LES TROIS CORPS RONDS

ÛQ. 2J0.

DEFINITIONS

I. O N appelle cylindre le solide produit par la révo» lution dun rectangle ABCD, quoii imagine tourner autour du côté immobile ÂB<

Dans ce mouvement les côtés AD, BG, restant toujours perpendiculaires à AB, décrivent des plans circulaires égaux DHP, CGQ, qu'on appelle to bases du cylindre y et le côté CD en décrit la surface convexe.

La ligne immobile AB s^appelle Vaxe du cylindre.

Toute section KLBI , faite dans le cylindre perpendiculairement à Taxe, est un cercle égal à chacune des bases : car pendant que le rectangle ABCD tourne autour de AB , la ligne IK , perpendiculaire ï AB, décrit un plan circulaire égal à la base, et ce plan n'est aufre chose que la section faite perpendiculairement à Taxe an point I.

Toute section PQGIÏ, faite suivant l'axe, est un rectangle double du rectangle générateur ABCD. %. 25i. !'• ^^ appelle cône le solide produit par la révolution du triangle rectangle SAB , qu'on imagine tourner autour du côté immobile SA.

Dans ce mouvement le côté AB décrit un plan circulaire BDCE, qu'on appelle la base du cône^ et lliypoténnse SB en décrit la surface convexe.

Le point S s'appelle le sommet du cène ^ SA Vax^ ou la hauteur y et SB le coté ou Vapotheme.

Toute section HKFI, faite perpendiculairement à l'axe, est un cercle j toute section SDEJ^ faite sui-

tivnfi vitt. !a4^

^rant Vàxe, est tin triangle isoscele <;louble du triangle générateur. SAB. . .

m. Si du cône SCDB on retranche , par une sec- "tion parallèle à la base, le cône SFKH, le solide restant CBHF s'appelle cône tronqae ou tronc de con\g.

On peut supposer, qu'il est décrit par la révolution du trapèze ABHG, dont les angles A et G sont droits^ autour du côté AG. La ligne immobile AG s appelle l^axe ou la hauteur du tronc , les cercles BDC , ÏÏFK , en sont les bases y et BH en est le côté^

IV. Deux cylindres ou deux cônes sont semblables lorsque leurs axes sont entre eux comme les diamètres de leurs bases.

V. Si, dans le cercle ACt) qui sert de base à un fig. 25a» cylindre, on inscrit un polygone ABCDÉ, et que sur

la base ABCDE on élève Un prisme <îi;oit égal en hauteur au cylindre , le priisme est dit inscrit dans te cylindre , ou le cylindre circoriscrit au prisme.

Il est clair que les arêtes AF , BG , CH , etc. du . prisme, étant perpendiculaires au plan de. la base, 3ont comprises dans la surface convexe du cylindre j donc le prisme et le cylindre se touchent suivant ces arêtes.

VI. Pareillement , si ABCD est un polygone cîrcons- cg. 253. crit à la base dVn cylindre , et que sur la base AJBCD on construise un prisme droit égal en hauteur au cylindre, le prisme est dit circonscrit au cylindre, ou le cylindre inscrit dans le prisme.

Soient M, N, etc. les points de contact des côtés AB, BC, etc. et soient élevées par les points M, N, etc. les perpendiculaires MX, NY, etc. au plaii de la base; il est clair que ces perpendiculaires seront à-lafois dans la surface du cylindre et dans celle du prisme 'circonscrit ; donc elles seront leurs lignes de contact.

N. B, Le cylindre , le cône, et la sphère, sont les trois corps ronds dont on s'occape dans les éléments.

S44 «^OMÉTftlB.

Lemmes préliminaires sur les surfaces.

ig. 354. Une surface plane OABCD est plus petite qu toute autre sujfaoe PABCD , terminée au même contour ABCD.

Cette proposition est assez évidente pour être nn« gëe au nombre des axiomes; car on pourrait suppo* ser que le plan est parmi les surfaces ce que la lign^ droite est parmi les lignes : la ligne droite est la' ^ courte entre deux points donnés, de même le phi est la surface la plus petite entre toutes celles qui ool un même contour. Cependant comme il convient de réduire les axiomes au plus petit nombre possibki voici un raisonnement qui ne laissera aucun doutt sur cette proposition.

