LIVRE yii
LA spsere.
DEFINITIOI73.
I. Xja sphère ei^t un solide terminé par une surface courbe . dont tous les points sont «gaiement distants d'un point intérieur -^qu on appelle centre.
On peut imaginer que la sphère «st produite par çg 229. la révolution du demi-cercle D AE autour du diamètre DE : car la surface •décrite dans ce mouvement par la courbe DAE attr^ tous ses points à égales distances. du centre G.
II. Le rx^on de la sphère est une ligne droite menée du centre à un point de la surface ; le diamètre ou axe est une ligne passant par le centre , et terminée de part et d'autre à la surface.
Tous les rayons de la sphère sont égaux ; tous les diamètres sonf égaux et doubles du rayon.
III. Il sera démontré * que toute section de la * p. t. iphere , faite par un plan , est un cercle i cela posé ,
on appelle grand cercle la section qui pasçe par le centre ,, petit cercle celle qui n'y passe pas.
IV. Un plan est tangent à la sphère lorsqu'il na qu'un, point commun avec sa surface.
V. Le pôle iTun cercle de la sphère est un point de la surface également éloigné de tous les points de
la circonférence de ce cercle. On fera voir* que tout * pr. 6.^ cercle, grand ou petit, a toujours deux pôles.
VI. Triangle sphérique est une partie de la surface ^q la sphère comprise par trois arcs de grands cercles.
«•4 •xoKiv&ia» •
Ces arcs, qui s'appeUent les eêiét du trianglef «ni toujours supposés plus, petits que. la demiKÎrooBKrence. Les angles i](ue leurs pîaiis fotat centre eux sont les angles du triangle.
VU. Un triangle sphérique prend lé nom de ray tangle^ isoscele^ équitatinU^ dans les mêmes cas qa'im triangle* rectiligne.
VIII. Polygone ^hériqm est une partie de la snr^ face de la sphère terminée par plusieurs arcs de grandi cercles.
IX. Fuseau esl la partie de la an>fiiœ.dfr4jiifiqpbm comprise entre deux demt<*gmndB «evdea «jui ^m ttt* minent à un diamètre commun. -"^ '^* i^ ..
X. rappelleraTcoÂnou^/igto^pAÀT^^IaMiliedi solide dé la sphère comprise entre les nAnfei demigrandsr cercles , et à laquelle le fiueait eert de^base»
XL Pyramide qibérique est la;partîe !da aolida iê la sphère comprise entre les plans d'un . angle 'sriidb dont le sommet est au centre. La b€ueéà\t pjîiiAfds est le polygone sphérique intercepté par les oiÊaitf plans. -y ..:• I
XII. On appelle zone la partie de la surface de h sphère comprise entre deuX' plans parallèles qui ea sont les bases. L'un de ces plans peut être tangent à h sphère , alors la zone n a qu'une base.
XIII. Segment sphérique est la portion du solids de la sphère comprise entre deux plans paralldes qui f n sont les bases.
L'un de ces plans peut être tangent à la sphère, alors le segment sphérique n'a qu'une base.
' ~ XIV. La hauteur fVune zone ou éCun segment est la distance des deux plans parallèles qui scmt les bases de la zone ou du segment* %. 220. XY. Tandis que le demi-cercle DÂE tournant autour du diamètre D£ décrit h sphère^ tout stcUiif
LIT as VII» aoS
dTculaire, comm^ DGF ou FCH, décrit un solid« qii^on appelle secteur sphérique.
PROPOSITION PREMIERE
THiORSUB.
Toute section de la sphère j faite par unplariy est un cercle.
Soit AMB la section faite par un plan dans la sphère H- ^^idont le centre est G. Du point C menez la perpendicnilaire GO sur le plan ÂMB , et différentes lignes GM, CM , à différents points de la courbe ÂMB qui termine la section.
Les obliques GM, GM, GB, sont égales, puisqu'elles sont des rayons de la sphère , elles sont donc également éloignées de la perpiendiculaire GO * ; donc toutes * 5, S. les lignes OM, OM, OB, sont égales; donc la section AMB est un cercle dont le point O est le centre.
Corollaire I. Si la section passe par le centre de la sphère, son rayon sera le rayon de la sphère; dons tous les grands cercles sont égaux entre eux.
