LIVRE VI. l

Car 1® les plans ABC, abc^ étant parallèles, leurs intersections AB, a*, par un troisième plan SAB, seront parallèles*; donc les triangles SAB , Soi, sont * lo, 5 semblables , et on a la proportion SA : Sa : : SB : Sb ; •on aurait de même SB : S* : : SC : Se , ejt ainsi de suite. Donc tous les côtés SA, SB, SC, etc., sont coupés proportionnellement en a, ^, c, etc. La hauteur SO est coupée dans la même proportion au point ^; car BO et bo sont parallèles, et ainsi on a SO : Sc' : : SB : S&.

2® Puisque ai est parallèle à AB, bc à BC, ca? à CD, etc., l'angle a*c==ABC, Tangle &crf = BCD, et ainsi de suite. De plus , à cause des triangles semblables SAB, Sa*, on a AB : a* : : SB : S* ; et à cause des triangles semblables SBC, Sic, On a SB : S* : : BC : bc; donc AB : oA : : BC : Ac; on aurait de même BC : fc : : CD : crf, et ainsi de suite. Donc les polygones ABCDE, €ibcde^ ont les angles égaux chacun à chacun et les côtés homologues proportionnels ; donc ils sont semblables.

Corollaire. Soient SABCDE, SXYZ, deux pyramides dont le sommet est commun , et qui ont même hauteur, ou dont les bases sont situées dans un même plan ; si on coupe ces pyramides par un même plan parallèle au plan des bases , et. qu'il en résulte les sections abcde^ xyz; je dis que tes sections abcde, xyz , seront entre elles comme les bases ABCDE , XYZ.

Caries polygones ABCDE, abcde ^ étant semblables leurs surfaces sont comme les quarrés des côtés homologues AB, ai; mais AB : ab :: SA : Sa; donc

ABCDE : abcde : : SA : Sa. Par la même raison, XYZ :

xj^ : : SX : Sj?. Mais puisque abcxyi» n'est qu'un même plan, on a aussi SA : Sa :: SX : S:r; donc ABCDE : abcde : : XYZ : xyi,; donc les sections abcde^ ccjrz , sont entre elles comme les bases ABCDE , XYZ.

l84 G£OM£TRIS.

PROPOSITION XVIL

LEMIIE.

fig *'5^- iSb/ï SABC une pyramide triangulaire dont S est le sommet et ABC la base ; si on divise les côtés SA, SB, se, AB, AC, BC, en deux parties égales aux points D, E, F, G, H, I, et que pat ces points on tire les lignes DE, EF, DF, EG^ FH, El, Gl, GH ;y> dis qu on pourra considéref la pjrramide SABC , comme composée de deux prismes AGllFDE, EGICFH, équivalents eiOre eux^ et de deux pyramides égales SDEF, EGBL

Par suite de la construction , ED est parallèle à BA et GE à AS ; donc la figure ADEG est un paiallâo* gramme. La figure ADFH en est un aussi par la même raison; donc les trois droites AD, GE , HF, sont égaies et parallèles; donc le solide A6HFDB est un •i , 5. prisme*.

On prouvera semblablement que lesi deux figures EFCI, CIGH, sont des parallélogramn>es , et qu'ainsi les trois droites EF, IC, GH, sont égales et parallèles; donc le solide EGICFH est encore un prisme. Or je dis que ces deux prismes triangulaires ^ont équivalents entre eux.

En eifet , si sur les arêtes GI, GE, GH, on fonne k

parallélépipède GX, le prisme triangulaire GEICFH

i sera la moitié de ce parallélépipède*; d'un autre côté,

le prisme AGHFDE est égal aussi à la moitié du pa-

*ï5. rallélepipede GX*, puisquils ont même hauteur, et

que le triangle AGH, base du prisme, est moitié du

*«>3. parallélogramme GICH*, base du parallélépipède.

Donc les deux prismes EGlCFtt, AGHFDE, sont

équivalents entre eux.

Ces deux prismes étant retranchés de la pyramida

LITRE TI. l85

SAJ3C, il lie reste plus que les deux pyramides SDEF, EGBI ; or je dis que ces deux pyramides sont égales entre elles.

