AC DO
PROPOSITION IX
THEOREME.
De deux polygones réguliers isopérimetres , celui qui a le plus grand nombre de côtés est le plus grand.
Soit D& le demi-côté de l'un des polygones , O son centre, fig. 17^ OE son apothème ; soit AB le demi-côté de l'autre polygone, C son centre , CB son apotbéme. On suppose les centres O et C situés à une distance quelconque OC , et les apothèmes OE, CB, dans la direction OC : ainsi DOE et ACB seront les demi-angles au centre des polygones , et comme ces angles ne sont pas égaux , les lignes CA , OD , prolongées se rencontreront en un point F ; de ce point abaissez sur OC la perpendiculaire FG ; des points O et C , comme centres , décrivez les arcs GI , GH , terminés aux côtés OF, CF.
GI PîT Cela posé , on aura par le lemme précédent O : C : : : ;
mais DE est au périmètre du premier polygone comn^e
Tangle O est à quatre angles droits , et AB est au périmètre
du second comme l'angle C est à quatre angles droits ; donc,
puisque les périmètres des polygones sont égaux , DE : AB
GH : : O : C , ou DE : AB : : : — — , Multipliant les antécédente
CG
par OG et les conséquents par CG, on aura DE X OG : AB X
CG :: GI : GH. Mais les triangles semblables ODE, OFG^
donnent OE : OG : : DE : FG , d'où résulte DE X OG = OE
X FG ; on aura de même AB X CG = CB X FG ; donc OE X
FG : CB X FG :: GI : GH , ou OE : CB :: GI : GH. Si donc
on fait voir que l'arc GI est plus grand que l'arc GH , il
^'ensuivra que l'apothème OE est plus grand que CB.
lS6 GÉOMKTKÏX.
De Tautre côté de CF soit faite la figure GLe endèremeok égale à la figure CGar, de sorte qu'on ait GK=CG, l'angle HCK=:HCG , et l'arc k^=.rG ; la courbe KjcG envelop-
• g^ pera l'arc KHG , et sera plus grande que cet arc *. Donc Gjt,
moitié de la courbe , est plus grande que GH moitié de l'arc; donc , à plus forte raison , GI est plus grand que GH.
Il résulte de là que l'apothème 0£ est plus grand que CB : mais les deux polygones ayant même périmètre sont entre
* 7. eux comme leurs apothèmes * ; donc le polygone qui a pour
demi- côté D£ est plus grand que celui qui a pour demi-côté AB : le premier a le plus de côtés , puisque son angle au centre est le plus petit; donc de deux polygones réguliers iso« périmètres , celui qui a le plus de côtés est le plus grand.
PROPOSITION X
THEOREME.
Le cercle est plus grand que tout polygone ùcpérimetre» fig. x$o. Il est déjà prouvé que de tous les polygones isopérimetres et d'un même nombre de côtés le polygone régulier est le plus grand ; ainsi il ne s'agit plus que .de comparer le cerdc à un polygone régulier quelconque isopérimetre. Soit AI le demi-côté de ce polygone , C son centre. Soit dans le cercle isopérimetre l'angle DOEzzzACI, et conséquemment l'arc DE égal au demi - côté AI. Le polygone P est au cercle ^C comme le triangle AGI est au secteur OD£ ; ainsi on aura P:C::|AIxCI:iDExOE::a:OE. Soit menée au point £ la tangente EG qui rencontre OD prolongé en G ; les triangles semblables AGI, GOE, donneront la proportion GI: OE::AIouDE:GE; doncP;C::i)E:GE, ou comme DEx 7OE qui est la mesure du secteur DOE est à GEX7OE qui est la mesure du triangle GOE^ or le secteur est plus petit que le triangle; donc P est plus petit que C , donc le cercle est plus grand que tout polygone isopérimetre.
