LIVRE VI

plans qnp^ prufi^ mnr^ qnr. Or, ces angles plans sont égaux chacun à chacun , et Finclinaison de deux plans adjacents est égale à celle de leurs homologues \ donc les deux angles solides sont égaux , comme pouvant être superposés. •

Donc enfin deux polyèdres semblables ont les faces • homolc^es semblables et les anglçs solides homO">> logues égaux.

CorollaÙT. Il suit de la démonstration précédent^ que si 9 avec quatre sommets d'un polyèdre, on forme une pyrsimide triangulaire , et qu'on en forme une seconde avec les quatre sommets homologues d'un polyèdre semblable , ces deux pyramides seront sem? blables; car elles auront les côtés homologues pro* portionnels^ . *ai,scli.

On voit en même temps que deux diagonales ho* inologues^^y par exemple, AN, a/i, sont entre elles **7»î»' comme deux côtés homologues AB , ai.

PROPOSITION XXV

THEOREMIS.

I}€ux polyèdres semblables peuvent se parta^^ ger en un même nombre de pyramides triangu* iatres semblables chacune à chacune , et sem-f hlablement placées.

Car on a déjà vu que les surfaces de deux polyèdres peuvent se partager en un même nombre do triangles semblables chacun a chacun , et semblablexnent placés. Considérez tous les triangles d'un polyèdre,, excepté ceux qui forment Fs^ngle solide A, comme les bases d'autant de pyramides triangulaires, dont le sommet est en A; ces pyramides prises ensemble composeront le polyèdre : partagez de même- Pautre polyèdrç. en pyramides ^ ^lent pour somn)^

AOe •BOlliTRlB.

commun celui de Vangle a homologue à A; 3 est daîr que la pyramide qui joint quatre sommets d'un polyèdre sera semblable à la pyramide qui joint les quatre sommets homologues de l'autre polyèdre. Donc f deux polyèdres semblables, etc.

PROPOSITION XXVI

THEOREME.

Deux pyramides semblables sont entre elk$ . comme les cubes des côtes homologues.

ig. 914. ^^^ deux pyramides étant semblables , la plus petite pourra être placée dans la plus grande, de manière qu'elles aient l'angle solide S commun. Alors les bases ABCDE^ ahcde^ seront parallèles; car, puisque lei «22^ faces homologues sont semblables*, l'angle Sab est égal à SAB , ainsi que ^bc à SBC ; donc le plan aie *i3»5. est parallèle au plan ABC^ Cela posé, soit SO la perpendiculaire abaissée du sommet S sur le plan ABC , et soit o le point où cette perpendiculaire rencontre le plan abc ; on aura , suivant ce qui a été déjà ♦,5. démontré*, SO:Sc» :: SA:S«:: AB:ai j et par conséquent ,

jSO: jSo :: ABioA,

Mais les bases ABCDE, abcde^ étant des figures sem* blables, on a,

ABCDE : abcde :: AB : ab.

Multipliant ces deux proportions terme à terme, il ei résultera la proportion ,

ABCDE X j SO : a*cûfe X j S^ :: Âb': ^;

or, ABCDE XjSO est la solidité de la pyramide f x8. SABCDE*, et abcde x\So est celle de la pyramide Sabcde ; donc deux pyramides semblables sont entre elles comme les cubes de leurs côtés homologues.