Une surface étant utie étendue en longueur et et largeur, on ne peut concevoir qu'une aurfiice soit plus grande qu'une autre, à moins que les dimensioaî de la première n'excèdent dans quelques sens cellei de la seconde ; et s'il arrive que les dimensions d'une surface soient en tous sens plus petites que les dimensions d'une autre surface, il est évident que lA premiere surface sera la plus petite déi deux. Or, dàni quelque sens qu'on fasse passer le plan BPD , qui cou* pera la surface plane suivant BD, et l'autre sur&œ suivant BPD ; la ligne droite BD sera toujours plni petite que BPD ; donc la surface plane OABCD est plus petite que la surface environnante PABCD.

fig. 255. Ibute surface convexe OABCD est moindre qu'une autre surface quelconque qui enveloppe* rait la première en S* appuyant sur le même co»' tour ABCD.

NoQS rëp^erons ici qiM nous entendons par sur^ face convexe une surface qui ne peut être rencontrée par une ligne droite en plus de deux points : et ce* pendant il est possible qu'une ligne droite s'applique éauetement dans un certain sens sur une surface oonvexe ; on en voit des exemples dans les surfaces du cône çt du cylindre. Nous observerons aussi que la dénomination de surface convexe n'est pas bornée aux seules sur&ces courbes ; elle comprend les sur- .&ces pofyédrales ou composées de plusieurs plans , et aussi les surfaces en partie courbes , en partie pofyédrales*

Gela posé, si la surface OABCD n^est pas plus petite que toutes celles qui l'enveloppent , soit parmi celles-ci PABGD la surface la plus petite qui sera au plus égale à OABCD. Par un point quelconque O , fiâtes passer un plan qui touche la surface OABCD •ans la couper; ce plan rencontrera la surface PABGD, et la partie qu'il en retranchera sera plus grande que le plan terminé à la même surface^ : donc ,zen con- *Um, u servant le reste de la surface PABGD, on pourrait substituer le plan à la partie retranchée , et on aurait mie nouvelle surface qui envelopperait toujours la sur* fiice OABGD , et qui serait plus petite que PABGD.

Mais celle-ci est la plus petite de toutes par hypo* thèse; donc cette hypothèse ne saurait subsister, donc la surface convexe OABGD est plus petite que toute lutre surface qui envelopperait OABCD , et qui serait terminée aiî même contour ABCD.

Scliolie, Par un raisonnement entièrement semblable m prouvera,

I® Que, si une suiYace convexe terminée par deux %a5^ ontoars ABC , DEF , est enveloppée par une autre nffoce quelconque terminée ajmx mêmes contours, I siirÊtce enveloppée sera la plus petite des deux.

a46 6 éo H £ T R I F.

H' *^7- , 2? Que, sî une surface convexe AB est enrdoppee 1^. de toutes parts par une autre surface MN, soit qu'elle» |e aient des points, des lignes ou des plans communs, \\ soit qu'elles n aient aucun point de commun , la surface enveloppée sera toujours plus petite que la surface enveloppante.

Car parmi celles-ci il .ne peut y en avoir aucune qui soit la plus petite de toutes , puisque dans tou^ le& cas on pourrait toujours mener le plan CD tangent «via surface convexe, lequel plan serait plus petit

♦lem.i. qxie'la surface CMD*5 et ainsi la surface CND serait plus petite que MN, ce qui est contraire à Thypothese que MN e$t la plus petite de toutes. Donc la surface convexe AB est plus petite que toutes celles qui Tenyçloppent,

PROPOSITION PREMIERE

THEOREME.