En effet, à cause des côtés égaux, savoir, BE = SE, BG = AG = DE , EG = AD = SD , le triangle BEG est égal au triangle ESD. Par une raison semblable le triangle BEI est égal au triangle ESF; daiUeurs l'inclinaison mutuelle des deux plans BEG, BEI, est la même que celle des deux plans ESD, ESF, puisque BEG ne fait qu'un seul plan avec ESD, de même que BEI avec ESF. Donc si , pour opérer -la superposition des deux pyramides SDEF, EGBI, on place le triangle EBG sur son é^^al SDE, il faudra que le plan BEI tombe sur le plan ESF ; et puisque les triangles EBI , SEF, sont égaux et semblahlement places , le point I tombera en F, et les deux pyramides SDEF, EGBI, coïncideront en une seule.

Donc la pyramide entière SABC est composée de deux prismes triangulaires AGF, GIF, équivalents entre eux, et de deux pyramides égales SDEF, EGBI.

Corollaire I, Du sommet S soit abaissée SO perpendiculaire sur le plan ABC, et soit P le point où cette perpendiculaire rencontre le plan DEF parallèle i ABC ; puisque SD = | SA, on aura SP = ^ SO *, et * 16. le triangle DEFczz- ABC : donc la solidité du prisme AGHFDE = \ ABC x i SO , et celle des deux prismes réunis AGHFDE, EGICFH, = |ABCxSO. Ces deux prismes sont moindres. que la pyramide SABC, puisqu'ils y sont contenus 5 donc la solidité tTune pyra^ ndde triangulaire est plus grande que le quart du produit de sa base par sa hauteur.

Corollaire U. Si on mené les droites DG, DH, on aura une nouvelle pyramide ADGH, qui sera égale à la pyramide SDEF ; car on peut placer la base DEF sur son égale AGH, et alors les angles SDE, SDF, ^tant ^aux aux angles DAG, DAH, ïX est visible que

lS6 GÉOMÉTRIE.

* 55, 5. DS tombera sur AD*, et le sommet S sur le sommet D. Or, la pyramide ADGH est moindre que le prisme AGHDEF , puisqu'elle y est contenue; donc chacune des pyramides S D E F , EGBI, est moindre que le prisme AGHDEF ; donc la pyramide SABC qui est (composée de deux pyramides et de deux prismes , est moindre que quatre de ces mêmes prismes. Or la solidité de lun de ces prismes =jABCxSO, et son quadruple =|ABCxSO; donc la solidité de toute

pyramide triangulaire est moindre que la moitié du

produit de sa base par sa hauteur.

PROPOSITION XVIII

THEOREME.

La solidité d'une pyramide triangulaire est égale au tiers du produit de sa hase par sa hauteur.

fis 2i5. Soit SABC une pyramide triangulaire quelconque , ABC sa base, SO sa hauteur ; je dis que la solidité de la pyramide SABC sera égale au tiers du produit de la surface ABC par la hauteur SO, de sorte qu'on aura SABC = | ABC x SO , ou = SO X 4 ABC.

Car si on nie cette proposition, il faudra que h solidité SABC soit égale au produit de SO par une surface plus grande ou plus petite que j ABC.

Soit i^ cette quantité plus grande, en sorte qu^on ait SABC = SOx (^ABC+M). Si on fait la même construction que dans la proposition précédente , la pyramide SABC sera partagée en deux prismes équivalents entre eux AGHFDE, EGICFH, et en deux pyramides égales SDFE, EGBI. Or, la solidité du prisme AGHFDE est DEF x PO, et celle des deux prismes est par conséquent DFE X 2 PO , ou DFE X SO, Retranchafit les deux prismes de la pyramide en*

LIVRK VI. 187

iere, le reste sera égal au double de la pyramide 5DEF, de sorte qu'on aura,

aSDEF = SOx (i ABC + M — DEF ).

Mais , parce que SA est double de SD , la surface ABC est quadruple de DFE*, et ainsi ^ ABC — DFE= U6, / PFE— DFE = I DFE ; donc

aSDEF=SOx (^DEF + M), et en prenant les moitiés de part et d'autre, il en résulte ,

SDEF = SP X (t DEF + M ).

D'où l'on voit que pour avoir la solidité de la pyramide SDEF,11 faudra ajouter au tiers de sa base la même surface M qui avait été ajoutée au tiers de la base de la grande pyramide , et multiplier le tout par la hauteur SP de la petite pyramide. >

Si l'on divise "SD en deux également au point K et que par le point K on fasse passer le plan KLM parallèle à DEF , lequel rencontre en Q la perpendiculaire SP, la même démonstration prouve que la solidité de la pyramide SKI^M sera égale k SQ X (}KLM + M).

