LIVRE VI. l8l

i&té est 3, la solidité sera 3 X 3 X 3, ou 27, et ainsi de suite; ainsi les côtés des cubes étant comme les nombres I, !i, 3, etc., les cubes eux-mêmes ou leurs solidités sont cpmme les nombres i, 8, 27, etc. De là vient qu'on iappelle en arithmétique cuè^ d^un nombre le produit qui résulte de trois facteurs égaux à ce nombre.

Si on proposait de faire un cube double d'un cube donné , il faudrait que le côté du cube cherché fi\t au côté du cube donné comme la racine cube de 2 est à Tunitë. Or on trouve facilement, par une construction géométrique, la racine quarrée de a ; mais on ne peut pas trouver de même sa racine cube , du moins par les simples opérations de la géométrie élémentaire, lesquelles consistent à n'employer que des lignes droites dont on connaît deux points, et des cercles dont les centres et les rayons sont déterminés.

A raison de cette difficulté le problème de la' duplicatian du cube a été célèbre parmi les anciens géomètres, comme celui de la trisection de F angle ^ qui est à-peu- près du même ordre. Mais on connaît depuis long-tempSTles solutions dont ces sortes de problèmes sont susceptibles , lesquelles , quoique moins simples que les constructions de la géométrie flémentaire, ne sont cependant ni moins exactes j^ ni moins rigoureuses..

PROPOSITION XV

THEOREME.

La solidité d'un parallélépipède ^ et en gé^ nêral la solidité d*un prisme quelconque j est égale au produit de sa base par sa hauteur.

Car I® un parallélépipède quelconque est équivalent à un parallélépipède rectangle de même hauteur 5C de base équivalente *. Or la solidité de celui-ci est *

égale à sa base multipliée par sa hauteur; donc h solidité du premier est pareillement égale au prodmt de sa base par sa hauteur.

2^ Tout prisme triangulaire est la moitié dii parallélépipède construit de manière qu'il ait la même haih * '' teur et une base double *. Or la solidité de celui-d est égale à sa base multipliée par sa hauteur ; donc celle du prisme ti4angulaire est égale au produit de sabase^ moitié de celle du parallélépipède , multipliée par sa hauteur.

3° Un prisme quelconque peut être parts^é en autant de prismes triangulaires de même hauteur ^'ob peut former de. triangles dans le polygone qui lui sert de base. Mais la solidité de chaque prisme triangulaire est égale à sa base multipliée par sa hauteur; et puis* que la hauteur est la même pour tous , il s'ensuit qne la somme de tous les prismes partiels sera égale à la somme de tous les triangles qui leur servent de basei| multipliée par la hauteur commune. Donc la sohditê d'un prisme polygonal quelconque est égale au produit de sa base par sa hauteur*

Corollaire. Si on compare deux prismes qui ont ^léme hauteur^ les produits des bases par les hau* teurs seront comme les bases ; donc deux prismes de même hauteivr sont entre eux comme leurs bases; par une raison semblable , deux prismes de mêm^e base sont entre eux comme leurs hauteurs.

PROPOSITION XVL

LBMME.

«0 au. Si une pyramide SABCDE est coupée par un plan abd parallèle à sa base y

I* Les côtés SA, SB, vSC,. . .. et la hauteurSXiy seront divisés proportionnellement en a, b, c,.. e^o; îi** La section abcde sera unpoljf^one sembla^ ble à la hase ABCDE,