LIVRE VIII

PROPOSITION IIL

liBMMB.

La surface convexe du cylindre est plus grande que la surface convexe de tout prisme inscrit ^ et plus petite que la surface convexe de tout prisme circonscrit.

Car la surface convexe du cylindre et celle du fig. sSx. prisme inscrit ÂBCOËF peuvent être considérées comme ayant même longueur, puisque toute section faite dans l'une et dans Tautre parallèlement à AF est égale à AF ; et si pour avoir les laideurs de ces surfaces on les coupe par des plans parallèles à la base ou perpendiculaires k Tarête AF, les sections seront égales, l'une à la circonférence de la base, lautre au contour du polygone ABCDE plus petit que cette circonférence : donc , puisqu'à longueur égale la largeur de la ^rface cylindrique est plus grande que celle de la surface prismatique , il s en«suit que la première surface est plus grande que la seconde*

Par un raisonnement entièrement semblable on fig. a6.\ prouvera que la surface convexe du cylindre- est plus petite que celle de tout prism,e circonscrit BCDKLH.

PROPOSITION IV

La surface convexe d'un cylindre est égale à la circonférence de sa base multipliée par sa hauteur.

Soit CA le rayon de la base du cylindre donné, £- ^^ H sa hauteur ; si on représente par c^c. CA bi circonférence qui a pour r^yon CA , je dis que

a5o GÉOMÉTRIE»

cire. GA X H sera la surface convexe de ce cylindre. Car , si on nie cette proposition , il faudra que cire, CA X H soit la surface d un cylindre {Jus grand ou plus petit; et d'abord supposons quelle soit la surface d'un cylindre plus petit, par exemple, du cylindre dont CD est le rayon de la base et H la hauteur.

Circonscrivez au cercle dont le rayon est CD un polygone régulier GHIP , dont les côtés ne rencontrent pas la circonférence qui a CA pour rayon ; imaginez ensuite un prisme droit qui ait pour hauteur H, et pour base le polygone GHIP. La surface convexe de ce prisme sera égale au contour du polygone GHIP multiplié par la hauteur H * : ce contour est plus petit que la circonférence dont le rayon est CA; donc la surface convexe du prisme est plus petite que cire. CA X H. Mais cire. CA X H est , par hypothèse , la surface convexe du cylindre dont CD est le rayon de la base , lequel cylindre est inscrit dans le prisme ; donc la surface convexe du prisme serait plus petite que celle du cylindre inscrit. Or, au contraire, elle doit être plus grande * ; donc l'hypothèse d'où Ton est parti est absurde : donc, i^ la circonférence de la base (Vun cylindre multipliée par sa hauteur ne peut mesurer la surface conuexe d*un cylindre plus petit.

Je dis en second lieu que ce même produit ne peut mesurer la surface d'un cylindre plus grand. Car, pour ne pas changer de figure , soit CD le rayon de la base du cylindre donné, et soit, s'il est possible, cire. CDxH la surface convexe d'un cylindre qui, avec la même hauteur, aurait pour base un cercle plus grand, par exemple, le cercle dont le rayon est (iA. On fera la même construction que dans la première hypt)these, et la surface convexe du prisme jKîra toujours égale au contour du polygone GHIP

iiiVRB.vîii. ,a5i

multiplié par la hauteur H. Mais ce contour est plus grand que cire, CD ; donc la surface du prisme serait plus grande' que cire, CD x H, qui, par hypothèse, est la surface du cylindre de même hauteur dont GA * est le rayon de la base. Donc la surface du prisme serait plus grande que celle de ce cylindre. Mais, quand même le prisme serait inscrit dans le cylindre, sa surface serait plus petite que celle -du cylindre*; * 3. à plus forte raison est -elle plus petite lorsque le prisme né s'étend pas jusqu'au cylindre. Donc la' seconde hypothèse ne saurait avoir lieu; donc 2^ la circonférence de la base (Tun cjlindre multipliée par sa hauteur ne peut mesurer la surface d*un cjlindro plus grand.

Donc enfin la surface convexe d'un cylindre est égalé à la circonférence de sa base multipliée par sa hauteur.