Continuant ainsi à former une suite de pyramides dont les côtés décroissent en raison double, et les bases en raison quadruple, on parviendra bientôt à une pyramide Sabc , dont la base abc sera plus petite que 6M : soit So la hauteur de cette dernière pyramide ; et sa solidité , déduite de celle des pyramides précédentes, sera So x (^afc + M). Mais on a M > ^abc , et par conséquent 3 abc 4- M > ^ abc ; il faudrait donc que la solidité de la pyramide Sabc fôt plus grande que So X 7 abc. Résultat absurde , puisqu'on a prouvé dans le corollaire II de la proposition précédente que la solidité d*une pyramide triangulaire est toujours moindre que la moitié du produit de Sa base par sa hauteur ; donc x*" il est impossible que la soU<e

l88 GÉOMÉTRIE.

dite delà pyramide S ABC soit plus grande que SOx ^ABC.

Soit 2° SABC = SO X ( i ABC — M) , on prouvera, eomme dans le premier cas, que la solidité de la pyramide SDEF , dont les dimensions sont deux fois moindres , est égale à SP X (7 DEF — M ) 5 et , en continuant la suite des pyramides dont les câtés décroissent en raison double , jusqu'à un terme quelconqat Sabc^ on aura de même la solidité de la dernière pyramide Sabc =:zSo X {^abc — M). Mais les bases

ABC , DEF , LKM abc , formant une smte dé»

crobsante dont chaque terme est le quart du précédent, on parviendra bientôt à un terme atc^ éff^^ 1 2 M , ou qui sera compris entre 1 2 M et 3 M ; alors M étant égal ou plus grand que -^ abc , la quantité j abc — M sera ou égale à jabc , ou plus petite que jabc; de sorte que la solidité de la pyramide Sabc sera o\x=i:SoXj abc , ou < S^ X j abc. Résultat encore absurde, puisque, suivant le corollaire I de la prq^ sition précédente , la solidité d'une pyramide triangulaire est toujours plus grande que le quart du produit de sa base par sa hauteur ; donc 2^ la solidité de la pyramide SABC ne peut être plus petite que SOXjABC.

Donc enfin, la solidité de la pyramide SABC= SO X j ABC , ou =y ABC x SO ^ conformément à renoncé du théorème.

Corollaire I. Toute pyramide triangulaire est le tiers du prisme triangulaire de même base et de même hauteur ; car ABC x SO est la solidité uu prisme dont ABC est la base et SO la hauteur.

Corollaire II. Deux pyramides triangulaires de même hauteur sont entre elles comme leurs bases, et deux pyramides triangulaires de même base sont entre elles comme leurs hauteurs.

i^iVRE Ti; 189

PROPOSITION XIX

THEOREME.

Toutf pyramide SABCDE a pour mesure le fig. auj. tiers du produit de sa base ABCDE jr>ar sa hauteur AO.

Car en faisant passer les plans SEB , SEC , par les diagonales EB , EG , on divisera la pyramide polygonale SABCDE , en plusieurs pyramides triangulaires qui auront toutes la même hauteur SO. Mais par le lïléoréme précédent chacune de ces 'pyramides se mesure en multipliant chacune des bases ABE , BCE , CDE^ par le tiers de sa hauteur SO ; donc la somme des pyramides triangulaires , ou la pyramide polygonale SABCDE y aura pour mesure la somme des triangles ABE, BCE, CDE , ou le polygone ABCDE, multiplié par ^SO ; donc toute pyramide a pour mesure le tiers du produit de sa base par sa hauteur.

Corollaire I. Toute pyramide est le tiers du prisme de même base et de même hauteur.

Corollaire II. Deux pyramides de même hauteur sont entre elles comme leurs bases , et deux pyramides de même base sont entre elles comme leurs hauteurs.

Sckolie. On peut évaluer la solidité de tout corps polyèdre en le décomposant en pyramides , et cette décomposition peut se faire de plusieurs manières: une des plus simples est de faire passer les plans de division par le sommet d^un même angle solide ; alors on aura autant de pyramides partielles qu il y a de faces dans le polyèdre , excepté celles qui forment Tanjle solide d'où partent les plans de division.

ipO CfiOMETRlS.

