I.ITRE VI. l(J

|ue dans le premier, sans quoi ils ne différeraient pas l'un de l'autre : mais alors il est clair que quelques-'uns des nouveaux plans couperaient le premieir polyèdre; il y aurait des sommets au-dessus de ces plans , et des sommets au-dessous , ce qui ne peut convenir à un polyèdre convexe : donc, si deux polyèdres ont les mêmes sommets et en même nombre, ils doivent nécessairement coïncider l'un avec l'autre.

Scholie^ Etant donnés de position les points A, B, C, K, etc., qui doivent servir de sommets à un polyèdre , il est facile de décrire le polyèdre.

Choisissez d'abord trois points voisins D, £, H, figao4. tels que le plan DEH passe, s'il y a lieu, par de nouveaux points K , C , mais laisse tous les autres d'un même côté, tous au-dessus du plan ou tous audessous; le plan DEH ou DEHKC, ainsi déterminé, sera une face du/^lide. Suivant un de ses côtés EH , condmsez un plan que vous ferez tourner jusqu'à ce qu il rencontre un nouveau sommet F , ou plusieurs à-la-fois F, I; vous aurez une seconde face qui sera FEH ou FEHI. Continuez ainsi en faisant passier des plans par les côtés trouvés juéqu'à ce que le solide soit terminé de toutes parts : ce solide sera le polyèdre demandé , car il n'y en a pas deux qui puissent avoir les mêmes sommets.

PROPOSITION IL

THEOaâMB.

Dans deux polyèdres spnmétriques les faces Jiomologues sont égales chacune à chacune ^ et r inclinaison de deux faces adjacentes , dans un de ces solides ^ est égale à V inclinaison des faces homologues dans Vautre.

Soit ABCDE la base commune aux deux polyèdres,

l66 GBOMÉTRIE.

soient M et N les sommets de deux angles solides quek'onques de Fun des polyèdres , M' et N' les som- Aiéts homologues de l'autre polyèdre; il faudra, suivant la définition^ que les droites MM', NN', soient perpendiculaires au plan ABC , et qu elles soient divisées en deux parties égales aux points met n où elles rencontrent ce plan. Cela posé, je dis que la distance MN est égale à M'N'.

Car si on fait tourner le trapèze w'M'N'» autour de mn jusqu'à ce que son plan s'applique sur le plan TwMN/^; à cause des angles droits en m' et en «, le côté mW tombera sur son égal /tzM, et «N' sur nN; donc les deux trapèzes coïncideront , et on aura MN = M'N'.

Soit P un troisième sommet du polyèdre supérieur, et P' son homologue dans l'autre, on 'aura de même MP=M'P' et NP=N'P'; donc le trianff/e MNP, gui joint trois sommets quelconques du polyèdre supérieur j est égal au triangle M'N'P' qui joint les trois sommets homologues de V autre poljedre.

Si parmi ces triangles on considère seulement cewx qui sont formés à la surface des polyèdres, on peut déjà conclure que les surfaces des deux polyèdres sont composées d'un même nombre de triangles égauît chacun à chacun.

Je dis maintenant que si des triangles sont dans un même plan sur une surface et forment une même face polygone, les triangles homologues seront dans un même plan sur l'autre surface et formeront une face polygone égale.

En effet, soient Ml^N, NPQ, deux triangles adjacents qu'on suppose dans un même plan , et soient MT'N', N'P'Q', leurs homologues. On a l'angle MNP=M'NT', l'angle PNQ=zP'N'Q' ; et si on joignait MQ et M'Q', le triangle MNQ serait égal à M'N'QS ainsi on aurait l'angle MNQ:^M'N'Q\