LIVRE TI

Mais puisque MPNQ est un seul plan , on a Tangla MNQ=MNP-|-PNQ; donc on aura aussi M'N'Q' =M'N'P'H-FN'Q'. Or, si les trois plans M'NT', P'N'Q, M'N'Q', n'étaient pas confondus en un seul , ces trois plans formeraient un angle solide , et on aurait * l'angle M'N'Q' < M'N'F-hP'N'Q'; *2o,$. donc , puisque cette condition n a pas lieu , les deux triangles M'N'P', P'N'Q', sont dans un même plan.

Il suit de là que chaque face, soit triangulaire, soit polygone, dans un polyèdre, répond à une face égale dans Tautre, et qu'ainsi les deux polyèdres sont compris sous un même nombre de pians égaux , chacun à chacun.

n reste à prouver que l'inclinaison de deux faces adjacentes quelconques dans l'un des polyèdres est égale à l'inclinaison des deux faces homologues dans l'autre. .

Soient MPN , NPQ , deux triangles formés sur l'arête commune NP dans les plans des deux faces adjacentes; soient M'P'N', N' P' Q', leurs homologues ; on peut concevoir en N un angle solide formé par les troi« angles plans MNQ , MNP, PNQ, et en N' un angle solide formé par les trois M'N'Q', M'N'P, P'N'Q'. Or, on a déjà prouvé que ces angles plans sont égaux chacun à chacun; donc Finclinaison des deux plans MNP, PNQ, est égale à celle de leurs homologues M'N'P', P'N'Q' *. *aa,5.

Donc, dans les polyèdres symmétriques , les faces sont égales chacune à chacune, et les plans de deux faces quelconques adjacentes d'un des solides , ont entre eux la même inclinaison que les plans des deux faces homologues de l'autre solide.

Scholie. On peut remarquer que les angles solides d*un polyèdre sont les symmétriques des angles solides de Vautre polyèdre; car si l'angle solide N est formé par les plans MNP, PNQ, QNR, etc., son homolo-

tGiir 6ÉOVSTBJB.

gue N' est forme par les plans M'N'F, P'N'Q', Q'N'R', etc. Ceux-ci paraissent disposés dans le même ordre que les autres; inai^ comme les deux angles solides sont dans une situation inverse l'un par rapport à Tautre , il s'ensuit que la disposition réelle des plans qui forment Tangle solide N' est Finverse de celle qui a lieu dans Fanglâ homologue N» D'ait leurs les incUnai^ns des plans consécutifii sont égales dans Tun et dans Tautre angle solide; donc ces angles solides sont symmétriques Tun de Tautr^ f^^rtz U sfholia de laprap. XXIU^ &V* V.

Cette remarque prouvé qu*un polyèdre tjmJcanqm ne peut Oi^ov^qu^un seul poljrèdre sjrmméfrique. Car si on construisait sur une autre base un nouveau polyèdre sym métrique au polyèdre donnée les angle^ jsoiides de celui-ci seraient toujours symmétriques dies angles du polyèdre donné; donc ils seraient ^aux à ceux du polyèdre syknmétrique construit sut la preiniere base. D'ailleur^s les faces homologues seraient toujours égales; donc ces deux polyèdres symmétriques cons» ti uiis sur une base ou sur une autre auraient les faces égales et les angles solides égaux ; donc ils coïncideraient par la superposition , et ne feraient qu'un seul et même polyèdre.

PROPOSITION III

THBOa£M£.

Deux prismes sont égauit lorsqu'ils ont un arkgle solide compris entre trois plans égaux chacun à chacun et semblablement placés.

t-i.iQo, Soit la base ABCDË égale à la base ahcdey le parallélogranmie ABGF égal au parallélogramme «ig/*, et le parallélogramme BCHG égal au parallélogramme iùkg'y'je dis que le prismd ÂBCI sera égal au prisse

^ a h ni.

iiTRS ri. i6g

Car soît posée la base ABCDE^ur son égale abcde^ ces deux bases coïncideront : mais les trois angles plans qui ibrment Fangle solide B sont égaux aux trois angles plans qui forment langle solide b, chacun à chacun, savoir, ABC=a^c^ ABG^^aig, et GBC=zgbc; de plus ces angles sont semblablement placés : donc les angles solides B et & sont égaux , et par conséquent le côté BG tombera sur son égal ig. On voit aussi qu'à cause des parallélogrammes égaux ABGF, aif[fy le côté G F tombera sur son égal gf, et semblablement GH sur gh; donc la base 8upë«r rieure FGHIK coïncidera entièrement avec son égale fgJûky et les deux solides seront confondus 6n un seul, puisqu'ils auront les mêmes sommets^. *>•

Corollaire. Deux prùmes droits qui ont des hases égales et. des hauteurs égales sont égaux. Car ayant le côté AB égal kaby et la hauteur BG égale à bgy le rectangle ABGF sera égal au rectangle aigf; il en sera de même des rectangles BGHC, bghc; ainsi les trois plans qui forment Tangle solide B sont égaux sux trois qui forment langle solide b. Donc les deux prismes sont égaux.

PROPOSITION IV

théor£ms.

Dans tout parallélépipède les plans opposés ont égaux et parallèles.

Suivant la définition de ce solide, les bases ABCD, 4* ^^ «F6H, sont des parallélogrammes égaux, et leurs Ôtés sont parallèles : il reste donc à démontrei: que I même chose a lieu pour deux faces latérales Oj^j^ ies , telles que A£HD, BFGC. Or , AD est égale et irallele à BC, puisque la figiure ABCD est un parais

i^o G i:o:uETKiC.

l<;lo{^imme ; par une riiison st-mblable AE est^ali et paiallclc à lîF : donc langle DAE est égal à l'anglf CBF*,et le planDAE paiallele àCBF; donea paiallélogramme DAEH esr égal au parallélogi CBFG. On dénionurera de même que les parallflo grammes opposés ABFE, DCGU, sont égau:

rai Ici es.

Corollaire. Puisque le parallélépipède est un solide compris sous six plans dont les opposés sont égauiet ])aralieles, il s'ensuit qu'une face quelconque tt opposée peuvent être prises pour les bases du parai- Itilepipede.

Scholût. Etant données trois droites, AB , AEjAD, passant par un même point A , et faisant entre elb des angles donnés, on peut sûr ces trois droites cm* tniire un parallélépipède; il faut pour cola me»* par l'extrémité de chaque droite un plan panl' au plan des deux autres; savoir, par le point B plan parallèle à DAE, par le point D un plan parallèle à BAE , et par le point E un pian parallèle à Mfl Les rencontres mutuelles de ces plans formenati parallolepipcde demandé.

PROPOSITION V

n.irs /,>:;/ pcim.'/r/epi/^Je les angles so¥ opf'osts soKt srini/id triques Fan f^ Fa^^ hs ,h,i^ou.ih-s maxes peu- les Mtntnels *' .;-7i>/.-,< ■:(■ ,\wpt'nt mutMelientffa en d<«^