PROPOSITION XX

THEOREME.

Deux polyèdres symmétriques sont équiyaJents entre eux ou égaux en solidité.

fig. aoa« Car 1^ deux pyramides triangulaires symmétriques, telles que SABG , TÂBC , ont pour mesure commune le produit de la base ABC par le tiers de la hauteur SO ou TO; donc ces pyramides sont équivalentes entre elles.

2*" Si on partage d une manière quelconque fun des polyèdres symmétriques en pyramides triangulaireSi on pourra partager de même Vautre polyèdre en py» ramides triangulaires symmétriques ; or les pyramides triangulaires symmétriques sont équiralentes chacune à chacune ; donc les polyèdres entiers seront équivalents entre eux ou égaux en solidité.

Scholie, Cette proposition semblait résulter immédiatement de la proposition II , où Ton a fait voir que dans deux polyèdres symmétriques, toutes les partiel constituantes dun solide sont égales aux parties constituantes de Tautre; mais il nen était pas moins né* cessaire de la démontrer d'une manière rigoureuse.

PROPOSITION XXI

THEOREME.

Si une pyramide est coupée par un plan par rallele à sa- hase , le tronc qui reste en étant la petite pyramide j est égal à la somme de trois pyramides qui auraient pour hauteur commune la hauteur du tronc ^ et dont les bases seraienJt la base inférieure du tronc ^ sa hase supérieure y et une moyenne proportionnelle entre ces deux hases.

fig 217. Soit ABCDE une pyramide coupée par le plan ahd

parallèle à la base; soit TFGH une pyramide tiîangu^ taire dont la base et la hauteur soient égales ou équivalentes à celles de la pyramide SABCDE. On peut lupposer les deux bases situées sur un même plan ; et alors le plan abd ^ prolongé, déterminera dans la pyramide triangulaire une section^g^A , située à la même hauteur au-dessus du plan commun des bases : d'où il résulte que la section^Â est à la section abd comme la base FGH est à la base ABD * ; et puisque les bases * 16. sont équivalentes, les sections le seront aussi. Les pyramides Sabcde^ ^fë^'i ^^"^ donc équivalentes, puis- «jumelles ont même hauteur et des bases équivalentes. Les pyramides entières SABCDE , TFGH , sont équivalentes par la même raison ; donc les troncs ÈsXOdab^ FGH^/^, sont équivalents , et par conséquent il suffira de démontrer la proposition énoncée , pour le seul cas du tronc dé pyramide triangulaire.

Soit FGH^/^ un tronc de pyramide triangulaire £„ ^jg, à bases parallèles : par les trois points F, ^, H, conduisez le plan Fg-H , qui retranchera du tronc la py- ^mide triangulaire .ç^FGH. Cette pyramide a pour base U base inférieure FGH du tronc , elle a aussi pour hauteur la hauteur du tronc , puisque le sommet g ©st dans le plan de la base supérieure^A.

Après avoir retranché cette pyramide , il restera la E>yramide quadrangulaire ^AHF, dont le sommet est 5r et la base /àHF. Par les trois points y, 5" ? H , conduisez le plan^H, qui partagera la pyramide qua- IjRangulaire en deux triangulaires ^lyH , gfliA. Cette iemiere a pour base la base supérieure gfli du tronc, it pour hauteur la hauteur du tronc, puisque son iominet H appartient à la base inférieure : ainsi nous ^vons déjà deux des trois pyramides qui doivent composer le tronc.

Il reste à considérer la troisième g^F/'H : or, si on mené g^K parallèle à^T, et qu'on imagine une «ou-

19^ GEOHBT&IS.

