LIVRE VIII

En second lieu tout triangle sphérique est équir

▼aient à un fuseau dont langle est égal à la moitié de

l'excès de la somme de ses trois angles sur deux

angles droits ^ Soient donc P, Q, R, les arcs de *&3, 7«

grand cercle qui mesurent les trois angles du trian-

{[le ; soit C la circonférence d'un grand cercle

i^t D son diamjetçe ; le triangle sphérique sera

équivalent au fuseau dont Fangle a pour mesura

^ — -—= — — — 2— , et par conséquent sa surface sera

Ainsi, dans le cas du triangle tri -rectangle, chacun des arcs P, Q, R, est égal à ^C, leur somioie estjC, Texçès de cette somnie sur -^C est jC, et la moitié de cet excès =^ C ; donc la surface du triangle tri-rectangle =^Gxp, ce qui est la huitième partie ^ la surface totale de la sphère.

La mesure des polygones sphérique^ suit immédiatement de celle des triangles, et d'ailleurs elle est entièrement déterminée par la prop. xxiv, liv. yii^ puisque l'unité de mesure, qui est le triangle trirectangle, vient d'être évaluée en surface plane.

PROPOSITION XL

THéORÂHE.

La surface d*une zone sphérique quelconque ^t égale à la hauteur de cette zone multipliée par la circonférence d'un grand cercle.

Soit £F un arc quelconque plus petit ou plus gnaj^d %. 369^ que le quart^de circonférence , et soit abf^sséi^ FG perpendicukire çui* le rayon flG ^ j^e. dis que \^ .zone %. une

a6l «ÉOMÊTRIB.

base, décrite par la révolution de Tare EF autour de EC , aura pour mesure EG X cire. EC.

Car supposons d^abord que cette zone ait une mesure plus petite , et soit, s'il est possible , cette râésure = EG X cire. CA. Inscrivez dans l'arc EF une portion de polygone régulier EMNOPF dont les côtés 'n'a^ teignent pas la circonférence d^rite du rayon CA , et abaissez CI perpendiculaire sur EM ; la surfiatce décrite par le polygone EMF tournant autour de EC,

*9. aura pour mesure EG XciVc. CI*. Cette quantité est plus grande que EGx cire. AC, qui, par hypothèse, est la mesure de la zone décrite par l'arc EF. Donc la surface décrite par le polygone EMNOPF serait plus grande que la surface décrite par l'arc circonscrit EF; or, au contraire, cette dernière surface est plus grande que la première, puisqu'elle l'enveloppe de toutes parts ; donc i^ la mesure de toute zone sphérique àjune base. ne peut être plus petite que la hauteur de cette zone multipliée par la circonférence d*unf grand cercle.

'Je dis en second lieu que la mesure de la même zone ne peut êire plus grande que la hauteur de cette zone multipliée par la circonférence d'un grand cercle. Car supposons qu'il s'agisse de la zone décrite par lare AB autour de AC , et soit , s'il est possible , zone AB > AD X cire. AC. La surface entière de la sphère, composée des deux zones AB, Bîl, a pour mesure

• 10. ARxcirc. AC*,ou ADxcirc. AC+DHxc/-nc. AC; si donc on a zone AB > AD x cire. AC , il faudra qu*on ait zone BH < DU X cire. AC ; ce qui est contraire à la première partie déjà démontrée. Donc a** la mcîsure d'une zone sphérique a une base ne peut être plus grande que la hauteur de cette zone multipliée par la circonférence d'un grand cercle. Ih>n^ enfin toute zone sphérique à une base a pour

iiiyRB viii* 203

jnesure la bafatèlti^ de cette zone multipliée par la circonférence d-un grand cercle.

Considérons maintenant une zone quelconque , à jdeux bases, décrite par la révolution de l'arc FH fig»»»»* autour du diamètre DE , et soient abaissées les perpendiculaires FO, I}Q sur ce diamètre. La zone dé* icrite par l'arc FH est la différence des deux zones déicrites par les arcs DH et DF ; celles-ci ont pour mesures DQ xc/rc. CD et DO X cire. CD; donc la zone décrite par FH a pour mesure (DQ — •DO)x cire. CD ou OQ x cire. CD.

Donc tonte zone sphérique à une ou à deux bases , a pour mesure la hauteur de cette zone multipliée par la circonférence d'un grand cercle.

Corollaire. Deux * zones prises dans une même sphère ou dans des sphères égales, sont entre elles comme leurs hauteurs , et une zone quelconque est à la surface de la sphère comme la hauteur de cette zone est au diamètre.

PROPOSITION XII

THEOREME.

