LIVRE VI

ment l'angle solide A sont égaux aux trois qui forment l'angle solide G, chacun à chacun; d ailleurs il est facile de voir que leur disposition est différente dans Vun et dans, l'autre; donc i^ les deux angles solides A et G sont symmétriques Vun de l'autre *. ♦23,5.

En second lieu, imaginons deux diagonales EG, AG, menées lune et l'autre par des sommets opposés : puisque AE est égale et parallèle à CG , la figure AEGG fBst un parallélogramme; donc les diagonales EC , AG , se couperont mutuellement en deux parties égales. On démontrera de même que la diagonale EG et une autre DF se couperont aussi en deux parties égales; donc 2^ les quatre diagonales se couperont mutuellement en deux parties égales , dans un même point qu'on peut regarder comme le centre du parallélépipède.

PROPOSITION VI

THÉORÈME

Le plan BDHF, qui passe par deux arêtes ^5^07. parallèles opposées BF, DH, dwise le parallélépipède AG en deux prismes triangulaires ABDHEF, GHFBCD, symmétriques Vun de Vautre,

D'abord ces deux solides sont des prismes; caries triangles ABD , EFH , ayant leurs côtés égaux et parallèles , sont égaux , et en même temps les faces latérales ABFE, ADHE, BDHF, sont des parallélogrammes; donc le solide ABDHEF est un prisme : il en est de même du solide GHFBCD. Je dis maintenant que ces deux prismes sont symmétriques l'un de l'autre.

Sur la base ABD faites le prisme ABDE'F'H' qui soit le symni étriqué du prisme ABDEFH. Suivant ce qiii a été démontré î, le plan ABF'E' est égal à * *•

cor.

Or, à cause des parallélogrammes ABFE, aBF^^les côtés AE, ae^ égaux à leur parallèle BF, sont égaux entre eux; ainsi, en ôtant la partie commune Ad, il restera Aa = Ee. On prouvera de même que Di^zzzHA.

Maintenant , pour opérer la superposition des deux solides BflADûf , F<?EH/^, plaçons la base Yeh sur son égale ^ad; alors le pointe tombant en a, et le point h en d^ lés côtés eE , hH ^ tomberont sur leurs égaux ûîA, ^D, puisqu'ils sont perpendiculaires au même plan. B<2^. Donc les deux solides dont il s'agit coïncideront entièrement l'un avec l'autre ; donc le prisme oblique BADFEH est équivalent au prisme droit

On démontrera semblablement que le prisme oblique BDCFHG est équivalent au prisme droit 'RdcFhg. Mais les deux prismes droits BadFehy BdcFkg sont égaux entre eux , puisqu'ils ont même hauteur BF , et que leurs bases Bad^ Bdc sont moitiés dun même ♦ 3 parallélogramme *. Donc les deux prismes triangulaires BADFEH, BDCFHG , équivalents à des prismes égaux, sont équivalents entre eux.

Corollaire, Tout prisme triangulaire ABDHEF est la moitié du parallélépipède AG , construit sur le même an^le solide A, avec les mêmes arêtes A6, AD, AE.

PROPOSITION IX

THÉORÈME

fig.209. Si deux parallélépipèdes AG , AL , ont une base commune ABCD , et que leurs bases supé^ rieures EFGH , IRLM , soient comprises dans un même plan et entre les mêmes parallèles EK, HL, ces deux parallélépipèdes seront équivaleîits entre eux.