PROPOSITION V

THEOREME.

La solidité d^un cône est égale au produit de sa hase par le tiers de sa hauteur.

Soit SO la hauteur du cône donné, AO le rayon %• *^^* de la basé; si on désigne par surf, AO la surface de la base , je dis que la solidité de ce cône sera égale à 5W/: AOxjSO.

En effet, supposons i® que surf, AOxf SO soit la solidité d'un cône plus grand, par exemple, du cône dont SO est toujours la hauteur ; mais dont OB , plus grand que AO , est le rayon de la base.

Au cercle do^t le rayon est AO circonscrivez un polygone régulier MNPT qui ne rencontre pas la circonférence dont le rayon est OB * ; imaginez en- *ïo»4* suite une pyramide qui ait pour base le polygone et pour sommet le point S. ïa solidité de cett« py-

''9*^ ramide^ «tt ^le à Taire du {Mdygonê HNFT multipliée par le tiers de la hauteur SO. Mais le polygone est plus grand que le cercle inscrit représente par SËirf. AO; donc la pyramide est plus grande tfiesurf. AOxfSO, qui, par hypothèse , est la me* sure du cane dont S esrle soniroet et OB le rayon de la base. Or, au contraire, la pyraaiide est plus petite que le cône, puisqu'elle y est contenue ;* donc i^ il est impossible que la base d'un cône multipliée par le tiers de sa hauteur soit la mesure d'un cÂne plus .grand.

Je dis a<^ que ce même produit ne peut dtre la rassure d'un cône plus petit. Car, pour ne pas changer de figure, soit OB le rayon de la base du cône donne, et soit, s'il est possible , ^kj;/! OBx-j SQ la solidite du cône qui a pour hauteur SO et pour base le cercle dont AO est le rayon. On* fera la même OHistniction que ci-dessus , et la pyramide SMNPT aura pour mesure l'aire MNPT multipliée par \ SO. Mais Faire .MNPT est plus petite que surf. OB ; donc la pyramide aurait une mesure *plus petite que swf. OB X \ SO , et par conséquent elle serait plus petite que le cône dont AO est le rayon de la base et SO la hauteur. Or, au contraire, la pyramide est plus grande que le cône , puisque le cône y est contenu : donc a^ il est impossible que la base d'un cône multipliée par le tiers de sa hauteur soit la mesure dnn cône plst petit.

Donc enfin la solidité dun cône est égale au produit de sa base par le tiers de sa hauteur.

Corollaire. Un cône est le tiers d'un cylindre de môme base et de même hauteur ; d'où il suit ,

i*^ Que les cônes d'égales hauteurs sont entre eux comme leurs bases ;

^ Que les cônes de bases égales sont entre eux comme leurs hauteurs ;

LIYEBV III. 253

3®. Que les c6iies semblables sont comme les eubes des diamètres de leurs bases, ou comme les cubes de leurs hauteurs.

Scbûliê. Soit R le rayon de la base d'un cdne , H sa hauteur; la solidité du cône sera ipR' X j H ou

PROPOSITION VI

theorâmb.

Le cône tronqué ADEB, dont kO , DP sont les H- a^. rayons des b€ises et VOJa Iiauteur^ a pour me-

<W£/«iic. OP. (aÔV DP + AO X dp).

Soit TF6H une pyramide triangulaire de même hauteur que le cône SAB, et dont la base FGH soit équivalente à la base du cône. On peut su{)poser que ces deuK bases sont placées sur un même plan; alors les sonuncis S et T seront à égales distances du plan des bases, et le ^an EPD pr(dongé fera dans la pyramide la section JKL. Or je dis que cette section IKL est équivalente à la base D£; car les bases AB, DE, sont entre dles comme les quarrés des rayons AO , DP% ou comme les quarrés des hauteurs $0, SP; *<i«4' les triangles FGH , IRL , sont entre eux comme les qwurrés de ces mêmes hauteurs*; donc les cercles *i5,6. ABy DE, sont entre eux comme les triangles FGH^ IKL. Mais, par hypothèse, le triangle FGH est équivalent au cercle AB ; donc le triangle IKL esl équivalent au cercle DE.

