LIVRE VI

Il peut arriver trois cas, selon que El est plus and , plus petit ou égal à EF ; mais la démonstration t la même pour tous : et d'abord je dis que le prisme iangulaire AEIDIIM est égal au prisme triangulaire FKGGL.

En effet, puisque AE est parallèle à BF et HE à F, langle AE1 = BFK, HEI=GFK, et HEA = FB. De ces six angles les trois premiers forment ingle solide E , les trois autres forment l'angle solide ; donc , puisque les angles plans sont égaux chacun chacun, et semblablement disposés, il s'ensuit que is angles solides E et F sont égaux. Maintenant, si n pose le prisme AEM sur le prisme BFL , et d'abord L base AEI sur la base BFK, ces deux bases étant gales coïncideront; et puisque l'angle solide E est îgal à l'angle solide F , le côté EH tombera sur son igal FG : il n'en faut pas davantage pour prouver que es deux prismes coïncideront dans toute leur éteiilue; car la base AEI et l'arête EH déterminent le prisme AEM, comme la base BFK et l'arête FG déterminent le prisme BFL * : ddnc ces prismes sont * 3. ^gaux.

Mais si du solide AL on retranche le prisme AEM , * restera le parallélépipède AIL ; et si du même so- 'de AL on retranche le prisme BFL, il restera le ^rallélepipede AEG ; donc les deux parallélépipèdes iL, AEG, sont équivalents entre eux.

PROPOSITION X

THEOREME.

Deux parallélépipèdes de même base et de éme hauteur sont équivalents entre eux.

Soit ABCD la base commune aux deux parallèle- %.îiio. pedes AG, AL ; puisqu'ils ont même hauteur, leurs ses supérieures EFGH, IKLM, seront sur le même

178 Gio^ittLiÈ.

plan. De plus les côtés EF et AB sont égdnx et pant leleS) il en est de méhie de IK et AB ; donc EF est égal et parallèle à IK : par une raison semblable GF eiC ëgal et parallèle à LK. Soi^^nt prolongés les côtés EF,I^ H6 , ainsi que LK , IM , jusqu'à ce que les uns et hf L autres forment par leurs intersections le paraUélo- \^ gramme NOPQ, il est clair que ce paraliélogramme sera égal à chacune des bases EFGH, IKLM. Ori on imagine un troisième parallélépipède qui, avec il mAme batfe inférieure ABCD, ait pour base supérienie NOPQ , ce troisième parallélépipède serait équiyalintt au parallélépipède AG*, puisqu*ayant même base infii- ^* rieure , les bases supérieures sont comprises dans un m^moplan et entre les parallelesGQ^FN.Parlainéme raison ih? troisième parallélépipède serait équivalent au parallélepipeile AL; donc les deux parallélépipèdes AG, AL, qui ont même base et même hauteur|Sont équivalents entre eux.

PROPOSITION XL

THEOREMB.

I\uit fMÂTutiflep^de peut être changé en un panttMepif^^tie rectuffgie equi^'a/ent qui auru wcV«c* haatfMr ei une base tquivaienle,

SiMt AG le parâUelepip^le proposé; des points A,^ IM.. O.menex AL BK.,CL, DM, perpendiculaires 4U pUn de la l>a»o« vous tonuei^a Msi le parallclepijH\le \l. e\|ui\aktit au tviràlUIepipe de AG , et dontles Iak*^ UttrAU-s AK, KL^ etc. • «ror.t des ivctangles. Si doiw U lvA>e Vivo e^; un rxvun^ie« AL seralepaiallt'lejujKxlc :rv*rj^iy:Ie c\^u;ràU'îiî jiu pAràiièlepipedepio- ,,. l'^^** ^^* ^*^* =" ABv!P r/rtî rjLsun rtactJLngle, meDa.^ AO <K RN p^^r^MTUvlwuUire* sur CD, e&suile OQ*'K >r j'<îy<'î-vt;v'u*-Air>* «^ï^ 'A ^J|J^• VOC.5 Aonn le solid Vlv>OlKl\î ^u; *er* u« y^iL',*:<r^<de rccongle