II. Deux grands cercles se coupent toujours en deux parties égales; car leur intersection commune, passant par le centre, est un diamètre.
III. Tout grand cercle diyise la sphère et sa surface en deux parties égales; car si, après avoir séparé les deux hémisphères , on les applique sur la base commune en tournant leur convexité du même côté , les deux surfaces coïncideront l'une avec l'autre , sans quoi il y aurait des points plus prèâ du centre les uns que les autres.
IV. Le centre d'un petit cercle et celui de la sphère ^S- *■* gont sur une même droite perpendiculaire au plan du petit cercle.
y. Les petits ceixles sont d'autant plu petits qu'ils
tons plus éloignés du centre de la sphère; car plus là distance CO est grande, plus est petite la corde AB, diamètre du petit bercle AMB.
YI. Par deux points donnés sur la sùr&ce d'une sphère , on peut faire passer un arc de grand ceide; car les deux points donnés et le centre de la sphère sont trois points qui déterminent la position d'un plan. Si cependant les deux points donnés étaient aux extrémités d'un diamètre, alors ces deux points et k centre seraient en ligne droite, et il y aurait ime infinité de grands cercles qui pourraient passer par kl deux points donn^.
PROPOSITION IL
THEOREME.
fig. 22à. Dans tout triangle sphériqiie AÈC , un côté quelconque est plus petit que la somme des deuX cuitres.
Soit O le centre de la sphère , et soient mehés les rayons OA , OB , OC. Si on imagine les plans AOB , AOG, COB, ces plans fotmeront au point O un angle solide , et les angles AOB , AOC , COB , auront pour mesure les côtés AB , AC , BC , du triangle sphérique ABC. Or , chacun des trois angles pland qui composent l'angle solide est moindre que la somme des deux ♦21,5. autres*; donc un cQté quelconque du triangle ABC est moindre que la somme des deux autres.
PROPOSITION III
THEORE ME.
Le plus court chemin d'un point à un autre y sur la surface de la sphère ^ est Varc de grand cercle qui joint les deux points donnés, ^tr^«3. Soit ANB l'arc de grand cercle qui joint les points
iiITRS Tii. t^of
L et B , et soit hors de cet arc , s'il est possible , M un loint de la ligne la plus courte entre A et B. Par le K>int M menez les arcs de grands cercles MA, MB, ît prenez BN=MB.
Suivant le théorème précédent Tare ANB est plus court que AM + MB; retranchant de part et d'autre BN=:±BM, il restera AN<AM. Or, la distance de B en M, soit qu'elle se confonde .avec l'arc BM, ou qu'elle soit toute autre ligne , est égale à la distance de B et N ; car eh faisant tourner le plan du grand ceTc]fi BM autour du diamètre qui passe par B , on peut amener le point M sur le point N , et alors la ligne la plus courte de M en B, quelle quelle soit, se confondra avec celle de N en B ; donc les deux chemins de A en S, l'un en passant par M, l'autre en passant par N, ont une partie égale de M en B et de N en B. Le premier chemin est, par hypothèse, le plus court; donc la distance de A en M est plus coiurte quje la distance de A en N , ce qui serait absurde , puisque l'arc AM est plus grand que AN ; donc aucun point de la ligne la plus courte entre A et B ne peut être hors de Tare AKB ; donq cet arc est lui-même la ligne ^ plus courte entre ses extrémités.
PROPOSITION IV
THEOREME.
La somme des trois côtés d'un triangle sphé- ^ique est moindre que la circonférence d'un grand cercle.
