LIVRE IV. l
PROPOSITION V
THEOREME.
n n'y a qu'une manière déformer le polygone ABCDEF, avec des côtés donnés et un dernier inconnu qui soit le dià' mètre de la demi-circonférence dans laquelle les autres côtés sont inscrits.
Car, supposons qu*on a trouvé un cercle qui satisfasse à fig* i?^. la question ; si on prend un cercle plus grand , les cordes AB, BC, CD , etc. , répondront à des angles au centre plus petits. La somme de ces angles au centre sera donc moindre que deux angles droits ; ainsi les extrémités des côtés donnés n'értioutiront plus aux extrémités d'un diamètre. L'inconvénient contraire aura lieu si on prend un cercle plus petit; donc le polygone dont il s'agit ne peut être inscrit que dans un seul cercle.
Scholîe, On pedt changer à volonté l'ordre des côtés AB , BC 9 CD ^ etc. , et re diamètre du cercle circonscrit sera toujours le même , ainsi que la surface du polygone ; car , quel que soit Tordre des arcs AB, BC, etc., il suffit que leur somme fasse la demi -circonférence , et le polygone aura toujours la même surface , puisqu'il sera égal au demi-* cercle moins les segments AB , BC , etc. , dont la somme est toujocirs la même.
PROPOSITION VI
THEOREME.
De tous les polygones /ormes avec des côtés donnés , le maximum est celui qu'on peut inscrire darui un cercle.
Soit ABCDEFG le polygone inscrit, et abcdefg le non- ^S- »77* inscriptible formé avec des côtés égaux , en sorte qu'on ait ABr=:â6^ BC=&c^ etc.; je dis que le polygone inscrit est plus grand que l'autre.
Tirez le diamètre EM; joignez AM , MB ; sur a6r=:AB faites le triangle ahm égal à ABM , et joignez em.
En vertu de la proposition IV, le polygone iEFGAM est
l34 GEOMETRIE.
plus grand que efgam.y à moins que celui-oi ne pukse être pareillement inscrit dans une demi - circonférence dont le côté ern serait le diamètre , auquel cas les deiîx polygones seraient égaux en vertu de la proposition V. Par la méiii« raison le polygone EDCBM est plus grand que edcbm, sauf la même exception où il y aurait égalité. Donc le polygone entier EFGAMBCDE est plus grand que efgambcdcy à moins qu'ils ne soient entièrement égaux : mais ils ne le sont pas, puisque Fun est inscrit dans le cercle , et que l'autre est supposé non-inscriptible; donc le polygone inscrit est le plus grand. Retranchant de part et d'autre les triangles égaux ABM , abm , il restera le polygone inscrit ABCDEFG plus grand que le non-inscriptible ahcdefg*
Scholie, On démontrera , comme dans la proposition Y» qu'il ne peut y avoir qu'un seul cercle , et par conséquent 'qu'un seul polygone maximum qui satisfasse à la question; et ce polygone serait encore de même surface y de quelqa»
manière qu'on changeât l'ordre de ses côtés*»
PROPOSITION VII
THEOREME.
Lç polygone rcguUer est un maximum entre tous Uspolyt^^ gones isopcrimetres et d'un même nombre de côtés.
Car, suivant le théorème ÏI , le polygone maxirrium a tous &es côtés égaux; et, suivant le théorème précédent , il estio^ scriptible dans le cercle ; donc ce polygone est régulier*
PROPOSITION VUL
li £ H aSi £■
Deux angles au centre , mesurés dans deux cercles diffé- -' rents , sont entre eux comme les arcs compris divisés por leurs rayons,
Ég i"8 Ainsi l'angle C est à l'angle G comme le rapport est
DE ' au rapport -^.
D'un rayon OF égala AC décrivez l'arc FG compris cntw