Telle pyramideyi^'HK , dont le sommet est K et la base F/*H , ces deux pyramides auront même base F/Hj elles auront aussi même hauteur , puisque les sommets ^ et K sont situés sur une ligne ^K parallèle à F/*, et par conséquent parallèle au plan de la base ; donc c€i pyramides sont équivalentes. Mais la pyramide yFKH peut être considérée comme ayant son sommet enfy et ainsi elle aura même hauteur que le tronc ; quaat à sa base FKH , je dis qu elle est moyenne proportionnelle entre les bases YGll^fgh. En effet les triangles FHK,^A, ont un angle égal F==/, et Tin côté é^ • 24, ?. FK=/^; on a donc* FHK :fgh:: FH :/A. On a aussi FHG : FHK : : FG : FK ou^. Mais les triangle semblables FGH,y^A, donnent FG:^: :FH:/A; donc FGH : FHK : : FHK \fgh ; et ainsi la base FHK est moyenne proportionnelle entre les deux bases FGH, fgh. Donc un tronc de pyramide triangulaire, à bases parallèles , équivaut à trois pyramides qui ont pour hauteur commune la hauteur du tronc, et dont les bases sont la base inférieure du tronc, sa base supérieure , et une moyenne proportionnelle entre ces deux bases.

PROPOSITION XXII

THEOREME.

.irr. Si on coupe un prisme triangulaire dont ABC est la base, par un plan DEF incliné à cette base, le solide ABCDEF, qui résulte de cette section, sera égal à la somme de trois pyramides dont les sommets sont D, E, F, et la base commune ABC.

Par les tix)is points F, A, C, faites passer le plan FAC, qui retranchera du prisme tronqué ABCDEF 1» pyi'amide triangulaire FABC : cette pyramide a pour base ABC et pour sommet le point F.

Après avoir retranché cette pyramide , il restera la

- I.IVRE VI. igi

%yramide quadrangulaire FACDE, dont F est le som-^ «aet et ACDE la base. Par les trois points F, E, C, menez encore un plan FEG, qui divisera la pyramide quadrangulaire en deux pyramides triangulaires FACE, FCDË.

La pyramide F AEG, qui a pour base le triangle AEG et pour sommet le point F , est équivalente à une pyramide EABC, qui aurait pour base AEG et pour flommet le point B. Gar ces deux pyramides ont méfne base; elles ont aussi même hauteur, puisque la ligne BF, étant parallèle à chacune des lignes AE, GD, est parallèle à leur plan ACE ; donc la pyramide FAEC est équivalente à la pyramide EABG, laquelle peut être considérée comme ayant pour base ABG et pour sommet le point 1^.

La troisième pyramide F G DE, peut être changée d'abord en AFGD; car ces deux pyramides ont la mékne base FGD; elles ont aussi k même hauteur, puisque AE est parallèle au plan FGD j donc la pyramide FCDE est équivalente à AFGD. Ensuite la pyramide AFGD peut être changée en ABGD, car ces deux pyramides ont la base commune AGD ; elles ont aussi la même hauteur , puisque leurs sommets F et B sont situés sur une parallèle au plan de la base. Donc la pyramide FGDE , équivalente à AFGD , est aussi équivalente à ABGD ; or , celle-ci peut être regardée comme ayant pour base ABG et pour sommet le point D.

Donc enfin le prisme tronqué ABGDEF est égal à la somme de trois pyramides qui ont pour base commune ABG, et dont les sommets sont respectivement les points D , E , F.

Corollaire. Si les arêtes AE, BF, GD, sont perpendieulaires au plan de la base, elles seront en même temps les hauteurs des trois pyramides qui composent le prisme tronqué; de sorte que la solidité du prisme

1^4 GiôMéTki£.

tronqué , sera exprimée par f ABC X AE + ? ABC X BJ" -+- y ABC X CD , quantité qui se réduit à j ABC X (AE+ BF + CD).

PROPOSITION xxni.

th£or£me.

Ùeux pyramides triangulaires semblables ont les faces homologues semblables , et les angles solides homologues égaux. .

Cg. ao3. Suivant la définition , les deux pyramides triangOf laires S ABC, TDEF, sont semblables, si les deux tri« angles SAB, ABC, sont semblables aux detix TDE, BEF, et semblablement placés, c est-à-dire, si Ton a rangle ABS=DET, BAS=EDT, ABC=DEF, BAC =:EDF, et si en outre rinclinaison des plans SAB^ ABC, est égale à. celle des plans TDE, DEF : cda posé , je dis que ces pyramides ont toutes les faces semblables chacune à chacune, et les angles-solides homologues égaux.

