LIVRE V. I/f

n^ n faut prouver que si langle des deux plans augmente ou diminue dans un certain rapport , Vangle PAN augmentera ou diminuera dans le même rapport.

Dans le plan PAN décrivez du centre A et d'un rayon à volonté Tare NDP, du centre M et d'un rayon égal décrivez Tare CEB , tirez AD à volonté'; les deux plans PAN, BMC, étant perpendiculaires à une même droite MA, seront parallèles*; doTic les intersections *(>. AD , ME , de ces deux plans par un troisième AMD, seront parallèles ; donc langle BME sera égal à PAD*. * ^^*

Appelons pour un moment cpin Tangle formé par deux plans MP , MN ; cela posé , si l'angle DAP était égal à DAN, il est clair que le coin DAl^P serait égal au coin DAMN ; car la base PAD se placerait exactement sur son égale DAN, la hauteur AM siérait toujours la même ; donc les deux coins coïncideraient TuH avec l'autre. On voit de même que si l'angle DAP était contenu uft certain nonvbre de fois juste dans Fangle PAN, le coin PAMP serait contenu autant de fois dans le coin PAMN. D'ailleurs du rapport en nombre entier à un rapport quelconquç la conclusion est légitime, et a été démontrée dans une circonstance tou>à-fgiit seoiblable * ^^ donc quel que * 17»^ soit le rapport de l'angle DAP à l'angle PAN, le coin D AMP sera dans ce même rapport avec le coin PAMN i donc l'angle NAP peut être pris pour la mesure du coin PAMN^ om de l'angle que font entre çuiç les deux plans MAP , MAN.

Scholle, n en est des angles formés par deux plans comme des angles formés par deux droites. Ainsi lorsque deux plans se traversent mutuellement , les angle$ opposés au sommef sont égaux, et les angles adjacents valent ensemble deux angles droits ; donc si un plari est perpendiculaire à un autre , celui-ci est perpendi-»» (îulaire au prenarer. Pareillement dans la rencontre àe$.

x5q géométrib.

plans paialleles par un troisième plan , il existe les

inêmes égalités et les mêmes propriétés que dans h

rencontre de deux lignes parallèles par une troisième

ligne,

PROPOSITION XVIIL

THEOREMS.

fj-.i94. La ligne AP étant perpendiculaire au plan MN , tout plan APB , conduit suivant AP, sera perpendiculaire au plan MN.

Soit BG l'intersection des plans AB, MN; si dans le plan MN on mené DE perpendiculaire à BP, la ligne AP, étant perpendiculaire au plan MN, sera perpendiculaire à chacune des deux droites BG , DE : mais l'angle APD, formé par les deux perpendiculaires PA, PD, à rtntersection commune BP, niesure l'angle des deux plans AB , MN ; donc , puisque cet angle est droit ,

d«f. 5. ^^ deux plans sont perpendiculaires entre eux*,

Scholie, Lorsque trois droites, telles que AP, BPj DP , sont perpendiculaires entre elles , chacune de ces; droites est perpendiculaire au plan des deux autres , çt les trois plans sont perpendiculaires entre eu:2(^

PROPOSITION XIX

THEOREME.

*gX94.

Si le plan AB est perpendiculaire au plan MN, et que dans le plan AB on mené la ligne VAper-^ pendiculaire à l'intersection commune PB,yle dis que PA sera perpendiculaire au plan MN.

Car si dans le plan MN on mené PD perpendiculaire à PB, l'angle APD sera droit f puisque les plans sont perpendiculaires entre eux; donc la ligne AP est perpendiculaire aux deux droites PB , PD ; donc elle est perpendiculaire à leur plan MN^

i:.iyRE V, i5i

Corollaire, Si le plan AB est perpendiculaire au plan MN, et que par un point P de Tintersection commune on ëleve une perpendiculaire au plan MN, je dis que cette perpendiculaire sera dans le plan AB ; car , si elle n'y était pas , on pourrait mener dans le plan AB une perpendiculaire AP à l'intersection Commune BP, laquelle serait en même temps perpendiculaire au plan MN ;. donc au même point P il y aurait deux perpendiculaires au plan MN} ce qui est impossible *• 4.

PROPOSITION XX

fl

THÉORÈME

Si deux plans A B , AD , sont perpendiculaires fg. 1^4. à un troisième MN , leur intersection commune AP sera perpendiculaire à ce troisième plan.

Car â par le point P on élevé une perpendiculaire au planMN, cette perpendiculaire doit se trouver àla-fois dans lé plan AB et dans le plan AD^; donc elle *cor.,i9. est leur intersection commune AP.

PROPOSITION XXI

THEOREME.

Si un angle solide est formé par trois angles fig. tqS plans y la somme de deux quelconques de ces angles sera plus grande que le troisième.

IX n'y a lieu à démontrer la proposition que lorsque l'angle plan qu'on compare à la somme des deux autres est plus grand que chacun de ceux-ci. Soit donc Fangle solide S formé par trois angles plans ASB, ASC , BSC, et supposons que Vangle ASE( soit le plus grand des trois ; je dis qu'on aura ASB < ASC + BSC.

Dans le plan ASB faites l'angle BSD^=;9SC, tirez

iKa GEO M é TRIE.

ii volonté la droite ADB; et, ayant pris SC = SD, joignez AC, BC.

Les deux côté« ES, SD, sont égaux aux deux BS,

^ se , Pangle BSD=BSC ; donc les deux triangles BSD,

BSC sont égaux; donc BD=BC. Mais on a AB<i

AC+BC; retranchant dun côté BD, et de Tautre

son égale BC , il restera AD < AC, Les deux côtés AS,

SD, sont égaux aux deux AS, SC^ le troisième AD

* 10, 1. est plus petit que le troisième AC; donc* l*angle ASD

<AS6. Ajoutant BSD = BSC, on aura ASD + BSD,

Qu ASB<ASC + BSC.

PROPOSITION XXIL

THEOREM]?.

La somme des angles plans qui forment m angle solide, est toujours moindre que quaJOt angles droits, H'Jsfi' Coupez langle solide S par un plan quelconque ABCDE ; d un point O pris dans ce plan menez à . tous les angles les lignes OA, OB, OC, OD, OE. La somme des angles des triangles ASB, BSC, etc., formés autour du ^oipmet S, équivaut à la somme des angles d*un pareil nombre de triangles AOB, BOC , etc. , formés autour du sommet O. Mais au point B les angles ABO , OBC , pris ensemble , font l'angle ABC plus petit que la somme des angles ABS , ♦21. SBC*; de même au point C on a BCO-f-OCD<! BCS 4- SCD ; et ainsi à tous les angles du polygone ABCDE. Il suit de là que dans les triangles dont le sommet est en O , la somme des angles à la base est plus petite que la somme *des angles à la base dans 3es triangles dont le sommet est en S ; donc , par compensation , la somme des angles formés autour du point O est plus grande que la somme des angles ai\- IQur du point S., Mais la ^omme des cingles «lutouç