X.ITRB TIIX. 26g

Un secteur circulaire ACB peut augmenter jusqu^à détenir égal au demi-cercle ; alors le secteur sphérique décrit par sa révolution est la sphère entière. Donc la solidité de la sphère est égale a sa sur* Jace multipliée par le tiers de son rayon.

Corollaire. Les surfaces des sphères étant comme les quarrés de leurs rayons, ces surfaces multipliée^ par les rayons sont comme les cubes des rayons. Donc lés solidités de deux sphères sont comme les aubes de leurs rayons^ ou comme les cubes de leurs diamètres.

SchoUe. Soit R le rayon d'une sphère, sa surface sera 4''^^'» et sa solidité 4^R* Xt^> ou jttR'. Si on appelle D le diamètre, on aura R = 7D, et R'=jD' ; donc la solidité s'exprimera aussi par }wXiD%ou|ffD\

PROPOSITION XVL

THiOREMB.

La surface de la sphère est à la surface totale . du cylindre circonscrit (en y comprenant ses bases) comme ià est àZ. Les solidités de ces deux éorps sont entre elles dans le même rapport.

Soit MPNQ le grand cercle de la sphère, ÂBGD fig.27a. le quarré circonscrit ; si on fait tourner à la fois le demi-cercle PMQ et le demi-quarré PADQ autour du diamètre PQ, le demi-cercle décrira la sphère, et le demi-quarré décrira le cylindre circonscrit à la sphère.

La hauteur AD de ce cylindre est égale au diamètre PQ, la base du cylindre est égale au grand cercle, puisqu'elle a pour diamètre AB égale à MN donc la sur&ce convexe du cylindre^ est égale à la '4.

. iJO OBOMÉTRIB.

circonférence du grand cercle multipliée par soi diamètre. Cette mesure est la même que . celle de

* 10- la surface de la sphei'e^ : d'où il suit que la sw

face de la sphère est égale a la surface convexe du cylindre circonscrit.

Mais la surface de la sphère est égale à quatre grands cercles ^ donc la surface convexe du cylindre circonS"* crit est égale aussi à quatre grands cercles : si on j joint les deux bases qui valent deux grands cercles, la surface totale du cylindre circonscrit sera égale à six grands cercles; donc la surface de la spbere est à la surface totale du cylindre circonscrit comme 4 est à 6 , ou comme 2 est à 3. G est le premier point qu'il s agissait de démontrer.

En second lieu , puisque la base du cylindre circonscrit est égale k un grand cercle et sa hauteur au diamètre, la solidité du cylindre sera égale au grand

* I. cercle multiplié par le diamètre *, Mais la solidité de

la sphère est égale à quatre grands cercles multipliés * 16. par le tiers du rayon * , ce qui revient à un grand cercle multiplié par \ du rayon , ou ~ du diamètre; donc la sphère est au cylindre- circonscrit comme 2 est à 3, et par conséquent les solidités de ces deux corps, sont entre elles comme leurs surfaces. Scholie. Si on imagine un polyèdre dont toutes les faces touchent la sphère, ce polyèdre pourra être considéré comme composé de pyramides qui ont routes pour sommet le centre de la sphère , et dont les bases sont les différentes faces du polyèdre. Or il est clair que toutes ces pyramides auront pour hauteur commune le rayon de la sphère, de sorte que chaque pyramide sera égale à la face du polyèdre qui lui sert de base , multipliée par le tiers du rayon : donc le polyèdre entier se^a égal à sa surface multipliée par le tiers du rayon de la spbere inscrite.

LITRE VIW. 271

On voit par là que les solidités des polyèdres circonscrits à la sphère sont entre elles comme les surfaces de ces mêmes polyèdi^es. Ainsi la propriété que nous avons démontrée pour le cylindre circonscrit est commune à une infinité d'autres corps.

On aurait pu remarquer également que les surfaces des polygones circonscrits au cercle sont entre^ 4Ues connue leurs contours.

PROPOSITION XVIL

PROBLEME

Le segment circulaire BMD étant supposé fig. ayr. faire une révolution autour d'un diamètre extérieur à ce segment^ trouver la valeur du solide engendré.

Abaissez. suir Taxe les perpendiculaires BE, i)F; du centre- C menez CI perpendiculaire sur la corde BD, et tirez les rayons CE, CD.

Le solide décrit par le secteur BCA = f tt • CB. AE*; le. solide décrit par le secteur DCA = f tc, *t5.

GB. AF; donc la différence de ces deux solides, ou le

solide décrit par le secteur DCB == f tu. CB. ( AF —

AE ) = I w . CB'. EF. Mais le solide décrit par le trian-

gle isoscele DCB a pour mesure -tu. Cl. EF*; donc ♦14, le solide décrit par le segment BMD =77^. EF,

\ GB — CI ). Or dans le triangle rectangle CBI ,

on a CB*— 01= Sï = ^ BD"; donc le solide décrit

par le segment BMD aura pour mesure fw, EF. j BD',

ou^w . BD*.EF^

^72 GBOMÉTRIS.

Scholie. Le solide décrit par le segment BBID est à la sphère qui a pour diamètre BD , comme ~ ir. BD. EF est à \ TT, BD* ou :: EF : BD.

PROPOSITION XVIII

THBOaÂMBk

Tout segment de sphère^ compris entre deux plans parallèles f a pour mesure la demi-somme de ses bases multipliée par sa hauteur j plus la solidité de la sphère dont cette même hauteur est .le diafnetre.

^'^1^* Soient BE, DF, les rayons des bases du segment, EF sa hauteur, de sorte que le segment soit produit par la révolution de lespace circulaire BMDFE autour de Taxe F£. Le solide décrit par le seg^

* "7- ment BMD * = ~ w . Bd! EF, le tronc de cône décrit

•«• par le trapèze BDFF/=^7:. EF. ( BÊ+DF + BK DF); donc le segment de sphère qui est la somme de ces

deuxsolides=^7r. EF.(a BÊ+ a DF4-2 BE. BF-4-"bd). Mais, en menant BO parallèle à EF , on aura DO =

•9. 3. DF— BE , DÔWdF— a DF. BE + BK% et par consé-

quent BD = BOV ^= ÉF V DF— 2 DF x BE+m!

Mettant cette valeur à la place de BD dans Texpression du segment, et effaçant ce qui se détruit, od aura pour la solidité du segment,

^r.EF.(3FE + 3DFVÊF)> expression qui se décompose en deux parties ; Tune

Jt • EF . ( 3 BÊ V 3DïO , ou EF . (jlJElJLÎ!) est la demi-somme des bases multipliée par la hauteur;