LES PLANS ET LES ANGLES SOLIDES

DEFINITIONS

I. U NB ligne droite est perpendiculaire a un plan y lorsqu'elle est perpendiculaire à toutes les droites qui passent par son /7iit?</ dans le plan*. Réciproquement *pr.4. le plan est perpendiculaire à la ligne.

Le pied de la perpendiculaire est le point où cette ligne rencontre le plan.

II. Une ligne est parallèle a un plan y lorsqu'elle ne peut le rencontrer à quelque distance qu'on les prolonge Tun et lautre. Réciproquement le plan est parallèle à la ligne.

III. Deux plans sont parallèles entre eux, lorsqu'ils ne peuvent se rencontrer à quelque distance qu'on les prolonge lun et lautre.

IV. Il sera démontré* que l'intersection commune *pr.3. de deux plans qui se rencontrent est une ligne droite '

cela posé , l'angle ou r inclinaison mutuelle de deux plarps est la quantité plus ou moins grande dont ils sont écartés l'un de l'autre ; cette quantité se mesure * par l'angle que font entre elles les deux per- *pr.7. pendiculaires menées dans chacun de ces plans au tnéme point de l'intersection commune. Cet angle peut être aigu, droit, ou obtus.

V. S'il est droit , les deux plans sont perpendicum 'aires entre eux,

VI. Angle solide est l'espace angulaire compris ntre plusieurs plans qui se réunissent en un même »oint.

x38 GÉOMÉTRIE.

15g. i99« Ainsi Tangle solide S est formé par la reunion des ' plans ASB, BSC, CSB, DSA.

Il faut au moins trois plans pour former un angle solide.

PROPOSITION PREMIERE

THEOREME.

Une ligne droite ne peut être en partie dans un plan , en partie au dehors.

Car , suivant la définition du plan y dès qu^uno ligne droite a deux points communs avec un plan, elle est toute entière dans ce plan.

Scholie, Pour reconnaître si une surface est plane, il faut appliquer une ligne droite en différents sens siir cette surface, et voir si elle touche la surface dans toute son étendue. '

PROPOSITION U

THÉORÊMEr

Deux lignes droites qui se coupent sont dans un même plan , et en déterminent la position,

lîg. i8i. Soient AB, AC, deux lignes droites qui se coupent en A : on peut concevoir un plan où se trouve la ligne droite AB; si ensuite on fait tourner ce plan autour do AB , jusqu'à ce qu'il passe par le point C , alors la ligne AC , qui a deux de ses points A et C dans ce plan, y sera toute entière, donc la position de ce plan est déterminée par la seule condition de renfermer les deux droites AB, AG.

Corollaire I, Un triangle ABC, ou trois points A , B , C , non en ligne droite , déterminent la position d'un plan.

fig. 182. Corollaire Ih Donc aussi deux parallèles AB, CD,, déterminent la position d'un plan ; car si on mené la

IiIVliE T. i39

sécante EF, le plan des deux droites AE, EF, sera celui des parallèles AB, CD.

PROPOSITION III

THÉORÈME

Si deux plans se coupent^ leur intersection commune sera une ligne droite.

Car, si dans les points communs aux deux plans on en trouvait trois qui ne fussent pas en ligne droite, les deux plans dont il s*agit, passant chacun par ce^ trois points, ne feraient qu'un seul et même plan*, ce qui est contre la supposition.

PROPOSITION IV

THÉORÈME

Si une ligne droite AP est perpendiculaire à % i83. deux autres PB , PC , qui se croisent à son pied dans le plan MN , elle sera perpendiculaire à une droite quelconque PQ menée par son pied dans le même plan , et ainsi elle sera perpendi" culaire au plan MN.

Par un point Q, pris à volonté sur PQ, tirez la droite BC dans l'angle BPG, de manière que BQ= QC ", joignez AB , AQ , AG. Vob.5,

La base BC étant divisée en deux parties égales au •"• '• point Q^ le triangle BPC donnera*, * i4, ^