Soit ABC un triangle sphérique quelconque ; pro- fig. %^i^ longez les côtés AB , AC , jusqu'à ce qu'ils se rencon* fcrent de nouveau en D. Les arcs ABD, ACD, seront des demi-circonférences , puisque deux grands cercles Se coupent toujours en deux parties égales*; mais dans * r. le triangle BCD on a le côté BC < BD + CD^ ; ajoutant ' %*
2to6 6IÉOMBTRIS. 1
de part et d^autre AB + AC, on aura AB + AC+U{f < Ai3D + ACD , c'est-à-dire , plus petit qu^une citoOM^ férence. IT
PROPOSITION V. L
theoreme. 1'^
Ie
La somme des côtés de tout polj^one sphèrlL rique est .moindre que la circonférence imv grand cercle. w\
ll|. aa5. Soit, par exemple, le pentagone AJ3CDE : protoo-p gez les côtés AB, DG, jusqu'à leur rencontre en F; h: puisque BC est plus petit que BF + CF , le contour do 1 \ pentagone ABCDE est plus petit que celui du quadii'P ïatero AEDF. Prolongez de nouveau les côtés AE,fc FD, jusqu'à leur rencontre en G, on aura ËD<E6li( + GD ; donc le contour du quadrilatère AEDF est |t plus petit que celui du triangle AFG ; celui-ci est {do H petit que la . circonférence d'un grand cercle ;^ donc R a fortiori le contour du polygone ABCDE est moindif |h que cette même circonférence. t
Scholie. Cette proposition est au fond la même que 1 la xxii*^ du livre v; car, si O est le centre de la spherej 1 on peut imaginer au point O un angle solide fonné | par les angles plans AOB, BOC, COD, etc., et k sonuue de ces angles doit être plus petite que quatre angles dix>its ^ ce qui ne diffère pas de la proposition présente. La démonstration que nous Tenons de donner est difféivnte de celle du livre v ; l'une et l'autre 5up(H>sont que le polvgone ABCDE est conrexe, ou quuuouu i^^té prv^longe ne coupe la figure.
PROPOSITION VI
€« jio^ .nV o?: r.v«c* U d;a**:ctrc DE perpendiculaire uu pian di: ^nznd ce 'x*tef AMB , les extrémités
t.IVftB TZI. â09
«t'E de ce diamètre seront les pôles du cercle MB , et de tous les petits cercles , comme FNG , li lui sont patalleles.
Car DG, étaht perpendiculaire au plan AMfi, est îrpendicukifé à toutes les droites CA, CM, CB, etc., enées par son pied dans ce plan ; donc tous les arcs A, DM, DB, etc. , spnt des quarté de circonférence : en est dé nlêmé d^ arcs ËA, ËM, SB, "etc. ; dèhc } points D et E sont chacun également éloignés dé us les points dé la circônféi*ènce AMB ; doiic ils sont i pôles de cette circonférence *. * àé(. 5i
En second lieu , le rayon DC , perpendiculaire au ah AMB f est pérpendièulairé à son parallèle FNG ; >né il passé par lé centre O du cercle FNG * ; donc * »• on tire les obliques DF , DN , DG , ces obliques s'érteront égalemetit dé la perpendiculaire DO et seront aies. Mais le^ cotdes étant égales, les arcs sont aux ; doiic tôué les arcs DF, DN, DG , etc., sont égaux tré eiit ; donc lé point D est lé pôle du petit cercle f G j et par la même raison le point E e^t l'autre pôle.
Corollaire I. Tout arc DM mené d'un point dé lare grand cercle AMB à son pôle est un quart de cirnférence, que nous appellerons pour abréger un adrdnsy ou un quadrant, et ce quadrant fait en •me temps un atigle droit avec l'arc AM. Car la ligne ] étant perpendiculaire au plan AMC, tout plan IC qui passe par la ligne DG est perpendiculaire ait in AMC * ; donc langle de ces plans, ou suivant Ja * 18, 6.. f. Ti , l'angle AMD , est un angle droit.
[I. Pour trouver le pôle d'un arc donné AM, menez c indéfini MD perpendiculaire à AM , prenez MD 1 à un quadrant, et le point D sera un des pôles Tare MD ; ou bien menez aux deux points A et M arcs AD et MD perpendiculaires à AM , le peint de cours D de ces deux arc» sera le pôle demandé. ^/iz, édé 14
aïO GÉOMÉTRIE,
III. Réciproquement ,, si la distance du point D à chacun des points A et M est égale à un quadrant, je dis que le point D sera le pôle de lare AM, et qu'en même temps les angles DAM, AMD^ seront droits.
Car soit G le centre de la sphère, et soient menés les |r« rayons CA, CD, CM: puisque les angles ACD, MGD, sont droits, la ligne CD est perpendiculaire aux deux droites CA, CM ; donc elle est perpendiculaire à le® plan ; donc le point D est le pôle de l'arc AM j et pu suite les angles DAM , AMD , sont droits.
