I.IT1B TII. ai
PROPOSITION X-
THÉORÈME
Les mêmes choses étant posées que dans le théorème précédent^ chaque angle de Vun des triangles ABC, DEF, aura pour mesure la demi- £§.227. circonférence moins le côté opposé dans l'autre triangle.
Soient' prolongés, s'il est nécessaire, les côtés ÂB, AC, jusqu'à la rencontre de EF en G et H ; puisque le point A est le pôle de Tare GH , langle  aura pour 'niesure Tare G H. Mais l'arc EH est un quadrant ainsi que GF, puisque E est le pôle de ÂH, et F le pôle de AG; donc EH + GF vaut une demi-drconjférence. Or EH + GF est la même chose que EF + 6H ; donc Tare GH qui mesure l'angle  est égal à une demi-circonférence moins le côté EF ; de même langle B aura pour mesure 7 cire. — DF , et Tangle G , i cire. — DE.
Cette propriété doit être réciproque entre les deux triangles, puisqu'ils se décrivent de la même manière l'un par le moyen de l'autre. Ainsi on trouvera que les angles D, E, F, du triangle DEF, ont pour mesures respectivement ~ cire. — BC , ~ cire. — AC, { cire» — AB. En effet l'angle D, par exemple, a pour mesure l'arc MI ; or MI + BC = MC 4- BI = ^ cire. : donc l'arc MI , mesure de l'angle D , = ^ cire. — ^ BC , et ainsi des autres.
Sckolie. Il faut remarquer qu'outre le triangle DEF fig. aaS. on en pourrait former trois autres par l'intersection des trois arcs DE, EF, DF. Mais la proposition actuelle n*a lieu que pour le triangle central, qui est. distingué des trois autres en ce que les deux angles A et D sont situés d'un même côté de BC, les deux B £g. 227. tl E d'un même côté de AC, et les deux C et F d'un même côté de AB, \
Sl4 «ÉOMISTEI%.
Ql^ donne diffërents noms aux deyx triangles ABC, DEF j nous les appellerons triangles polaires.
PROPOSITION XI
LEMME
H' *^9- JStant donné le triangle ABC , si du pôle A rf de V intervalle AC 0/2 décrit l'arc de petit cerck DEC ; si du pôle B et de l'intervalle BQ on décrit pareillement l'arc DFG, et que du point \^ ^ oh ics arcs DKC, DFC, se couperont j or^ mené h arcs de grands cercles AD , DB ; je dis que k triangle ADB ainsi formé aura ses parties égales à celles du triangle ACB.
Car par construction le côté AD=AC, DB=BC, AR osi commun ; donc ces deux triangles ont Iesc6tà égaux chacun à chacun. Je dis maintenant que les aUiîlos opposés aux cotés égaux sont égaux.
l\n otïet , si le centre de la sphère est supposé a O , on ^xnit concevoir un angle solide formé au point O par les trois angles plans AOB , AOC , BOC ; on pont conoovoir de même un second angle sohde formé j>ar les tn>:> angles plans AOB, AOD, BOD. Et puisque les Ov'îv'S iiu triangle ABC sont égaux à ceux du triangle A DP», il s'eiisuit que les angles plans qui former î 11 r. vîo vv> a::i:K-> >oli-:e> sont é^ux aux angles plans qui lonnonî Tautrc ani:îe solide , chacun à ** *^ chacun : mai> ;.îa!îs iv cas il a t-té démontré* quête plans ^îar.s K^uels sont les angles égaux sont égalemer.; inoiir.os cntiv ci;\ : donc les angles du tTiaii£[l6 sphevlv^uc P \n Sv nî t^iiix à ceux du triangle CAB, saxoir OAlv- TAC. PrA = .AFC, et ADB=ACB; d.^:^o U^ .v:c"s «: :-.s ar^îes du triangle ADB sont égaux av*\ k\ :<> t: a;:\ a*':;'v~> vî:; irlir^Ie ACB.
i :.* .■ l c^,i..:v /.c* kVS irLàr^-cs n*est cependant jvjln uv.c <\^al.:c iixîv *.;:e ou iù^ superpcâûca . car il
Livas VII. ai5
serait impossible de les appliquer l'un sur lautre exactement, à moins qu'ils ne fussent isosceles. L'égalité dont il s'agit est ce que nous avons déjà appelé "une égalité par sjmmétrle^ et par cette raison nous
appellerons les triangles ACB/ADB, triangles sjm'
métriques.
PROPOSITION XIL
THEOREME.
Deux triangles situés sur la même sphère ^ ou sur des sphères égales , sont égaux dans toutes leurs parties y lorsqu'ils ont un angle égal cornpris entre côtés égaux chacun à chacun.
Soit le côté AB=EF, le côté AC=EG, et l'angle fig.aSo. BAC=FEG, le triangle EFG pourra être placé sur le triangle ABC ou sur son symmétrique ABD , de la même manière qu'on superpose deux triangles l'fectilignes qui ont un angle égal compris entre côtés égaux. Donc toutes les parties du triangle EFG seront égales à celles du triangle ABC, c'est-à-dire qu'outre les trois parties qui sont supposées égales , on aura le côté BCzzrFG, l'angle ABC =EFG, et l'angle ACB =EGF.
PROPOSITION XIII
THEOREME.
