PC + PB=2PQ + 2QC

liC triangle BAC donnera pareillement ,

AC + Âb!=z^2AQ+ 2QC.* Retranchant la première égalité de la seconde, et observant que les triangles APC , APB , tous deux

rectangles en P, donnent AC — PC=:AP,et AB —

PB=APj on aura,

ÂP+ÂP^aÂQ— aPQ*

l4o GÉOMÉTRIÏ.

Donc, en prenant les moitiés de paît ôt d'autre,

on a ÂP=ÂQ— Pq\ ou ÂQ=ÂP + PQ', donc le • i3. 3. triangle APQ est rectangle en P * ; donc AP est pei^ pendîculaire à PQ.

Scholie. On voit par là , non seulement qu'il est possible qu'une ligne droite soit perpendiculaire à toutei celles qui passent par son pied dans un plan , mais que cela arrive toutes les fois que cette ligne est per^ pendîculaire à deux droites menées dans le plan ; c'est ce qui démontre la légitimité de la définition I.

Corollaire I. La perpendiculaire AP est plus courte qu une oblique quelconque AQ ; donc elle mesure la vraie distance du point A au plan PQ.

Corollaire II. Par un point P donné sur un plan, on ne peut élever qu'une seule perpendiculaire à ce plan ; car si on pouvait élever deux perpendiculaires par le même point P, conduisez, suivant ces deux perpendiculaires , un plan dont l'intersection avec le plan MN soit PQ; alors les deux perpendiculaires dont il s*agit seraient perpendiculaires à la ligne PQ, au même point et dans le même plan , ce qui est im- ^ possible.

11 est pareillement impossible d'abaisser d'un point donné hors d'un plan deux perpendiculaires à ce plan; car soient AP, AQ, ces deux perpendiculaires, alors le triangle APQ aurait deux angles droits APQ, AQP , ce qui est impossible.

PROPOSITION V

THEOREME.

Les obliques également éloignées de la per^ ' vendicitlaire sont égales \ et, de deux obliques inégalement éloignées de la perpendiculaire ^ celle qui s en éloigne le plus est la plus longue.

LIYRB V. l4l

Car les angles APB, APC, APD étant droits, si on &:• i&4suppose les distances PB, PC, PD, égales entre elles ^ les triangles APB, APC, APD, auront un angle égal compris entre côtés égaux ; donc ils seront» égaux . donc les hypoténuses ou les obliques AB , AC , AD seront égales entrée elles. Pareillement , si la distance P£ est plus grande que PD ou son égale PB , il est clair que Toblique AE sera plus grande que AB , ou son *

égale AD.

Corollaire. Toutes les obliques égales AB, AC, AD , etc. , aboutissent à la circonférence BCD , décrite du pied de la perpendiculaire P comme centre ; donc étant donné un point A hors d'un plan , si on veut trouver sur ce plan le point P où tomberait la perpendiculaire abaissée de A , il faut marquer sur ce plan trois points B , C , D , également éloignés du point A) et chercher ensuite le centre du cercle qui passe» par ces points; ce centre sera le point cherché P.

SchoUe, Langle ABP est ce qu'on appelle Xincli^ ncdson de Foblique AB sur le plan MN ; on voit que cette inclinaison est égale pour toutes les obliques AB, AC, AD, etc. , qui s'écartent également de la perpen* diculaire; cac tous les triangles ABP, ACP, ADP, etc., sont égaux entre eux.

PROPOSITION VI

THEOREME.

Soit AP une perpendiculaire au plan MN et fig. iS5. BC une ligne située dans ce plan ; si du pied P de la perpendiculaire on abaisse PD perpendiçulaire sur'ËC^ et qu on joigne AD, je dis que AD sera perpendiculaire à BC.

Prenez DB=^DC, et joignez PB, PC , AB , AC :

puisque DB=:DC, l'oblique PB = PC; et par rapport à la porpendiculaire AP, puisque Pû=PC,

l4l GEOMETRIE.

*S. l'oblique AB= AC*; doric la ligne AD a deux Je ses points A et D également distants des extrémités B eC C ; donc AD est perpendiculaire sur le milieu de BC.

Corollaire. On voit en même temps que BC est perpendiculaire au plan APD, puisque BC est'perpendiculaire à-la-fois aux deux droites AD , PD.

Scholie. Les deux lignes AE , BC , offrent Texempld de deux lignes qui' ne se rencontrent point, parce que elles ne sont pas situées dans un même plan. La plus courte distance de ces lignes est la droite PD , qui est à-la-fois perpendiculaire à la ligne AP et à la ligne BC. La distance PD est la plus courte entre ces deux lignes ; car si on joint deux autres points , comme A et B , on aura AB > AD , AD > PD; donc , à plus forte rason , AB > PD.

Les deux lignes AE , CB , quoique non situées dans un même plan, sont censées faire entre elles un angle droit , parce que AD et la parallèle menée par un de ses points à la ligne BC feraient entre elles un angle droit. De même la ligne AB et la ligne PD , qui représentent deux droites quelconques non situées dans le même plan , sont censées faire entre elles le même angle que ferait avec AB la parallèle à PD menée par im des points de AB.

PROPOSITION VIL

THEOREME.

%. i8Ç, Si la ligne AP est perpendiculaire au plan MN , toute ligne DE parallèle AP sera perpendiculaire au même plan.

Suivant les parallèles AP, DE, conduisez un plan dont l'intersection avec le plan MN sera PD ; dans le plan MN menez BC perpendiculaire à PD , et joignez AD,