LIVRE T. , l

PE au plan TDF ; de plus ces perpendiculaires sont dirigées dans le même sens ; donc le point B tombera sur le point £, la ligne SB sur TE , et les deux angles eolides coïncideront entièrement l'un avec l'autre.

Cette coïncidence cependant n'a lieu qu'en supposant que les angles plans égaux sont disposés de la même manière dans les deux angles solides; car si les angles plans égaux étaient disposés dans un ordre inverse, ou, ce qui revient au même, si les perpendiculaires OB, P£, au lieu d'être dirigées dans le même sens par rapport aux plans ASG, DTF, étaient dirigées en sens contraires , alors il serait impossible de hire coïncider les deux angles solides l'un avec Tautre. Il n'en serait cependant pas moins vrai , conformément au théorème , que les plans dans les^els sont les angles égaux seraient également inclinés entre eux ; de sorte que les deux angles solides seraient égaux dans toutes leurs parties constituantes , sans néanmoins pouvoir être superposés. Cette sorte d'^;alité, qui n'est pas absolue ou de .superposition 9 mérite d'être distinguée par une dénomination parti-^ culiere : nous l'appellerons égalité par symmétrie.

Ainsi les deux angles solides dont il s'agit , qui sont formés par trois angles plans égaux chacun à chacun ^ mais disposés dans un ordre inverse , s'appelleront angles égaux par spnmétrie^ ou simplement angles spnmétriques.

La même rem^ue s'applique aux angles solides formés de plus de trois angles plans : ainsi un angle ^lide formé par les angles plans A, B, C, D, E, et un autre angle solide formé par les mêmes angles dans un ordre inverse A, E, D, C, B, peuvent être tels que les plans dans lesquels sont les angles égaux soient également inclinés entre eux. Ces deux angles jQli4es, ^ui seraient égau:2( sans que la superposition

fAt possible, s'appelleront angles solides égaux fcû^

sjrmmctrley ou angles solides sjpnmétriques.

Dans les figures planes il ny a point prdprcmeni rVëgalité par symmëtrie, et toutes celles qu'on you* drait appeler ainsi seraient des égalités absolues ou de superposition : la raison en est qu'on peut renverser une figure plane, et prendre indifféremment le dessus pour le dessous. Il en est autrement dans les solides ou la troisième dimei:i3ion peut êti^e prise dans deux sens différents,

PROPOSITION XXIV

PROBLÊME

Étant donnés les trvis angles plans quiformeni un «//«/<» solide , troii\*er par une construction ptftnc n^ngle que deux de ces plans font entre rnx.

H »i^^ îv>it S Tangle solide proposé ,» dans lequel o» cou'- «a;t los liMÎs anglt^ plans ASB, ASC, BSC; on deuumdo Idu^lequo font entre eux deux de ces plans» p^r ovtMuplo les plans ASB, .\SC^..

luuij^iuons qu on ait fait la même construction que tlans lo tluvrèmo prtxxsîeut , Tangle QAB serait l^anglç ixNjurs. Il sa^it dv>uo Jo tïvniTer le mérae angle par ïil^o Kvnstrtu^ion pUi>o ou trii^vo <ur un plan.-

IVr,r *t^A faiu^ sîîr un p^.Ar. les ap^le* B'SA , ASC» B*Si\ c^aux av.\ an^lrt^ RSV. ASC, BSC, dans la f,it;ï^ :È^v^îo; :>r>rr.03 l> S <^î B*> ejaux chacun à BS ^îv* U tli-iiTt" sxv\>i^ : ^W ^.xvr,r> ï^ ^: B' jibaissez B'A <^ Î^'C ^v\'jV^>,;iOU^.AVA'^ si:ï SV « SC, lesquelles se

1^ /l- . av. ;vN ""t O â\v>v-î nv,. ^ V j: ^

rt Vangle EAi ^ra Vinclinaison cherchée des deux plans ASC y ASB , dans l'angle solide.

Tout se réduit à f^iiTe voir que le triangle AOi de la figure plane est égal au- triangle AOB de la figure solide. Or les deux triangles B'SA, BSA, sont rectangles en A, les angles en S sont égaux ; donc les angles en B et B' sont pareillement égaux. Mais l'hypoté»- Tiuse SB' est égale à l'hypoténuse SB ; donc ces triangles sont ^aux; donc SA de la figure plane est égale à SA de la figure solide, et aussi AB', ou son égale A3 dans la figure plane est égale à AB dans la figure solide. On démontrera de même que SC est égal de part et d autre ; d'où il suit que le quadrilatère SAOC est égal dans lune et dans l'autre figure , et qu'ainsi AO de la figure plane est égal à AO de la figure solide; donc dans l'une et dans lautre les triangles rectangles A0£, AOB, ont l'hypoténuse égale et un côté égal ; donc ils sont égaux , et l'angle EA^ , trouvé par la construction plane , est égal à l'inclinaison des deux plans SAB ^ SAÔ , dans l'angle solide.

Lorsque le point O tombe entre A et B' dans la figure plane, l'angle EA^ devient obtus, et mesure toujours la vraie inclinaison des plans 2 c'est pour cela que Ton a désigné par EA^ , et non par OA^ , Imclinaison demandée , afin que la même solution convienne à tous les cas sans exception.