Prenez BG=ED, BH=EF, BI=ET, et joignez GH, GI, IH. La pyramide TDEF est égale à la pyramide IGBH ; car ayant pris les cotés GB, BH, égaux aux côtés DE, EF, et l'angle GBH étant, par hypothèse , égal à Tangle DEF , le triangle GBH est égal à DEF ; donc , pour opérer la superposition des deux pyramides, on peut d'abord placer la base DEF sur son égale GBH ; ensuite , puisque le plan DTE est incliné sur DEF autant que le plan SAB sur ABC, il est clair que le plan DET tombera indéfiniment sur le plan ABS. Mais, par hypothèse, Tangle DET = GBI, donc ET tombera sur son égale BI ; et puisque les quatre |.>oints D, E, F, T, coïncident avec les quatre ♦ i (i , B, H , I, il s ensuit ^ que la pyramide TDEF coïncide avec la pyramide IGBH.

Or, à cause dès triangles égaux DEF, GBH, on a angle BGH = EDF-=BAC ; donc GH est parallèle à LC. Par une raison semblable GI est parallèle à AS ; lonc le plan IGH est parallèle à SAC^ De là il suit *i3. S* pie le triangle IGH-, ou son égal TDF, est semblable i SAC*, et que le triangle IBH ^ ou^son égal TEF, est ♦ j5^ (emblable à SBC; doiic les deux^ pyramides trianguaires semblables SABC, TDEF, ont les quatre faces semblables chacune à chacune : de plus elles ont les uigles solides homologues égaUx.

Car on a déjà placé langlé solide E sur Son bomô'» lôgue B, et on pourrait faire de même pour deux autres angles solides homologues ; mais on voit immédiatesnent que deux angles solides homologues sont égaux, par exeniple , les angles T et S , parce qu'ils sont forinés par trois angles plans égaux chacun à chacun , et semblablemetit placés.

Donc, deux pyramides triangulaires semblables ont les faces homologues semblables et les angles solides homologues égaux.

Corollaire I. Les triangles semblables dans les deux ))yramides fournissent les proportions AB:DE:: BC:; EF :: AC : DF : : AS : DT ! : SB : TE : : se :TF; donc, 'd€ms les pyramides triangulaires semblables^ les côtés homologues sont proportionnels.

n. Et puisque les angles solides homologues sont égaux, il s'ensuit que V inclinaison de deux faces quel" Conques d*Une pyramide est égale h Pinclinaison des ^eux faces homologues de la pyramide semblable^

m. Si on coupe la pyramide triangulaire SABC p^t un plan GIH parallèle à l'une des faces SAC, la pyramide partielle BGIH sera semblable à la pyramide entière BASG : car les triangles BGI, BGH, sont sem« blables aux triangles BAS, BAC, chacun à chacun, et semblablement placés j l'inclinaison de leurs plans

198 GÉOSfSTAIB.

est la même de part et d autre; donc les deux pyra« mides sont semblables.

fig. ti4. IV. En général, si on coupe une pyramide qud* conque SABCDE par un plan abcde parallèle k la base y la pyramide partielle Sabcde sera semblable a la pyramide entière SABCDE. Car les bases ABCDE, abcde ^ sont semblables, et en joignant AC, ae^oà vient de prouver que la pyramide triangulaire SAfiC est semblable à la pyramide Sabc ; donc le point S est déterminé par rapport à la base ABC comme le point

*cl«f.i8. S Test par rapport à la base abc '*' ; donc les deux pyramides SABCDE, Sabcde^ sont semblables.

Scholie, Au lieu des cinq données requises par la dé* finition pour que deux pyramides triangulaires sûîeBt semblables, on pourrait en substituer cinq autres, suivant différentes combinaisons , et il en résulterait autant de tbéoremes , parmi lesquels on peut distin* guer celui-ci : Deux pj-ramides triangulaires sont sem blablc-s lorsqu'elles ont les côtés homologues propm» t ion fiels,

fg. so3. Car, si on a les proportions AB:DE :: BC :£F: .AC :DF: : AS : bT :: SB : TE :: SC : TF^ ce qui renfenw cinq conditions, les triangles ABS , ABC , seront se» blablos aux triangles DKT, DEF, et semblablemert placés. On aura aussi le triangle SBC semblable i TF.F ; donc les trois angles plans qui forment Tangk solide B , seront égaux aux angles plans qui forment Tangle si^lide M , chacun à chacun ; d où il suit qne rinoHnaison des plans SAB , ABC , est ^ale à celle (k leurs homologues TDE « DEF , et qu'*ainsi les deia pyramides sont stMublables,

PROPOSITION XXIV

THKOaÂMB.

