I.IVRE I

Tmgle BAC feraient ensemble deux angles droits,

PROPOSITION xxyii.

Dans tout triangle ^ la somme des trois angles est égale à deux angles droits.

Soit ABC un triangle quelconque; prolongez le fig.41. côté CA vers D, et menez au point A la droite AE parallèle à BC.

A cause des parallèles AE , CB , les angles ACB, DAE , considérés par rapport à la sécante CAD , seront égaux comme internes-externes ; de même les angles ABC , BAE , considérés par rapport à la sécante AB, seront égaux comme alternes -internes; donc les trois angles du triangle ABC font la même somme que lés trois angles C AB , BAE , EAD \ donc cette somme est égale à deux angles droits^. *cor.3.

Corollaire I. Deux angles d^un triangle étant donnés ou seulement leur somme, on connaîtra le troisième en retraCnchant la somme de ces angles de deux angles droits.

II. Si deux angles d'un triangle sont égaux à deux angles d'un autre triangle^ chacun à chacun , le troisième de l'un sera égal au troisième de l'autre , et les deux triangles seront équiangles pntre eux.

III. Dans un triangle il ne peut y avoir qu'un seul angle droit ; car s'il y en avait deux , le troisième devrait être nul; à plus forte raison un triangle ne peut-il avoir qu'un seul angle obtus.

pr. s.

rV. Dans tout triangle rectangle la somme des deux angles aigus est égale à un angle droit.

*pr. 12. V. Tout triangle équilatéral , devant être ëquiangle*, chacun de ses angles sera égal au tiers de deux angles droits ; de sorte que si l'angle droit est exprimé par Tunité, l'angle du triangle équilatéral sera exprimé par f .

Hg 4,. VI. Dans tout triangle ABC langle extérieur BAD çst égal à la somme des deux intérieurs opposés B et C; car AE étent parallèle à BG, la partie BAE est égale à l'angle B, et l'autre partie DAE est égale à l'anglç G.

PROPOSITION XXVIII

THEOREME.

La somme de tous les angles intérieurs (Vun polygone est égale à autant de fois deux angle$ droits quiljr a d'unités dans le nombre de côtés moins deux,

«g. 4»' Soit ABGDE etc. le polygone proposé; si du sommet d'un même angle A , on mené à tous les sommets des angles opposés , les diagonales AC , AD , AE , etc. , il est aisé de voir que le polygone sera partagé en cinq triangles , s'il a sept côtés , en six triangles , s'il a huit côtés, et en général, en autant de triangles que le polygone a de côtés moins deux ; car ces triangles peuvent être considérés comme ayant pour sommet commun le point A, et pour bases les différents côtés du polygone, excepté les deux qui forment l'angle A. On voit en même temps que la somme des angles de tous ces triangles ne diffère point de la somme des angles

L 11^ R C t. hC)

du polygone; donc cette dernière somme est égale à autant de fois deux angles droits qu'il y a de triangles^ c'est-à-dire, quil y a. d'uni tés dans le nombre des côtévS du polygone moins deux.

Corollaire î. La somme des angles d'un quadrilatère est égale à deux angles droits multipliés par 4 — 2 , ce qui fait quatre angles droits \ donc si tous les angles d'un quadrilatère sont égaux, chacun d'eux sera un -angle droit , ce qui justifie la définition xyii où l'on a supposé que les quatre angles d'un quadrilatère sont droits, dans le cas du rectangle et du quarré.

II. La somme des angles d un pentagone est égale à deux angles droits, multipliés par 5 — 2, ce qui fait 6 angles droits ; donc lorsqu'un pentagone est équiangle, chaque angle est égal au cinquième de six angles droits, ou à | dun angle droit.

IIL La somme des angles dun hexagone est de 2X(6 — 2) ou 8 angles droits; donc dans Thexagone équiangle, chaque angle est le sixième de huit angles droits, ou les | dun angle droit; ainsi de suite.

