LIVRE y. iS
<lu pbînt O est égale à quatre angles droits^; donc la somme des angles plans qui forment Tangle solide S est moindre que quatre angles droits.
SchoUe. Cette démonstration suppose que l'angle solide est convexe , où que le plan d une face prolongée ne peut jamais couper l'angle solide; s'il en était autrement, la somme des angles plans n'aurait plus de jl>ornes et pourrait être d'une grandeur qlielconque.
PROPOSITION XXIII
THÉOREUE.
Si deux angles solides sont composés de trois angles plans égaux chacun à chacun^ les plans dans lesquels sont les angles égaux seront également inclinés entre eux.
Soit Tangle ASC=DTF, l'angle ASB=DTE, et fig.197. l'angle BSC=ETF ; je dis que les deux plans ASC, ASB, auront entre eux une inclinaison égale à celle des plans DTF , DTE.
Ayant pris SB à volonté , menez BO perpendiculaire au plan ASC ; du point O , où cette perpendiculaire rencontre le plan , menez OA , OC , perpendiculaires sur SA, SG ; joignez AB, BC; prenez ensuite TE=SB ; menez EP perpendiculaire sur le plan DTF; du point P menez PD , PF, perpendiculaires sur TD, TF ; enfin joignez DE , EF.
Le triangle SAB est rectangle en A, et le triangle TDE en D*, et puisque l'angle ASB == DTE, on a «6. aussi SBA=TED. D'ailleurs SB = TE; donc le triangle SAB est égal au triangle TDE; donc SA = TD, et AB=DE. On démontrera semblablement que SC=TF, et BC = EF. Cela posé, le quadrilatère SAOC est égal au quadrilatère TDPF ; car jposant l'angle ASC sur son égal DTF , à cause de
l54 GEOMETRIS.
SA=:TD. et SC=TF , le point A tombera en ET et le. point C en F. En même temps AO , perpendiculaire à SA, tombera sur DP perpendiculaire à TD, et pareillement OC sur PF; donc le point O tombera sur le point P, et on aura AO=DP. Mais les triangles AOB, DPE, sont rectangles en O et P, Thypoténuse AB=:DE, et le côté AO=DPj donc ces triangles *i8» «• sont égaux* 5 donc l'angle OAB=PDE. L'angle OAB est l'inclinaison des deux plans ASB, ASC; l'angle PDE est cçUe des deux plans DTE, DTF; donc ces deux inclinaisons sont égales entre elles.
Il faut observer cependant que l'angle A du trîan-» gle rectangle OAB n'est proprement l'inclinaison des deux plans ASB , ASC , que lorsque la perpendiculaire BO tombe , par rapport à SA , du même côté que SC; si elle tombait de l'autre côté, alors l'angle des deux plans serait obtus, et, joint à l'an* gle A du triangle OAB, il ferait deux: angles droits. Mais dans le même cas l'angle des deux plans TDE , TDF, serait pareillement obtus, et, joint à l'angle D du triangle DPE , il ferait deux angles droits ; donc, comme l'angle A serait toujours égal à 1^, on conclurait de même que l'inclinaison des deux plans ASB, ASC, est égale à celle des deux plans ÏDE TDF.
Scholie, Si deux angles solides sont composés de trois angles plans égaux chacun à chacun, et qu'en même temps les angles égaux ou homologues soient disposés de la même manière dans les deux angles solides , alors ces angles seront égaux ^ et posés l'un sur l'autre ils coïncideront. En effet on a déjà vu que le quadrilatère SAOC peut être placé sur son égal TDPF; ainsi en plaçant SA sur TD, SC tombe sur TF, et le point O sur le point P. Mais, à cause de l'égalité des triangles AOB, DPE, la perpendicu-» lair« OB au plan ASC est égale à la perpendiculaire
