle lAB est ^Ëroity la perpendiculaire CF abaissée sur la base lu triangle isoscele , sera moyenne proportionnelle entre le ^té CA et la demi-somme des côtés CA , CB.

Car, i*^ à cause de l'angle commun C , le triangle AlBC est LU triangle isoscele DCE comme AC X CB est à DC X CE , ou

QC*; donc ces triangles seront équivalents, sipC:=AC *a4,3. ^CB, on si DC est moyenne proportionnelle entre AC et CB.

a® La perpendiculaire CGF coupant en deux parties égales angle ACB , on a* AG : GB : : AC : CB , d'où résulte , compo- * 17 , 3. nendo, AG:AG+GB ou AB:: AC: AC + CB; mais AG à se AB comme le triangle ACG est au triangle ACB ou aCDF ; d'ailleurs, si l'angle A- est droit , les triangles rectan<* gles ACG, CDF, seront semblables, et donneront ACG:

CDF::AC:CF, donc,

Ac'aCFV.AC: AC + CB.

Multipliant le second rapport par AC ,< les antécédents deviendront égaux, et on aura par conséquent 2CF==ACX

(AC+CB), ou CF= ACX ( ); donc a** si l'angle

A est droit, là perpendiculaire CF sera moyenne proportionnelle entre le côté AC et la demi-somme des côtés AC, CB.

PROPOSITION X\'I

PROBLEME

Trouver un cercle qui diffère aussi peu qu'on voudra dun polygone régulier donné.

Soit proposé , par exemple , le quarré BMNP \ abaissez du fig 171.

128 GBOM^TRIE.

centre C la perpendiculaire CA sur le c6t^ MB, et jo^nci CB.

Le cercle décrit du rayon CA est inscrit dans le qoazré, et le cercle décrit du rayon CB est circonscrit à ce mène quarré; le premier sera plus petit que fe quarré, )e second sera plus grand ; mais il s'agit de resserrer des liinités*

Prenez CD et CE égales chacune à la moyenne propcur^ tionnelle entre CA et CB , et joignez £D ; le triangle iaoacàt iS. CD£ sera équivalent au triangle CAB'*^ ; faites de même poitf chacun des huit triangles qui composent 1^^ quarré , toqi formerez ainsi un octogone régulier équivalent au qnaiié ^ BMNP. Le cercle décrit du rayon CF, moyen "prcfpm-

tionnel entre CA et -, sera inscrit dans roctogone, et

le cercle décrit du rayon CD lui sera circonscrit. Ainsi le premier sera plus petit que le quarré donné et le second plus grand.

Si on change de la même manière le triangle rectangle CDF en un triangle isoscele équivalent, on formera par ce moyen un polygone régulier de seize côtés, équivalent au quarré proposé. Le cercle inscrit dans ce polygone sera pins petit que le quarré, et le cercle circonscrit sera plus grand.

On peut continuer ainsi jusqu'à ce que le rapport entre le rayon du cercle inscrit et le rayon du cercle circonscrit diffère aussi peu qu*on voudra de l'égalité. Alors l'un et l'autre cercles pourront être regardés comme équivalents au quarré proposé.

Scholie, Voici à quoi se réduit la recherche des rayons successifs. Soit a le rayon du cercle inscrit dans Tun des polygones trouvés , h le rayon du cercle circonscrit au même polygone ; soient a! et b' les rayons semblables pour le polygone suivant qui a un nombre de côtés double. Suivant ce que nous avons démontré , b' est une moyenne proportionnelle entre a et ^ , et a' est une moyenne proportionnelle

entrer et ; de sorte qu'on aura b'z=zy^ay,b^ et a'=

; donc les rayons a et b d'un polygone étant

LtTRB IT. lag

ras , on en conclut facilement les rayons a! et V du po- »ne suivant : et on continuera ainsi jusqu'à ce que la ^ence entre les deux rayons soit devenue insensible ; 8 Tun ou l'autre de ces rayons sera le rayon du cercle [valent au quarré ou au polygone proposé.

ette méthode est facile à pratiquer en lignes , puisque se réduit à trouver des moyennes proportionnelles sucives entre des lignes connues ; mais elle réussit encore IX en nombres , et c'est une des plus commodes .que la nétrie élémentaire puisse fournir pour trouver prompmt ie rapport approché de la circonférence au diamètre, le côté du quarré zr 2 , le premier rayon inscrit CA sera t le premier rayon circonscrit CB sera \/2oui,4i4^i^6* ant donc ^z=i, & =1,414^1^6 9 on trouvera If-mz I92071, et a' = 1,0986841. Ces nombres serviront à nier les suivants d'après la loi de continuation.

oici le résultat du calcul fait jusqu'à sept ou huit chiffres Les tables de logarithmes ordinaires.

yons des cercles circonscrits. Rayons des cercles inscrite*

i,i43o5oo i,i2io863.

i,i32oi49 1,1265639.

aintenant que la première moitié des chiffres est la le des deux côtés , on pourra , au lieu des moyens géoîques , prendre les moyens arithmétiques , qui n'en difut que dans les décimales ultérieures. De cette manière ération s'abrège beaucoup, et les résultats sont :

i,i2838oi 1,1283787.

0/12. éd. 5

X30 «-éoMBTRiS.

Donc 1 91283791 est à très -peu près le rayon du cercle égal en surface au quarré dont le côté est 2. De là il est facile de trouver le rapport de la circonférence aa diamètre : car on a démontré que la surface du cercle est égale au quarré de son rayon multiplié par le nombre ir ; donc , si on divise la surfaca 4 par le quarré de 1,1283792 , on aura la valeur de i?, qui se trouve par ce calcul de 3,1415926, etc., comme on Ta trouvée par une autre méthode.