Scholie, On peut demander si, en prenant trois angles plans à volonté , on po,urra former avec ces trois «ingles plans un angle solide.

D'abord il faut que la somme des trois angles donlies soit plus petite que quatre angles droits, sans quoi l'angle solide ne peut être formé*; il faut de plus 'aa. qu'après avoir pris deux des angles à volonté B'SA, ASC, le troisième CSB" soit tel, que la perpendiculaire B'C au côté SC rencontre le diamètre B'Ë entre

' l58 GÉOHBTRIS.

ses extrémités B' et E. Ainsi les limites de la gM* U deur de Tangle CSB" sont celles qui font aboutir U perpendiculaire B"C aux points B' et E. De ces points abaissez sur GS les perpendiculaires B'I , EK, qui rencontrent en I et K la circonférence décrite du rayon SB", et les limites de langle CSB*' seront CSI et CSK.

Mais dans le triangle isoscele B'SI, la ligne CS pro« longée étant perpendiculaire à la base B'ï, on a IW gle CSI = CSB'=ASC4-ASB'. Et dans le triangle isoscele ESK , la ligne SG étant perpendiculaire à EK, on a l'angle CSK=CSE. D'ailleurs, à cause dei triangles égaux ASE, ASB% l'angle ASE=ASB'; donçCSE ou CSK=ASC— ASB'.

Il résulte de là que le problème sera possible tontes les fois que le troisième angle GSB" sera plus petit que la somme des deux autres ASC , ASB' , et plus grand que leur différence : condition qui sVcoorde avec le théorème xxi ; car, en vertu de ce théorime, il faut quon ait CSB" < ASC4-ASB'; il faut aussi qu'on ait ASC < CSB"+ ASB', ou CSB\>ASC-^ ASB'.

PROPOSITION XXV

PROBLEME

Étant donnés deux des trois angles plah qui forment un angle solide y avec V angle que leurs plans /ont entre eux , trouver le troisième angle plan.

ti 19S. Soient ASC, ASB', les deux angles plans donnés, ^4 et supposons pour un moment que CSB" soit le troisième angle que Ion cherche , alors , en faisant h même construction que dans le problême précédent^ langle compris entre les plans des deux premiers serait EA£. Or, de même qu'on détermine Tangli

liy&s tr. i5g

£A5 par le moyen de GSB'% les deux autres étant donnés; de même on peut déterminer CSB" par le moyen de EAé, ce qui résoudra le problème proposé.

Ayant pris SB' à volonté , abaissez sur SA la perpendicnkdfe indéfinie B'Ë^ faites l'angle EA^ é^ à Tangle des deux plans donnés; du point b où le côté Ab rencontre la circonférence décrite du centre A et àxk rayon AB% abaissez sur A£ la perpendiculak^ M, et du point O abaissez sur SG la perpendiculaire indéfinie OCB", que vous terminerez en B" de malûere que SB'^^SB'; Fangle CSB" sera le troisième angle plan demandée

Car si on forme uii angle solide avec les trois angles plans B'8A, ASC, CSB% Finclinaison dei plans o& -sont les. angles donnés ASB% ASC , sera égale à Fangle donné ËAd.

SchoUôé Si un angle solide est quadruple ^ ou formé H ^9^ par quatre angles plans ASB , BSC , CSD , DSA , la connaissance de ces angles ne suffit pas pour déter» miner les inclinaisons mutuelles de leurs plans ; car avec les mêmes angles plans on pourrait former une infinité d'angles solides. Mais si on ajoute une condition , par exemple , si on donne Imclinaison des deux plans ASB , BSC, alors l'angle solide est entièrement déterminé, et on pourra trouver Tinclinaison de deux de ses plans quelconques. En effet, imaginez un angle solide triple formé par les angles plans ASB, BSC , ASC ; les deux premiers angles sont donnés , ainsi que l'inclinaison de leurs plans ; on pourra donc déterminer, par le problême qu'on vient de résoudre, le troisième angle ASC. Ensuite, si on considère l'angle solide triple formé par les angles plans ASC, ASD , DSC , ces trois angles sont connus ; ainsi Tangle solide est entièrement déterminé. Mais l'angle solide quadruple est formé par la réunion des deux angles

l8o G^OHÉTEIB.

solides triples dont on vient de parler ; donc, puisque ces angles partiels sont connus et déterminés , languie total sera pareillement connu et déterteiné.

L'angle des deux plans ASD , DSC, se trouverait immédiatement par le moyen du second angle solide partiel. Quant à l'angle des deux plans BSC, GSD, il faudrait dans un angle solide partiel chercher Tangle compris entre les deux plans ASC , DSC , et dans l'autre l'angle ' compris entre les deux plans ASC, BSC ; la somme de ces deux angles serait l'angle compris entre les plans BSC, DSC.

On trouvera de la même manière que , pour déterminer un angle solide quintuple, il feut connaître^ outre les cinq angles plans qui le composent, deux des inclinaisons mutuelles de leurs plans ; il en £uidrait trois dans Tangle solide sextuple , et ainsi de suite.