i.ivfts vr. 177

Bn efFet) par construction, la base A6N0 et son opposée IKPQ sont des rectangles ; les faces latérales en bont aussi, puisque les arêtes AI, OQ, etc. , sont perpendiculaires au plan de la base; donc le solide AP est un parallélépipède rectangle. Mais les deux parallélépipèdes AP, AL , peuvent être censés avoir même iMse ABRI et même hauteur AO : donc ils sont équivalents; donc le parallélépipède AG, qu'on avait (î'a- fi^-ato bord changé en un parallélépipède équivalent AL, se trouve de nouveau changé en un parallélépipède rec« tangle équivalent AP^ qui a la même hauteur Al, et dont la base ABNO est équivalente à la base ABCD.

PROPOSITION XIL

THÉORÈME

Deux parallélépipèdes rectangles A G , AL, fig.2xa^ qui ont la même base ABCD, sont entre eux tomme leurs hauteurs AE, AI.

Supposons d'abord que les hauteurs AE, AI, soient entre elles comme deux nombres entiers, par exemple, comme ï 5 est à 8. On divisera AE en i5 parties égales, dont AI contiendra 8, et par les points de division x, y^ z, etc., on mènera des plans parallèles à la base. Ces plans partageront le solide AG en i5 parallélépipèdes partiels qui seront tous égaux entre eux, comme ayant des bases égales et des hauteurs égales ; des bases égales, parce que toute section comme Ml KL, faite dans' un prisme parallèlement à sa base ABCD, est égale à cette base*^ des hauteurs égales, parce que ces hau- *7. teurs sont les divisions mêmes Aj:, ay^ xz^ etc. Or, ^e ces i5 parallélépipèdes égaux, huit sont contenus dans AL ; donc le solide AG est au solide AL comme j5 est à 8, ou en général comme la hauteur AE est à la hauteur AI.

Onz. cd. la

t'ip. Jis^

1^8 GiotiitKit*

En .second lieu, si le rapport de ÂE à AI ne peii€ 8 exprimer en nombres , je dis quon n^en aura pas; moins solid. AG : solid, AL : : ÂE : AI. Car , si cette' proportion n'a pas lieu, supposons qu'on ait sol: AGi soL AL : : AE : AO. Divisez AE en parties égales dont chacune soit plus petite que 01 , il y aura au moins un point de division m entre O et I. Soit P le parât lëlepipede qui a pour base ABCD et pour hauteur A/71 ; puisque les hauteurs AE , Am sont entre elles comme deux nombres entiers, on aura soL AG : P :: AE : Am* Mais on a , par hypothèse , soi, AG : soL AL : : AE : AO ; de là résulte sol, AL : P : : AO : Am. Mais AO est plus grand que Am; donc il faudrait, pour que la proportion eût lieu , que le solide AL fut plus grand que P. Or au contraire il est plus petit : donc il est impossible que le quatrième terme de la proportion sol, AG : sol, AL : : AE : x, soit une ligne plus grande que AL Par un raisonnement semblable on démontrerait que le quatrième terme ne peut être plus petit que Al ; donc il est égal à AI ; donc les parallélépipèdes rectangles de même base sont entre eux comme leurs hauteurs.

PROPOSITION XIIL

Deux parallélépipèdes rectangles AG, AR, qui ont même hauteur AE, sont entre eux commt leurs hises ABCD, AM^O.