la base AB multipliée par j-SO est la é du oôni SAB, et la base FGH mukipliée par 4^50 est celle de la pyramide TFGH; donc, à cause des bases éqnividentes , la solidité de la pyramide est 4fgÊim i orile du cône. Par une raison semblable, la pyramide TIKL est équivalente au cône SDE; donc

â54 GliOMETRlE.

le tronc de cône ADEB est équivalent au tronc de pyramide FGHIKL. Mais la base F6H, équivalente au. cercle dont le rayon est ÂO, a pour mesure

wx AO^ de même la base IKL=: tt x DP/ et la

moyenne proportionnelle entre itx AO etxxDP est TT X AO X DP ; donc la solidité du tronc de pyramide , ou celle du tronc de cône , a pour mesure jOP x

•ao, 6. (xxA0+wxDP+7rxA0xDp)% qui est la même

chose queyWxOPxCÂO+DP+AOxDP).

PROPOSITION VII

THSORêME.

La surface convexe d^un cône est, égale à la circonférence de sa base multipliée par la moitié de son côté.

%. 259. Soit AO le rayon de la base du cône donné, S son sommet, et SA son côté; je dis que sa surface sera cire. AOX7SA. Car soit, s'il est possible, cire. AOx •jSA, la surface d'un cône qui aurait pour sommet, le point S et pour base le cercle décrit du rayon OB plus, grand que AO.

Circonscrivez au petit cercle un polygone régulier MNPT, dont les côtés ne rencontrent pas la circonférence qui a pour rayon OB; et soit S MNPT la pyramide régulière , qui aurait pour base le polygone, et pour sommet le point S. Le triangle SMN, Tun de ceux qui composent la surface convexe de la pyramide, a pour mesure sa base MN multipliée par la moitié de la hauteur SA , qui est en même temps le côté du cône donné; cette, hauteur étant égale dans tous les autres triangles SNP, SPQ^ etc.' il ■s'ensuit que la surface convexe de la pyramide «est égale au contour MNPTM multiplié pat ~ SA.: Mais

LïVfeÊ trili. 2it)5

It» contour MNPTM , est plus grand que cire. AO ; , ^ donc la surface convexe de la pyramide est plus grande que cire. AO X ^ SA , et par conséquent plus grande que la surface convexe du cône qui avec le même sommet S aurait pour base le cercle décrit du rayon OB. Or, au contraire, la surface convexe du cône est plus grande que celle de la pyramide; car si on adosse base à base la pyramide à une pyramide égale, le cône à un cône égal; la surface des deux cônes enveloppera de toutes parts la surface des deux pyramides ; donc la première si%rface sera plus grande que la seconde*, donc la surface du cône est *iem.a. plus grande que celle de la pyramide qui y est comprise. Le contraire était une suite de notre hypothèse; donc cette hypothèse ne' peut avoir lieu : donc i® la circonférence de la base d'un cône multipliée par la moitié de s6n côté ne peut mesurer la surface dun cône plus grand.

Je dis 2° que le même produit ne peut mesurer la surface d*un cône plus petit. Car soit BO le rayon de la base du côté donné, et soit, sll est possible, cire, BOx-^SB la surface du cône dont S est le som*. met , et AO , plus petit que OB , le rayon de la base.

Ayant fait. la. même construction que ci -dessus, la surface de la pyr^miide SMNPT sera toujours égale au contour MNPT multipUé par ^ SA. Or le contour MNPT est moindre que cire, BO, SA est nioindre que SB; donc par cette double raison la surface convexe de la pyramide est moindre que cire. BO X iSB, qui, par hypothèse , est la surface du cône dont AO est le rayon de la base ; donc la surface de la pyramide serait plus petite que celle du cône inscrit. Or, au contraire, elle est plus grande; car en adossant base à base la pyramide à une pyramide égale, le cône à un cône égal, la surface des deux pyramides enveloppera celle des deux cônes, et par

956 GéoMBTEIE.

conséquent sera la plus grande. Donc i^ il est impôt» sible que la circonférence de la base d'un cône donné multipliée par la moitié de son côté mesure la aorfiice d un cône plus petit.