Si le triangle BAC et le rectangle BCEF de gg. ,^4^ .même base et de même hauteur tournent simul- «'*^^tanément autour de la base commune BC , le solide décrit par la révolution du triangle sera, le tiers du cylindre, décrit par txi révolution du rectangle.

Abaissez sur l'axe la perpendiculaire AD ; le c6ne *«*^* décrit par le triangle ABD est le tiers du cylindre décrit par le rectangle AFBD*, de même le cône décrit * ^-

par le triangle ADC est le tiers dû cylindre décrit par le rectangle ÂDCE ; donc la somme des deux cdnes on le solide décrit par ABC est le tiers de la somme des deux cylindres ou du cylindre décrit par le rectangle BCEF.

^(.265. gj[ Iq perpendiculaire AÏ) tombe au -dehors do triangle , alors le solide décrit par ABC sera la di& férence des cônes décrits par ABD et AGD ; mais en même temps le cylindre décrit par BCEF sera la différence des cylindres décrits par AFBD, AECD. Donc le solide décrit par la révolution du triangle sera toujours le tiers du cylindre décrit par la réWutîon du rectangle de même base et de même hauteur; Scholie. Le cercle dont AD est le rayon a poor

surface tu X AD ; donc tu X AD X BC est la mesulne du

cylindre décrit par BCEF, et ^lux ADxBC «st celle du solide décrit par le triangle ABC.

PROPOSITION XIII

PROBLÊME

fiff. 266.

Le triangle CAB étant supposé faire une révo» lution autour de la ligne CD, menée comme on voudra hors du triangle par son sommet C, trouver la mesure du solide ainsi engendré.

Prolongez le côté AB jusqu'à ce qu'il rencontre Faxe CD en D, des points A et B abaissez sur Taxe les perpendiculaires AM, BN.

Le solide décrit par le triangle CAD a pour mesure* jTuxAMxCD; le solide- décrit par le triaQglis

— — — î CBD a pour mesiu*e -^tu x BN X CD; donc le diffé-

LivaE viif. d6S

rence de ces solides ou le solide débrit par ABC aura po\rr mesure jic, ^ÂM — BN) X CD.

On peut donner à cette compression une autre forme. Du point I , milieu de AB , menez IK perpendicuUirfi à CD^ et par le point B menez BO parallèle à CD, on aura AM+BN=aIK* et AM— BN=AO; donc, ♦ 7» S.

(AM + BN)X(AM — BN), ou AM'--.BN=2IKx AO*. La mesure du solide dont il s'agit est donc * 10,5. exprimée aussi par |ir X IKx AO X CD. Mais «i on abaisse CP perpendiculaire sur AB, les triangles ABO, DCP, seront semblables, et donneront la proportion AO : CP :: AB : CD ; d'où résulte AO X CD = CP X AB ; d'ailleurs CP X AB est le double de Taire du triangle ABC ; ainsi on a AO X CD = 2 ABC ; donc le solide décrit par le triangle ABC a aussi pour mesure |x X ABC X IK, ou, ce qui est la même chose, ABC X foire. IK; (car cire, IK = 2ir. IK). Donc if solide décrit par la résolution du triangle ABC^ ^ pour mesure Voire de ce triangle multipliée par le$ deuas tiers de la drconférençe que décrit le point I milieu de sa Inise.

Corollaire. Si le c6té AC=:CB, la ligne CI sera fig.a67« perpendiculaire à AB, Taire ABC sera égale à ABX ^CI , et la solidité |ir X ABC X IK deviendra |7r x ABxIKxCI. Mais les triangles ABO, CIK, son^ semblables et donnent la proportion AB : BO ou MN :: CI : IK j donc AB x IK = MN X CI ; donc le solide décrit ps^r le triangle isoscele ABC aura pour

mesure jtt X MN x CL

Scholie. La solution générale paraît supposer que la ligne AB prolongée rencontre Taxe 5 mais les résukau n'en seraient pas moins vr^is, quand la, ligne AB serait parallèle k Ta^e.

S66 «BOMÉTRIS.

fig. 268. ^^ ^^^^ ^® cylindre décrit par AMNB a pour mcsure ir. AM. MN, le cône décrit par ACM=jir.'AM.

CM y et le cône décrit par BCN=y7r. Âm'cN. Ajoutant les deux premiers solides et retranchant le troisième, on aura pour le solide décrit par ABC

tt.Âm'. (MN + iCM— iCN) : et puisque CN— CM

= MN, cette expression se réduit à 7r.AM.-|MN, ou

fir.CP. MN, ce qui s'accorde avec les résultats déjà trouvés.

