LIVRE IV. l3l

CI> etMN=:MB, on a AC + CB = AD, et AM + MB = AM + MN. Mais AC + CB == AM H- MB ; donc AD = AM -h MN ; donc AD > AN : or si l'oblique AD est plus grande que roblique AN , elle doit être plus éloignée de la perpendiculaire AB ; donc DB > BN ; donc BG , qui est moitié de BD * , * 12 , x ^ sera plus grande que BP moitié de BN. Mais Jes triangles ABC , ABM , qui ont même base AB , sont entre eux comme leurs hauteurs BG , BP ; donc , puisqu'on a BG > BP, le triangle isoscele ABC est plus grand que le non-isoscele ABM de même basé et de même périmètre.

PROPOSITION IL

THEOREMB.

Bntre tous les polygones isopérimetres et d*un même nombre de côtés y celui qui est un maximum a ses côtes

Car soit ABCDEF le polygone maximum; si le côté BC ^Z- »7Î^ n'est pas égal à CD , faites sur la base BD un triangle isoscele BOD qui soit isopérimetre à BCD, le triangle BOD sera plus grand que BCD * , et par conséquent le polygone * F» '• ABODEF sera plus grand que ABCDEF ; donc ce dernier ne serait pas le meiximum entre tous ceux qui ont le même périmètre et le même nombre de côtés , ce qui est contre la supposition. On doit donc avoir BC :=: CD : on aura par la même raison CD = DE, DE = EF, etc. ; donc tous }es côtés . du polygone maximum sont égaux entre eux.

PRO^POSlf ION III.

THEOREME.

De tous les triangles formés avec deux côtés donnés fai^ sant entre eux un ai^gle à volonté y le maximum est celui dans lequel les deux côtés donnés font un angle droit.

Soient les deux triangles BAC , BAD , qui ont le côté AB fig. 174^ commun , et le côté AC = AD ; si l'angle BAC est droit , je dis que le triangle BAC sera plus grand que le triangle BAD, dans lequel l'angle en A est aigu ou obtus.

l3a GÉ0MÉTRI2.

Car la base AB étant la même , les deux triangles BAC y BAD , sont comme les hauteurs AC , D£ : mais la perpendiculaire D£ est plus courte que Toblique AD ou son égale AC ^ donc le triangle BAD est plus petit que BAC^

PROPOSITION IV

THEOREME.

JDe tous les polygones formés avec des côtés donnés et m dernier à volonté y le maximum doit être tel qife tous ses angles soient inscrits dans une demi- circonférence dont k côté inconnu sera le diamètre»

fig. 175. Soit ABCDEF le plu» grand des polygones formés ayec le» côtés donnés AB, BC , CD, DE, EF, et un «emier AF à volonté ; tirez les diagonales AD , DF. Si Fangle JkDF n'était pas droit , on pourrait , en consenrant les parties ^ ABCD , DEF , telles qu'elles sont , augmenter le triangle ADF, et par conséquent, le polygone entier, en rendant l'angle ADF droit , conformément à la proposition préoédente ; mais ce polygone ne peut plu» être augmenté, pais- ' qu'il est supposé parvenu à son maximum ; donc l'angle ADF est déjà un angle droit. Il en est de même des angles ABF, ACF, AEF; donc tous les angles A, B, C,D,ï:,F, du polygone maximum sont inscrits dans une demi-circônférence dont le côté indéterminé AF est le diamètre.

Scholie, Cette proposition donne lieu à une question ; savoir , s'il y a plusieurs manières de former un polygone avec des côtés donnés , et un dernier inconnu qv isera le diamètre de la demi-circonférence dans laquelle les autres côtés sont inscrits. Avant de décider cette question , il faut observer que si une même corde AB sous -tend des arcs décrits de

£g. 176. différents rayons AC , AD , l'angle au centre appuyé sur cette corde sera le plus petit dans le cercle dont le rayon est le plus grand ; ainsi ACB < ADB. En effet l'angle ADO

Ta;,!. =ACD + CAD*; donc ACD<ADO, et en doublant de part et d'autre on aura ACB < ADB.