LIVRE VU

Sur le prolongement des côtés AB, AC, prenez AG =zDE, et AH=DF ; joignez GH et prolongez les arcs ÎC , GH , jusqu'à ce qu ils se rencontrent en I et K.

Lies deux côtés AG , AH , sont par construction -gaiu^ aux deux DF, DE ; l'angle compris GAH=BAC =EIDF; donc* les triangles AGH, DEF, sont égaux •«. lans toutes leurs parties, donc langle AGH = DEF = ABC , et langle AHG = DFE= ACB.

- Dans les triangles IBG, KBG, le côté BG est commun , langle IGB=GBK ; et puisque IGB+ BGK est égal à deux droits, ainsi que GBK+IBG, il s'ensuit que BGK=IBG. Donc les triangles IBG, GBK, sont égaux*, donc 1G=BK, et IB=GK. *»3-

Pareillement, de ce que l'angle AHG = ACB, on conclura que les triangles ICH , HCK, ont un côté égal adjacent à deux angles égaux; donc ils sont égaux; dbnc IH=CK, et HR = IC.

Maintenant, si des égales BK, IG, on retranche les égales CK, IH, les restes BC, GH, seront égaux. D'ailleurs l'angle BCA=AHG, et l'angle ABC=AGH.

Donc les triangles ABC , AHG , ont un côté égal adjacent à deux angles égaux ; donc ils sont égaux : ^lais le triangle DEF est égal dans toutes ses parties au triangle^ AHG ; donc il est égal aussi au triangle ABC, et on aura AB=DE, AC = DF, BC=EF,donc , si deux triangles sphériques sont équianglcs entre eux, les côtés opposés aux angles égaux seront égaux.

SchoUcf Cette proposition n'a pas lieu dans les triangles rectilignes , où de l'égalité des angles on ne peut conclure que la proportionnalité des côtés. Mais il est aisé de rendre compte de la différence qui se trouve à cet égard entre les triangles rectilignes et les triangles sphériques. Dans la proposition présente, ainsi que dans les prop. xii , xiii , xiv et xvii , où il 5*agit de la comparaison des triangles ^ il est di(

330 GBOUETRIS.

expressément que ces triangles sont Jtracës sur h même sphère ou sur des sphères égales. Or les tics semblables sont proportionnels aux rayons ; donCi sur des sphères ' égales , deux triangles ne penYent être semblables sans être égaux. Il n'est doii€ p» surprenant que I égalité d^ angles entraine Fëg^ti des côtés.

II en serait autrement si les triangles étaient traoéi sur des sphères inégales; alors les angles étant égaux, les triangles seraient semblables , et les o6tés homologues seraient entre eux comme les rayons des sphères.

PROPOSITION XIX

THÉO RBME.

La somme des angles de tout triangle spht rique est moindre que six et plus grande que deux angles droits.

Cai* i^ chaque angle d^un triangle sphérique est

moindre que deux angles droits (voyez le sckolie ch

après); donc la somme des trois angles est moindre

. que six angles droits.

2? La mesure de chaque angle d'un triangle sphé* rique est égale à la demi -circonférence moins le côté *io. correspondant du triangle polaire*; donc la somme des trois angles a pour mesure trois demi -circonférences moins la somme des côtés du triangle polaire. Or cette dernière somme est plus petite qu'une cir- * 4. conférence * ; donc , en la retranchant de trois demicirconférences, le reste sera plus grand quune demicirconférence , qui est la mesure de deux angles droits ; donc 2^ la somme des trois angles d*un triangle sphérique est plus grande que deux angles droits.

Corollaire I. La somme des angles d'un triante sphérique nest pas constante comme celle des tri*

LlTftS vxi. ait

ttgles rectilignes ; elle varie depuis deux angles droits fnsqu'à six, sans pouvoir être égale à lune ni à Tautre limite. Ainsi deux angles donnés ne font pas connaître le troisienie.

Copottaire II. Un triangle sphérique peut avoir deux ou trois angles droits, deux ou trois angles obtus.

Si le triangle ABC est bi^rectangle , c'est-à-dire fig. ^35. sll a deux angles droits B et G, le sommet A sera le pôle de b base BC*; et les côtés AB, AG, seront des «6. , cpadrants.

Si en outre Fangle A est droit , le triangle ABG sera tri^rectangle , ses angles seront tous droits et ses côtés des quadrants* Le triangle tri -rectangle est contenu huit fois dans la surface de la sphère ; c'est ce que Ton Voit par la fig. a36 , en supposant l'arc MN égal à un fuadrant.

■ Scholîe. Nous avons supposé dans tout ce qui pré» Cède, et conformément à la définit, vi, que les triangles sphériques ont leurs côtés toujours plus petits fue la demi -circonférence ; alors il s'ensuit que les angles sont toujours plus petits que deux angles droits : &ar, si le côté AB est moindre que la demi-circonfé- H•*^^ P^nce, ainsi que AG, ces arcs doivent être prolongés tous deux pour se rencontrer en D. Or les deux angles %BC , GBD, pris ensemble, valent deux angles droits; lonc l'angle ABG tout seul est moindre que deux angles droits.

Nous observerons cependant qu'il existe des triangles sphériques dont certains côtés sont plus grands jue la demi - circonférence , et certains angles plus jrrands que deux angles droits. Gar, si on prolonge e «îôté AG en une circonférence entière AGE , ce qui ■este^^n retranchant de la demi -sphère le triangle kBC, est un nouveau triangle, qu'on peut désigner ïussi par ABG, et dont les côtés sont AB, BG, A£DC

lit

On Toit donc que le côté AEDG est plus gtànd que demi-circonférence AED ; mais- en même temps. Pa gle opposé en B surpasse deux angles droits de quantité CBD.

Au reste si on a exclu de la définition les trianj^'j dont les côtés et les angles sont si grands , c'est qos leur résolution ou la détermination de leurs partiel se réduit toujours à celle des triangles renfennés àoi.^ la définition. En effet on voit aisément que si oti connaît les angles et les côtés du triangle ABC,-ati ' connaîtra immédiatement les angles et les côtés di triangle de même nom qui est le reste delademi-spbaft

PROPOSITION XX