PROPOSITION XIV

THEOREME.

lig. a6a. Soient AB , BC , CD , plusieurs côtés successifs d'un polygone régulier, O son centre^ eit Ol le rayon du cercle inscrit; si on imagine que le secteur polygonal AOD , situé d'un même côté du diamètre FG, fasse une révolution autour de ce diamètre y le solide décrit aura pour mesure

yTT.OI.MQ, MQ étant la portion de l'axe terminée par les perpendiculaires extrêmes AM, DQ.

En effet, puisque le polygone est régulier, tous les triangles AOB, BOC, etc. sont égaux et isosceles. Or, suivant le corollaire de la proposition précédente, le solide produit par le triangle isoscele AOB

a pour mesure j-tt.OI.MN, le solide décrit par le

triangle BOC a pour mesure f-TT.OI.NP, et le solide

décrit par le triangle COD, a pour mesure |ir.GI. EQ ; donc la somme de ces solides , ou le solide entier décrit par le secteur polygonal AOD, aura poitr mesure |w .Ôï'. (MN -h NP + PQ) ou JTc . 01. MQ.

IiIVRiS VIII. 267

PROPOSITION XV

THEOREME.

Tout sectèunsphérique a pour mesure la zone qui lui sert de base multipliée par le tiers du rayon y et la sphère entière a pour mesure sa surface multipliée par le tiers du rayon.

Soit ABC le secteur circulaire qui, par sa ^évo- 6'*°9« lutîon autour de AC , décrit le secteur sphérique ; la ' zone décrite paîr AB étsmt AD Xc/rc. AC ou 27u; AC. AD*, je dis que le secteur sphérique aura. pour me- * »*

sure cette zone multipliée par jAC, ou f tu . AC . AD. En effet, 1° supposons, s'il est possible, que cette

quantité f ir . AC . AD soit la mesure d'un secteur sphérique plus grand, par exemple, du secteur sphérique décrit par le secteur circulaire ËCF semblable à ACB.

Inscri^fez dans l'arc EF la portion de polygone

régulier EMN!F dont les côtés ne rencontrent pas Fa^c AB , imaginez ensuite que le secteur polygonal ENFC tourne autour de EC en même temps que le secteur circulaire ECF. Soit Cl le rayon du cercle iniscrit dans le polygone , et soit abaissée FG perpendiculaire sur EC. Le solide décrit par le secteur

polygonal aura . pour mesure jTt. CI. EG* : or CI * U. est plus .grand que AC par construction , et EG est plus grand que AD : car, joignant AB, EF, les triangles EFG, ABD, qui sont semblables, donnent la proportion EG : AD :: FG : BD :: CF : CB ; donc EG >AD.

Par c^tte double raison fiu. CI. EG^est plus

«68 GSOMBT&IB.

grand que |?7. CÂ. ÂD : la première expression est la mesure du solide décrit par le secteur polygonal, la seconde est par hypothèse celle du secteur sphérique décrit par le secteur circulaire ECF ; donc le solide décrit par le secteur polygonal serait plus grand que le secteur sphérique décrit par le secteur circulaire. Or, au contraire, le solide dont il s'agit est moindre que le secteur sphérique, puisqu^il y est contenu ; donc Thypothese d'où on est parti ne sau^ rait subsister; donc i9 la zone ou base d'ttn secteur sphérique multipliée par le tiers du rayon ne peut mesurer un secteur sphérique plus grand.

Je dis 2^ que le même produit ne peut mesurer un secteur sphérique plus petit. Car, spit GEF le secteui circulaire qui par sa révolution produit le secteur sphérique donné, et supposons, s'il est possible, que

f7u.CE. EGr soit la mesure d'un secteur sphérique plus pçtit , par exemple , de celui q^i proyîent du secteur circulaire ACB.

La construction précédente restant la même, le solide décrit par le secteur polygonal aura toujours

pour mesure 3 ir, CI. EG. Mais CI est moindre que

CE; donc le solide est moindre que j-tt. CE. EG, qui, par hypothèse, est la mesurp du secteur jsphérique décrit par le secteur circulaire ACB. Donc le solide décrit par le secteur polygonal serait moindre que le secteur sphérique décrit par ACB. Or, au contraire , le solide dont il s'agit est plus grand que le secteur sphérique, puisque celui-ci est contenu dans Tautre. Donc 2° il est impossible que la zone d'un secteuc sphérique multipliée par le tiers du rayon soit la mesure d'un secteur sphérique plus petit.

Donc tout secteur sp]iéri€[ue a pour mesure la zone qui lui sert de base multipliée par le tiers du rayon»