Deux triangles situés sur la même sphère , ou sur des sphères égales^ sont égaux dans toutes leurs parties y lorsqu'ils ont un côté égal adjacent à deux angles égaux chacun à chacun.
Car l'un de ces triangles peut être placé sur l'autre ou sur son symmétrique, comme on le fait dans le cas pareil des triangles rectilignes. Voyez prop. VU y Uv.L
PROPQSITIQiV Î^IV.
Si deux triangles situés sur la même sphère^ ou sur des sphères égales y sont équilatéram entre eux, ils seront aussi équiangfes , et les angles égaux seront opposés aux côtés égauçp.
(tç a2Q. Cela est manifeste par la proposition xx , jovl l oh a vu quavec trois côtes donnés Afi, ÂG, BC, on ne peut faire que deu:^ triangles AÇB^ ÂBD, difSérentt quant à la positipn des parties^ mi^i^ égaux quant à la grandeur de ces mêmes parties, Dpnc deu^ triangles équilatér^ux entre eux sont ou s^bsoltmoent égaux, ou au inoins égaux par symmétrie ; dans Tun et Tautre ^^s ils sont équiangles , et les angles ^gaux Sîpnt oppo^ ses aux côtés égaux»
PROPOSITION XV
THEOREME.
Dans tout triangle spkérique isoscele les angles opposés aux côtés égaux sont égaux ; et récipro quement^ si deux angles d'un triangle sphériqu^ sont égaux , le triangle sei^a isoscele.
fig. 23i. jo Sq-^ jg ^ûj^ AB= AG ; je dis qu'on aura l'angle C=B : car si du sommet A au point D, milieu de la hase, on mené l'arc AD, les deux triangles ABD, ADC, auront les trois côtés égaux chacun à chacun; savoir, AD commun ^ BD= DC, et AB=AC : donc, par le théorème précédent, ces triangles auront Içs angles égaux^ et on aura B=:C.
2^ Soit l'angle B=C ; je dis qu'on aura AC=AB: car si le côté A^ n*est pas égal à AC, soit AB le pks
■ j-ti
ad des deux, prenez BO = AC, et joignez OC.
deux côtés BO, BC, sont égaux aux deux AC, BC ; gle compris par les premiers OBC est égal à langle ipris par les seconds ACB. Donc les deux triangles G, ACB, ont les autres parties égales *, et on a *î«igle OCBrsABC : mais langle ABC, par hypothèse, iCB; jdpnc on aurait OCBrzrACB, ce qui est im-r sible ; donp on ne peut supposer AB différent de ; donc les côtés AB, AC, opposés aux angles cgaiii; t C, sont égaux.
fcholîe, La même démonstration prouve que l'angle D=DAC , et que langle BDA=ADC. Donc ces / x derniers sont droits ; donc l'arc mené du sont" ' (Pun triangle sphérique isoscele au milieu de sa base perpendiculaire a cette base ^ et divise V angle di^ 'met en deux parties égales,
PROPOSITION XVI
THEOREME.
Dans un triangle sphérique ABC, si V angle A fis^^^x plus grand que V angle B , le côté BG opposé 'angle A sera plus grand que le côté AC opse à V angle B ; réciproquement^ si le côté BC plus grand que CA , V angle A sera plus grand ? r angle P.
o Soit l'angle A>B, faites Tangle BAD=B, vous e? AD=DB * : mais AD + DC est plus grand que * i^- ; à 1^ place de AD mettant DB , on aura PB -f- I)G BC>AC,
° Si on suppose BC > AC , je dis que l'angle BAC plus grand que ABC : car, si BAC était égalù Z , on aurait BG=: AC ; et si on avait BAC < ABC ^ ensuivrait , par ce qui vient d'être démontré, qu'on C<AC; ce qui est contre la supposition. Donc 3rle BAC est plus rrand que ABC.
2ll8 GÉOMÉTaiB.
PROPOSITION XVII
THEOREME.
«g. a33. Si les deux côtés AB , AC , du triangle sphirique ABC sont égaux aux deux côtés DE, DF, du triangle DEF tracé sur une sphère égalera en même temps F angle A est plus grand que V angle "D^je dis que le troisième côté BC du premier triangle sera plus grand que le troisième EF du second.
La démonstration est absolument semblable à cdie de la prop. x , livre i.
PROPOSITION XVIIL
THEOREME.
Si deux triangles tracés sur la m,ême sphert ou sur des sphères égales sont équiangles entre eux , ils seront aussi équilatéraux.
Soient Aet B les deux triangles donnés, P et Q leurs
triangles polaires. Puisque les angles sont égaux dans
les triangles A et B, les côtés seront égaux dans les po
♦lo. laires P etQ*: mais de ce que les triangles P et Q son*
équilatéraux entre eux, il s'ensuit qu'ils sont aussi
♦x4. équiangies * ; enfin, de ce que les angles sont égaux
♦ ,o. dans les triangles P et Q, il s'ensuit * que les côtés sont
égaux dans leurs polaires A et B. Donc les triangles
équiangles A et B sont en même temps équilatéraux
entre eux.
On peut encore démontrer la même proposition sans
le secours des triangles polaires de la manière suivante.
Sj. iZ\^ Soient ABC, DEF, deux triangles équiangles entre
eux , dQ sorte qu'on ait A=i:D, B = E, C=irF; je dis
qu'on aura le côté AB=DE, AG=DF, BG=EF.