7Vf/.r />(>/) v</nvc scm/^laldes ont les /aces Ao-lf moliK^ucs scmNahfes^ et les angles solides hofno\ loques égaux.

Soît ABCDE la base d'un polyèdre ; soient M et N fig. a,^ les sommets de deux angles solides , hors de cette base^ déterminés par les pyramides triangulaires MA.BC , NABG , dont la ba^e commune est ABG ; soient dans Fautre polyèdre, aicde la base homologue ou semblable à ABGDË y nf. et nies sommets homologues à J|f et N , déterminés par 1^ pyramides mabc , nabc y semblables aux pyramides MABC , NABC ; je dis d'abord cpie les distances. MN, mn^ sont proportionnelles aux côtés homologues AB, ab.

En effet, les pyramides MABC, maèc^ étant semblables, rinclinaison des jplans MAC^ BAC, est égale à celle des plans mac , bac i jtiareillement les pyramides NABC, rudfCy étant semblables, Tinclinaison des plans NAC , BAC , est égale à celle des plans nac , bac : donc^ si on retranche les premières inclinaisons des dernières, il restera Tinclinaison des plans NA€f MAC^ égale à eellç des plans nac y màc^ Mais , à cause dé la similitude des mêmes pyramides , le triangle MAC est semblable à mac , et le triangle NAC est semblable à fuic : donc les deux pyramides- triangulaires MNAC ^ mnac , ont deux faces semblables chacune à chacune y semblablement placées et également inclinées entre elles; donc ces pyramides sont semblables'^, et leurs côtés homologues donnent la proportion MN : mn :: AM : am. D*aÛleurs AM : atn : : AB : ab ; donc MN : mn iiARiah.

Soient P et /? deux autres sommets homologues des mêmes polyèdres, et on aura semblablement PN:j9/i wA'Riaby PM:pm::AB:ab, Donc MNr/w/i:: PN .77/j :: PM :pm. Donc le triangle PNM qui joint trois som^ mets quelconques (Tun polyèdre est semblable au tri" angle pma qui joint les. trois sommets homologues d^ Fautre polyèdre.

Soient encore Q et ^ deux somniets homologues ,^et lie triangle PQN sera semblable à pqn. Je dis de plus

as.

que rinclinaison des plans PQN, PMN, est égale j celle des plans pfiiy pmn»

Car si on joint QM et qm^ on aura toujours le tri: fingle QNM semblable a qnniyet par copsëquent Tangle Q!NM égal à qnm. Concevez en N un angle i^olide formé par les trois angles plans QNM, QNP, PNM, et en n un angle solide formé par lès trois angles plans qnm^ qnp^pnm : puisque ces angles plaps sont égaux chacun à chacun , il s*énsuit que les angles solides sont égaux. Donc rinclinaison des deux plans PNQ, PNM ^ est égale à celle de leurs homoXo^es pnq^pnm\ donc^ si les deux triangles PNQj, PNM, ét^ent daiis on inême'plan , auquel cas oA^ aurait Tangle QNM=QNP. -1-PNM, on aurait aussi l'angle qrun=:qnp'\-pnmy et les deux triangles qnp^ pnm^ seraient aussi dans tu^ même plan.

Tout ce qui vient d'être démpntté a lieu, quels que soient les angles M, N, P, Q, comparés à leurs homologues m^ n^ p^ q.

Supposons maintenant que a surface de l'un des polyèdres soit partagée en tiiangles ABC , ACD , MNP, NPQ, etc., on voit que la surface de l'autre polyèdre contiendra un pareil nombre de triangles abc y acd ^ mnpy npq^ etc., semblables et semblablement placés ; et si plusieurs triangles , comme MPN^i NPQ, etc., appartiennent à une même facç, et sont dans un même plan , leurs homologues mpn , npq , etc., seront pareillement dans un même plan, ponc toutes face polygone dans un polyèdre répondra à une &ce polygone semblable dans lautre polyèdre ; donc les deux polyèdres seront conipris sous un même nombre de plans semblables et semblablement placés. Je dis d€i plus que Içs angles solidea honiologues seront égaux.

Car , si langle solide N , par exemple , est former par les angles plans QNP, PNM, MNR,QNJa, langle solide homologue n sera formé par les angle^