Scholie, Les propriétés des pôles permettent de tnn cer sur la surface de la sphère des arcs de cercle avec la même facilité que sur une surface plane. On voit, par exemple , qu*en faisant tourner l'arc DF ou toott autre ligne de même intervalle autour du point D, L l'extrémité F décrira le petit cercle FNG; et si on fidt tourner le quadrant DF A autour du point D , l'ei* trémité A décrira l'arc de grand cercle AM.
S'il faut prolonger Tare AM, ou si on ne donne qm les points A et M par lesquels cet arc doit passer, on déterminera d'abord le pôle D par l'intersection de deux arcs décrits des points A et M comme centres avec un intervalle égal au quadrant. Le pôle D étant trouvé, on décrira du point D, comme centre et avec le même intervalle , l'arc AÎM et son prolongement.
Enfin , s'il faut du point donné P abaisser un arc perpendiculaire sur lare donné AM, on prolongera celui-ci en S jusqu'à ce que l'intervalle PS soit égal à un quadrant ; ensuite du pôle S et du même intervalle on décrira Tare PM, qui sera l'arc perpendiculaire demandé.
Liy&B YXI. Ail
Proposition vil
THEOREME.
itplan perpendiculaire à V extrémité d'un
est tangent a là sphère.
FAG un plan perpendiculaire ^ iextrémité du fig. ^164 OA ; si on prend un point quelconque M sur 1 , et qu'on joigne OM et AM , l'angle OAM sera et ainsi la distance OM sera plus grande que e point M est donc hors de la sphère ; et, comme ;st de même de tout autre point du plan FAG ^ suit que ce plan n a que le seul point A comivec la surface de la sphère ; donc il est tangent î surface. * * déf. 44
oiie» On peut prouver de même que deux sphères qu'un point commun, et sont par conséquent ites Tune à Vautre , lorsque la distance de leurs* )& est égale à la somme ou à la différence de rayons : alors les centres et le point de contact m ligne droite.
PROPOSITION Vill,
zngle BAC que font entre eux deuoc arcs de ^g^a©» ds cercles AB ^ AC , est égal à V angle FAG ; é par les tangentes de ces arcs au point A :
lussi pour mesure Varc DE , décrit du point lime pôle entre les côtés AB, KO ^ prolongés st nécessaire.
? la tangente AF, menée dans le plan de Tare est perpendiculaire au rayon AO ; la tangente menée dans le plan de l'arc AC , est perpendi- *e au même rayoti AO. Donc Fangle FAG est
* t7t S. égal à langle des plans OÂB, OAC*, qui est celui dei arcs AB , AG , et qui se désigne par BÀC.
Pareillement, si l'arc AD est égal à un quadrant, ainsi que AE, les lignes OD, 0£, serDnt perpendico" laires à AO, et l'angle DOE sera encore égal a lan^ des plans AOD, AOE ; donc Tare DE est la mesure de l'angle de ces plans, ou la mesure de l'angle CAB/
Corollaire. Les angles des triangles sphériques peuvent se comparer entre eux par les arcs de grands oo^ clés décrits de leurs sommets comme pôles et comprit entre leurs côtés : ainsi il est facile de fiedre Un aoglé égal à un angle donné.
Us- %19. Scholie. Les angles opposés au sommet , tels qM ACO et BGN sont égaux ; car Tun ou l'autre est tou' jours l'angle formé par les deux plans AGE , OGN.
On Toît aussi que dans la rencontre de deux arcs AGB, OGN, les deux angles adjacents ACO, 0GB, pris ensemble, valent toujours deux angles droits.
PROPOSITION IX
THEORBMB.
,1^. »»7. Étant donné le triangle ABC , si des points A, B, C, comme pôles j on décrit les arcs EF, FD , DE ; qui forment le triangle DEF ; réciproquement les trois points D , E , F , seront les pôles des côtés BC , AC , AB.
Car le point A étant le pôle de l'arc EF , la distance AE est un quadrant ; le point G étant le pôle de l'arc DE, la distance CE est pareillement un quadrant; donc le point E est éloigné d'un quadrant de chacun * ^» des points A et C ; donc il est le pôle de Tare AC*« On démontrera de même que D est le pôle de Tare BC , et F celui de lare AB.
Corollaire. Donc le triangle ABC peut être décrit par le moyen de DEF , comme DEF par le moyen di ABC.