Ayant placé lo> doux 5olii:e> lun à cOté de Fautre, i\^iunu* la tî^urv les rep revente, prolongez le plan O^KL, jusqu*à et* qu il wnconcre le plan DCGH soi- ^aut l\î* \vnis axiro: un tr\n>ieme parallélépipède AQ, qu'où pvHura ivmj^arcr à chacun de* f ^nllelepipedes AG » AK. le;? Aru\ *%>lide* AG , AQ, avant même base

àEHD, «ont entre eux comme leurs hauteurs AB , \0; pareillement les deux solides ÂQ, AR, ayant même base AOLE, sont entre eux comme leurs hauteurs AD 9 AM. Ainsi on aura les deux proportions, soL AG : sol. AQ :: AB : AO, soL AQ : soi. AK : : AD : AM.

Multipliant ces deux proportions par ordre , et omet-*> tant, dans le résultat, le multiplicateur commun soL AQy on aura,

sol. AG : sol. AK :: AB x AD : AO x AM.

Hais AB X AD représente la base ABCD, et AO X AM représente h base AMNO ; donc deux parallélépipèdes rectangles de même hauteur sont entre eux comme leurs bases.

PROPOSITION XIV

THEORÂHS.

Deux parallélépipèdes rectangles quelconques ^nt entre eux comme les produits de leurs bases par leurs hauteurs , ou comme les produits de ieurs trois dimensions.

Car ayant placé les deux soKdes AG, AZ, de ma- fig.AtS»; "kiere que leurs surfaces aient Tangle commun BAE, Prolongez les plans nécessaires pour former le troi* ieme parallélépipède AK de même hauteur avec le Parallélépipède AG. On aura, par la proposition présente,

sol. AG : sol. AK :: ABCD : AMNO.

If ais les deux parallélépipèdes AK, AZ, qui ont même lase AMNO, sont entre eux comme leurs hauteurs L£ 9 AX ^ ainsi on a ,

sol. AK : sol. AZ :: AE : AX.

lultipliant ces deux proportions par ordre, et omet*

i8o GiioMcrrif K.

tant, dans le résultat, le multipKcateur commun sol* AK, on aura

soi. AG : soL AZ : : ABCD x AE : AMNO X AX.

A la place des bases ABCD et AMNO, on peut mUM AB X AD et AO X AM, ce qui donnera , soi. AG : W. AZ :: ABx ADx AE : AOx AMxAX, Donc deux parallélépipèdes rectangles cpielconques sont entre eux , etc.

Scholie. Il suit de là qu'on peut prendre pour mesure d*un parallélépipède rectangle le pi-oduit de n base par sa hauteur, ou le produit de ses trois dimensions. Cest sur ce principe que nous évaluerons tons les autres solides.

Pour rinielligence de cette mesure il faut se rappeler qu'on entend par produit de deux ou de plu- .<i(Hirs lignes, le produit des nombres qui représentent ces lignes, et ces nombres dépendent de Tunité linéaire qu'on peut prendre à volonté : cela posé, le produit des trois dimensions d'un parallélépipède est un nombre qui ne signifie rien en lui-même, et qui serait ditYôreni si on avait pris une autre unité linéaire. Mais h si on multiplie de même les trois dimensions d'un autre Ip; IKuallélepiptHle^ en les évaluant d'après la même unité |ic linéaire , les deux produits seront entre eux comme les soliiles y et donneront l'idée de leur grandeur relative.

I.a :;randeur d*un solide « son volume ou son étendue ivusti tuent ce qu'on appelle sa solidité^ et le mo *lo ^\\",\;".\%' est employé p;iriiculièrement pour désigner Kl uu'sure d'un solide : ainsi ou dit que la solidité d'un jMralleiojM|H\le uvtangle est egule au prodmt de sa l\xs<* jur sa l;ai;teur , ou au produit de ses trois di- niotîsions.

l N*s nvis ^hu'.cnslop.s vU; ov.l^ étant éo^ales entre *'îîe>» SI le vvîe e>: i , la *v\..:i:e >era i x i X i , ou i; >»i U' ^\ \ v>; ^. '.u iO*uu,c j<;v ^xaX2, ou 8; sile *^