LIVRE V

Suivant le corollaire du théorème précédent, BC !St perpendiculaire au plan APDE; donc l'angle BDE ist droit : mais Tangle EDPest droit aussi, puisque \.P est perpendiculaire à PD , et que DE est parallèle I AP; donc la ligne DE est perpendiculaire aux deux droites DP , DB ; donc elle est perpendiculaire à leur plan MN.

Corollaire I. Réciproquement si les droites AP, DE sont perpendiculaires au même plan MN, elles seront parallèles ; car si elles ne Tétaient pas , conduisez par le point D une parallèle à AP , cette parallèle sera perpendiculaire au plan MN ; donc on pourrait, par un même point D , élever deux perpendiculaires à un même plan , ce qui est impossible *. • 4.

Corollaire II. Deux lignes A et B , parallèles à une troisième G, sont parallèles entre elles; car imaginez un plan perpendiculaire à la ligne G , les lignes A et B , parallèles à cette perpendiculaire , seront perpendiculaires au même plan ; donc , par le corollaire précédent, elles seront paralle^s entre elles.

Il est entendu que les trois lignes ne sont pas dans le ipême plan , sans quoi la proposition serait déjà connue*. *24,i.

PROPOSITION VIII

THÉORBME.

Si la ligne AB est parallèle à une droite CD fig. i«7. menée dans le plan MN , elle sera parallèle à ce plan.

Car si la ligne AB , qui est dans le plan ABCD , rencontrait le plan MN, ce ne pourrait être quen quelque point de la ligne CD , intersection commune des deux plans : or, AB ne peut rencontrer CD, puisquelle lui est parallèle ; donc elle ne rencontrera pas non plus le plan MN; donc elle est parallèle à ce plan*. , ^^

l44 GEOMÉTB.II.

PROPOSITION IX

«g. i88. Deux plans MN , PQ , perpendiculaires à une même droite AB, sont parallèles entre eux.

Car s'ils se. rencontraient quelque part , soit G nn de leurs points communs, et joignez OA, OB ; la ligne AB, perpendiculaire au plan MN, est perpendiculaire à la droite OA menée par son pied dans ce plan ; pr la même raison AB est perpendiculaire à BO ; donc OA et OB seraient deux perpendiculaires abaissées Mu même point O sur la même ligne droite, ce qui est impossible; donc les plans MN, PQ, ne peuvent se rencontrer ; donc ils sont parallèles.

PROPOSITION X

.THEOREME.

fig. iSg* Les intersections EF, GH , de deux plans parallèles MN , PQ, par un troisième plan FG, sont parallèles.

Car si les lignes EF , GH , situées dans un même plan , ne sont pas parallèles , prolongées elles se rencontreront; donc les plans MN, PQ, dans lesquels elles sont , se rencontreraient aussi ; donc ils ne seraient pas parallèles.

PROPOSITION XL

THEOREME.

fig. x88. La ligne AB, perpendiculaire au plan MN ,

est perpendiculaire au plan PQ parallèle à MN.

Ayant tiré à volonté la ligne BC dans le plan PQ ,

suivant AB et BC, conduisez un plan ABC dont

I mtersecùon avec le plan MN soit AD , Tintersection AD sera parallèle à BC * ; mais la ligne AB perpendi- * 10^ «ulaire au plan MN est perpendiculaire à la droite AD ; donc elle sera aussi perpendiculaire à sa parallèle BC ; et puisque la ligne AB est perpendiculaire à tx)ute ligne QG menée par son pied dans le plan PQ , ii s'ensuit qu'elle est perpendiculaire au plan PQ,

PROPOSITION XIL

THÉORÈME

Les 'paruîïeies ÈG, FH, comprises entre deux fig.iSg^ plans parallèles MN , PQ > sont égales.

Par les parallèles EG, FH, faites passer le plan £GHF , qui rencontrera les plans parallèles* suivant £F et GH. Les intersections £F, GH, sont parallèles entre elles ^, ainsi que EG, FH j donc la figure EGHF * ^^ est lin parallélogramme; donc EG:=:FH.

Corollaire. Il suit de là que dâtui: plans parallèles sont par^tout a égale distance ; car si EG et FH sont perpendiculaires aux deux plans MN, PQ, elles seront . parallèles entre elles ^; donc elles sont ^ales. * 7*

PROPOSITION XIII

ÏHEOREMS.

Si deuoc angles GAE , DBF , non situés dans le H* »9«i même plan , ont leurs côtés parallèles et dirigés dans le mêtne sens^ ces angles seront égaux et leurs plans seront parallèles.

Prenez AC=BD, AE=BF, et joignez CE, DF,

AB, CD , EF. Puisque AC est égale et parallèle à BD ,

la figure ABDC est. Un parallélogramme^; donc CD *^^i^\

est ^ale et parallèle à AB. Par une raison semblable OnM, éd. 10

x46 ciouirnit.