Donc enfin la surface convexe d'un cône est égrie à la circonférence de sa base multipliée par bt moitié de son côté.

Scholie. Soit L le côté dun cône, R le rayon ds sa base, la circonférence de cette base sera airR| et la surface du cône aura pour mesure âirRx-^Ly ou ttRL.

PROPOSITION VIIL

THEOREMB.

ug ,g^, La surface coni^exe du tronc de cône ÂDEB est égale à son côté ÂD multiplié par la demi-somiM des circonférences de ses deux bases AB , DE.

Dans le plan SAB qui passe par Taxe SO , menez perpendiculairement à SA la ligne A F, égale à la circonférence qui a pour rayon AO; joignez S F, et menez DH parallèle à AF.

A cause des triangles semblables SAO , SDC, oi^ aura AO:DC :: SA:SD; et à cause des triangles semblables SAF, SDH, on auraAF:DH :: SA:SD; «X, 4. donc AF : DH : : AO : DC , ou : : cire, AO : cire. DG*. Mais par construction AF = cire, AO ; donc DH =3 cire. DC. Cela posé, le triangle SAF, qui a poiu» mesure AFx^SA, est égale à la surface du cône SAB qui a pour mesure cîrc. AOx^SA. Par une raison semblable le triangle SDH est égal à la surface du cône SDE. Donc la surface du tronc ADEB est égale à celle du trapèze ADHF. Celle-ci a pour

r 7 , 3. mesure * AD x ( — ^ — ) ; donc la surface du tronc de cône ADEB est égale à son côté AD mul-

IiI¥RX TIII. m5j

tiplié par la âfimi-sommè des circonférences de ses deux bases.

Corollaire. Par le point I, milieu de AD, menei IKL parallèle à AB , et IM parallèle à AF ; on démontrera comme ci-dessus que IM=circ. IK. Mais le trapèze ADHF = AD xIM= AD xc/rc. IK. Donc on peut dire encore que la surface d'un tronc de cône est égale à son côté multipUé par la circonfé^ rence JPune section faite à égale distance des deux bases,

Scholie. Si une ligne AD, située tout entière d^un même côté de la ligne OC et dstns le même plan, fait une révolution autour de OC, la surface décrite par AD aura pour mesure AD x

(cire. AO-l-c/ir. DC \ > atvv^ • tv it :r j^ ou AD X cire. IK; les lignes

AO, DC, IK, étant des perpendiculaires abaissées des extrémités et du milieu de la ligne AD sur Taxe OC.

Car si on prolonge AD et OC jusqu'à leur rencontre mutudle en S , il est clair que la sur£sice décrite par AD est celle d'un cône tronqué dont OA et DC sont les rayons des bases , le cône entier ayant pour sommet le point S. Donc cette surface aura la mesure mentionnée.

Cette mesure aurait toujours lieu, quand même le point D tomberait en S, ce qui donnerait un cône entier, et aussi quand la ligne AD serait parallèle k. Taxe, ce qui donnerait un cylindre. Dans le premier cas DC serait nuUe, dans le second DC serait égalti^ à AOetàlK.

OnA. m/. ij

a58 ^léoMéTRiÉ^

PROPOSITION IX

%.26s. Soient AB, BC^ CD, plusieurs côtés. successifs d'un polygone régulier, O son centre , et 01 le rayon du cercle inscrit; si on suppose que la portion de polygone ABCD, située tout entière d'un même côté du diamètre FG, fasse une révolution autour de ce diamètre^ la surface- dé" critepar ABCD aura pour mesure MQ x cire: 01, MQ étant la hauteur de cette surface ou la partie de l'axe comprise entre les perpendiculaires AM, DQ.