La solidité d'un cylindre est égale au produit de sa base par sa hauteur.

i.^. 258. gQjj. Q^ \q rayon de la base du cylindre donné, H sa hauteur; représentons par surf^ CA la surface du cercle dont le rayon est CA ; je dis que la solidité du cylindre sera surf, CA X H. Car , si surf. CAxH n'est pas la mesure du cylindre donné, ce produit sera la mesure d'un cylindre plus gi-and ou plus petit. Et d'abord supposons qu il soit la mesure d'un cylindre plus petit , par exemple , du cylindre dont CD est le rayon de la base et H la hauteur. '

Circonscrivez au cercle dont le rayon est CD, un

polygone régulier GHIP, dont les côtés ne rencon-

« lo. 4. tient; pas la circonférence dont CA est le rayon*;

imaginez ensuite un prisme droit qui ait pour base W

tlVRE VII î. 247

polygone GHIP, et pour hauteur H, lequel prisme sera circonscrit au cylindre dont CD est le rayon de la base. Cela posé, la solidité du prisme* est égale à ' sa base GHIP, multipliée par la hauteur H; la base GHIP est plus petite que le cercle dont CA est le rayon : donc la solidité du prisme est plus petite que surf. CAxH, Mais surf. CAxH est, par hypothèse, la solidité du cylindre inscrit dans le prisme; donc le prisme serait plus petit que le cylindre : or , au contraire^ le cylindre est plus petit que le prisme, puisqu'il y est contenu; donc il est impossible que surf CAxH soit la mesure du cylindre dont CD est le rayon de la base et H la hauteur; ou y en termes plus généraux, le produit de la base d*wi cylindre par sa hauteur ne peut mesurer un cylindre plus petit,

J.e dis en second lieu que ce même produit ne peut mesurer un cylindre plus grand : car , poiu* ne pas multiplier les figures, soit CD le rayon de la base du cylindre donné, et soit, s'il est possible, surf CD X H la mesure d'un cylindre plus grand , par exemple , du cylindre dont CA est le rayon de la base et H la hauteur.

Si on fait la même construction que dans le premier cas, le prisme circonscrit au cylindre donné aiua pour mesure GHIP x H : l'aire GHIP est plus grande que surf CD ; donc la solidité du prisme dont il s'agit est plus grande que surf, CD x H : le prisme serait donic plus grand que le cylindre de même hauteur qui a pour base swf CA. Or, au contraire, le prisme est plus petit que le cylindre, puisqu'il j est contenu ; donc il est impossible que la base d*un cy^ lindre multipliée par sa liauteur soit la, mesure d'un cylindre plus grand.

Donc enfin la solidité d'un cylindre est égale au produit de sa base par sa hauteur^

t43 GÉOXETRIB.

. Corollaire I. Les cylindres de même hauteur sont entre eux comme leurs bases , et les cylindres d« même base sont entre eux comme leurs hauteurs*

Corollaire II. Lés cylindre» semblables sont comme les cubes des hauteurs, ou comme les cubes des dia<* mètres des bases. Car les bases sont comme \ed cpiarrés de leurs diamètres ; et puisque les^ cylindres sont semblables , les diamètres des bases sont comme les

"dé/. 4. hauteurs "^ : donc les basef sont comme les- quarrés des hauteurs ; donc les bases multipliées par }es^ hau« teurs, ou les'cylindres eux-mêmes» sont ooiome les cubes des hauteurs, . Sckolie. Soit R le rayon de la base d*un cylindre,

* 12. 4. H sa hauteur, la surface de la base sera ttR* * , et la solidité du cylindie sera icR* X H , ou ':çR*H.

PROPOSITION II

La surface convexe d'unj^isme droit est égale au périmètre de sa base multiplié par sa hûuteur,

fi- 232. Car cette surface est égale à la somme des rectangles AFGB , BGHC , CHID , etc. dont elle est composée : or les hauteurs AF, BG, CH, etc. de ces rectangles sont égales à la hauteur du prisme ; leurs bases AB , BC, CD, etc. prises ensemble, font le périmètre de la base du prisme. Donc la somme de ces rectangles ou la surface convexe du prisme est égale au périmètre de sa base multiplié par sa hauteur.

Corollaire. Si deux prismes droits ont la même hiuteur, les surfaces convexes de ces prismes seront entre elles comme les périmètres de leurs bases.