Scholie. Si on voulait appliquer cette proposition fig. 43^. aux polygones qui ont des angles rentrants^ il faudrait considérer chaque angle rentrant comme étant plus grand que deux angles droits. Mais, pour éviter tout embarras , nous ne considérerons désormais que les polygones à angles saillants , qu'on peut appeler ^cor trement polj-gones convexes. Tout polygone convexe est tel qu'une ligne droite , menée comme on voudra^ ne peut rencontrer le contour de ce polygone en plus de deux points.

3ô tiHCMÉTElE.

PROPOSITION XXii.

THÉORÈME

Les côtés opposés d'un parallélogramme sont égaux ainsi que les angles opposés.

fe&-44. Tirez la diagonale Bt), les deux triangles ADB, DEC ) ont le côté commun BD ; de plus , à cause des

^pr.23. parallèles AD, BC, langle ADB=DBC*, et à cause des parallèles AB > CD , l'angle ABD=BDC; donc

^pr. 7- les deux triangles ADB, DBG, sont égaux*; donc le côté AB opposé à langle ADB est égal au côté DC opposé à l'angle égal DBG, et pareillement le troisième côté AD est égal au troisième BG ; donc les côtés opposés d'un parallélogramme sont égaux.

En second lieu , de l'égalité des mêmes triangles il s'ensuit que Tatigle A est égal à l'angle G, et aussi que Tanglé ADG, composé des deux angles ADB, BDC, esk égal à l'angle ABG, composé des deux angles DBG, ABD; donc les angles opposés d'un parallèlegramn^e sont égaux.

Corollaire, Donc deux parallèles AB, CD, comprises entre deux autres parallèles AD, BG, sont égales.

PROPOSITION XXX

THÉORÈME

fîg. u. Si dans un quadrilatère ABCD les côtés opposés sont égaux y en sorte qu'on ait ABznfCD, et AD=BC, les côtés égaux seront parallèles , et la figure sera un parallélogramme .

Car, en tirant la diagonale BD, les deux triangles AJBD , BDC , auront les trois côtés égaux chacun à chacun; donc ils seront égaux; donc l'angle ADB opposé au côté AB , est égal à l'angle DBC opposé au côté CD; donc* le côté AD est parallèle à BC. Par *P'»3une semblable raison, AB est parallèle à CD; donc le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.

PROPOSITION XXXL

Si deux côtés opposés AB , CD , d'un quadri- % 44. latere sont égaux et parallèles y les deux autres côtés seront pareillement égaux et parallèles , et la figure ABCD sera un parallélogramme.

Soit tirée la diagonale BD ; puisque AB est parallèle à CD , les angles alternes ABD , BDC , sont égaux*: d'ailleurs le côté AB=:DC, le côté DB est *pr.a3. commun , donc le triangle ABD est égal au triangle DBC*; donc le côté AD=BC, langle ADB=DBC, *pr.«. et par conséquent AD est parallèle à BC; donc la figmre ABCD est un parallélogramme.

PROPOSITION XXXII

THEOREME.

Les deux diagonales AC, DB, d'unparallé* %45. logramme se coupent mutuellement en deux parties égales.

Car, en comparant le triangle ADO au triangle COB, on trouve le côté AD=:CB, langle ADO = CBO* j et l'angle DAO=:OCB; donc ces deux trian- *pr.a5.

ai GÉdVETltrÈ.

♦pr. 7. gies sont égaux*; donc AO, côté opposé à Tan^è âDO , est égal à OG, côté opposé à l'angle OBC ; donè ' aussi DO = OB.

Scholie, Dans le cas du losange, les côtés AB^ BG, étant égaux, les triang es AOB, OBG, ont les trois côtés égaux chacun à chacun , et sont par conséquent égaux; d où il suit que Tangle AOB=;BOG, et qu'ainsi les deux diagonales d'un losange se coupent mutuelle^ ment à angles droits. ^