Le point I étant milieu dé AB, et IK étant une perpendiculaire à Taxe abaissée du point I, la sur- * 8. face décrite par AB aura pour mesure AB X cire. IK*. Menez AX parallèle à Taxe, les triangles ABX, OIKj auront les côtés perpendiculaires chacun à chacun , savoir 01 à AB, IK à AX, et OK à BX; donc ces triangles sont semblables et donnent la proportion AB : AX ou MN :j 01 : IK, ou :: cire. 01 : cire. IK; donc AB X cire. IK = MN X c/rc. 01. D'où Ton voit que la surface décrite par AB est égale à sa hauteur MN multipliée par la circonférence du cercle inscrit. De même la surface décrite parBC, =NP X cire. 01, la surface décrite par CD, =PQ xc/rc. 01. Donc la surface décrite par la portion de polygone ABCD, a pour mesure ( MN -f- NP -f- PQ ) X c/rc. 01, ou MQ X cire. 01 ^ donc elle est égale à sa hauteur multipliée par la circonférence du cercle inscrit.

Corollaire. Si le polygone entier est d'un nombre de côtés pair, et que l'axe FG passe par deux sommets opposés F et G , la surface entière décrite par la

•évolution du demi-polygone FACG sera égale à sou ixe FG multiplié par la circonférence du cercle inscrit. :^et axe FG sera en même temps le diamètre du cercle ûrconscrit.

PROPOSITION X

THEOREME.

La surfojce de la sphère est égale à son diamètre multiplié par la circonférence d'un grand cercle.

Je dis 1° que le diamètre d'une sphère, multiplié par la circonférence de son grand cercle, ne peut mesurer la surface d'une sphère plus grande. Car soit, s'il est possible, AB X cire. AC la surface de la %• *^3sphère qui a pour rayon CD.

Au cercle dont le rayon est CA, circonscrivez un polygone régulier d'un nombre pair de côtés qui ne rencontre pas la circonférence dont CD est le rayon; soient M et S deux sommets opposés de ce polygone; et autour du diamètre MS faites tourner le demi-polygone MPS. La surface décrite par ce polygone aura pour mesure MS X c/rc. AC* : mais MS est plus grand * 9* que AB ; donc la surface décrite par le polygone est plus grande que AB X cire. AC , et par conséquent plus grande que la surface de la sphère dont le rayon est CD. Or, au contraire, la surface de la sphère est plus grande que la surface décrite parle polygone puisque la première enveloppe la seconde de toutes parts. Donc i<* le diamètre d'une sphère multiplié j)ar la circonférence de son grand cercle ne peut mesurer la surface d'une sphère plus grande.

Je dis 2° que ce même produit ne peut mesurer la surface d'Une sphère plus petite. Car soit, s'il est

%6ô «iBOltiTRIS.

possible , DE X cire. CD la surface de la sphère qn! i pour rayon CA. On fera la même construction qkie dans le premier cas , et la surface du soKde engendré par le polygone sera toujours égale à MS X cire. AC. Mais MS est plus petit que DE, et cire. AC plus petite que cire. CD ; donc , par ces deux raisons , la surface' du solide décrit par le polygone serait plus petite que DE X cire. CD, et par conséquent plus petite que la surface de la sphère dont le rayon est AG« O^i au contrah^e, la surface décrite par le polygone est plus grande que la surface de la sphère dont le rayon est AC, puisque la première surface enveloppe la seconde; donc 2^ le diamètre d'une sphère multiplié par la ci^ conférence de son grand cercle ne peut mesurer h surface d'une sphère plus petite.

Donc la surface de la sphère est égale à son diamètre multipUé par la circonférence de son grand cercle.

Corollaire. La sur&ce du grand cercle se mesure en multipliant sa circonférence par la moitié du rayon ou le quart du diamètre ; donc la surface de la sph&rt est quadruple de celle d^un grand cercle.

Scholie, La surface de la sphère étant ainsi mesurée et comparée à des surfaces planes, il sera facile d'avoir la valeur absolue des fuseaux et triangles sphériques dont on a déterminé ci-dessus le rapport avec la surface entière de la sphère.

D'abord le fuseau dont l'angle est A, est a la surface , de la sphère comme l'angle A est à quatre angles •«0,7. droits*, ou comme lare de grand cercle qui mesure langle A est à la circonférence de ce même grand cercle. Mais la surface de la sphère est égale à cette circonférence multipliée par le diamètre; donc la surface du fuseau est égale à l'arc qui mesure l'angle de<;e fuseau multiplié par le diamètre.