EF est égale et parallèle à AB ; done aussi CÛ fà

égale et parallèle à EF , la figure GEFD est doM

un parallélogramme , et ainsi le c6té CE est tfi

et parallèle à DF ; donc les triangles CAE , DfiF|

sont équilatéraux entre eux; donc Tangle GA£=:

DBF-

En second lieu je dis que le plan AGE est puiallele au plan BDF ; car , supposons que le plan paiallde i BDF, mené par le point A^ rencontre les lignes GD^ EF , en d'autres points que G et E , par exemple &t 6 et H ; alors , suivant la proposition xii , les tfoif lignes AB, GD, FH , seront égales : mais les trois AjB^ CD, EF, le sont déjà; donc on aurait GD=^D, et FH=:EF, ce qui est absurde ; donc le plan AGE est parallèle à BDF.

Corollaire, Si deux plans parallèles MN, PQ^ sont rencontrés par deux autres plans GABD, EAB9P, ]s$ angles GAE,DBF, formés par les intersections de» plans parallèles, seront égaux ; car Tintersection AG .*xo. est parallèle à BD^, A£ Test à BF, donc l'angle CAE = DBF.

PROPOSITION xiv:

THEOREME.

H 190- Si trois droites AB , CD , EF , non situées dam le même plan , sont égales et parallèles , les triangles ACE , BDF , formés de part et d^ autre en joignant les extrémités de ces droites y seront égaux , et leurs plans seront parallèles.

Car, puisque AB est égale et parallèle à CD, fai figure ABDG est un parallélogramme ; donc le côté AG est égal et parallèle à BDv Par une raîsofi semblable les côtés AE, BF, sont égaux et parallèles, aifisi que CE , DF ; d^nc les deux triai^gles AGEy

BDF^ sont égaux: on prouvera d'ailleurâ, comme dans la proposition précédente , que leurs plans sont Ipralleles.

PROPOSITION XV

THSORSME,

• H^ux droites comprises ^ntre trois plans pa- Talleks, sont coupées en parties proportionnelles.

Supposons que la ligne AB rencontre les plans pa- - Iràneles MN , PQ , RS , en A , E , B , et que la ligne tCD rencontre les mêmes plans en G, F, D; je dis qu'on aura AE : EB : r-CF : FD.

Tirez AD qui rencontre le plan PQ en G , et joignez AC ^ EG , GF , BD ; les intersections EG , BD , des plans parallèles PQ , RS , par le plan ABD , sont paralldes * ; donc AE : EB : : AG : GD ; pareillement les ^ intersections AC, GF , étant parallèles , on a AG : GD : : jCF:FD ; donc, à cause du rapport commun ^ AG;-' iGD, on aura AE : EB : : CF ; FD.

PROPOSITION XVI

THEOREME,

Soit ABCD un quadrilatère quelconque situé ou non situé 'dans un même plan ; si on coupe les côtés opposés propor-iionnellement par deux droites £F , GH , de sorte qu*on ait AE:EB :: DF:FC, e/BG: GC :: AH:HD;yc J« gtte /e* «iroftfe* £F, GH, se couperont en un point M, de manière qu'on

«U7^HM:MG::A£:£B, e^£M:MF::AH:HD.

Conduisez suivant AD un plan quelconque A^HcD qui ne passe pas suivant GH; par les points £, B, C, F, mene^ à GHles paralldes Ee, Bb,Cc, F/, qui rencontrent ce plan en e, ^, c,/. A cause des parallèles Bb, GH, Ce* , on aura œ:H<;:: BG:GC :: AH:HD; donc^les triangles AH^/DHc, sont semblables. On aura ensuite Ae:eb::ÂJB,:EBj etD/:

fig.1934

'«49 GÉOMiTRiXl

/c::DF:FC; donc keieby.Hfifc ^ ou, componenào , kef ly*:: Aô:Dc; mais, à cause des tiiangles semblable» AH^f DHc, on a KbiTic:: AH.HD; donc Ae:D/:: AH:HD : d'ailleurs les triangles AH6, cTID, étant semblables, l'angle HA^ ♦ao, 3. izzHDjJ'; donc les iriartglés AHe, BH/, soilt semblables*, donc Tangle AHe=DIÎ/. Il s'ensuit d'abord que cH/'est une ligne droite , et qu'ainsi les trois parallèles Ee , GH , F/*^ sont situées dans un même plan , lequel contiendra les deux droites EF, GH; donc celles-ci doivent se cbuper ert un point M. Ensuite, à cause des parallèles "Ee , MH , F/", on, aura EM:MF::cH:H/:: AH:HD.

Par une construction semblable, rapportée au coté ABf on démontrerait que HM:MG:: AE.'EB^

PROPOSITION XVIL

THEOREME.

H' '9* V angle compris entre les deux plans MAST ^ MAP, peut être mesuré j conformément à la définition , par V angle NAP que font erUre ellei les deux perpendiculaires AN , AP , menées dans chacun de ces plans à V intersection commune AM.

Pour démontrer la légitimité de cette mesure, il faut prouver, i? quelle est constante, ou qu'elle serait la même en quelque point de rintersectioii commune qu'on menât les deux perpendiculaires.

En effet , si on prend un autre point M , et qu'on mené MG dans le plan MN, et MB dans le plan MP, perpendiculaires à l'intersection commune AM ; puis* que MB et AP sont perpendiculaires à une même ligne AM, elles sont parallèles entre elles. Par la même raison MC est parallèle à AN ; donc l'angle BMC =: • ,3. PAN * ; donc il est indifférent de mener les perpendiculaires au point M ou au point A} l'angle compris ^era toiijours le même.