etc
«( Soit ensuite 4^:^:^ — a?*, et en vertu de la formule oomnfli^
^ = \/ — 1. tang". X , on aura
tang. X =- x"
7— etc.
Ceile-d <«t la formule qui serrira de base à notre dcnois* li tration. Mais il faut , axant tout , démontrer les deux lemmes suivants.
LsxjiiK I« 5cM> tatefiaciion coiftinme proiongêe à Vmfim^
it*-+-etc. I'
êam iàsqmeOt tomf itf ncm^nt m . n « m', n', de. soiti ^
H0TX XT* ikgt
m m' in ■ , '
imposantes — ,— r,— r» etc. soient toutes plus petites due n n' n^ . * . *
V unité y je dis que la videur totale de la fraction continue
ïera nécessairement un nombre irrationnel,
D*abor4 9 je dU que cette valeur sera plus petite que
i*unité. En effet , «ans diminuer la généralité de la fiiacdon
contiaue , on peut supposer tous les dénominateurs vt » n\
n^ y etc. positifs ; or , si on prend un seul terme de la suite
proposée , on aura., par hypothèse, — < i. Si on prend les
deux premiers , à cause de — 7 < 1 9 il est dair que n-\
est plus grand que n — i : mais m est plus petit que n; et ,
puisqu'ils sont l'un et l'autre des entiers , m, sera aussi plus
m' petit que h H ;-• Donc la valeur qtu résulte des deux
termes
est plus petite que l'unité. Calculons trois termes de la feiction continue proposée ; et d'abord , suivant ce qu'on vient de voir , la valeur de la partie « .
^ra plus petite que l'unité. Appelons cette valeur «^ et il
m est clair que— = sera encore plus petite que l'unité : d^nc
iLa valeur qui x«^ulte des trois termes
n' «st plus petite ^e l'unité. Continuant le même raisonne* Inent , on verra que , quel que soit le nombre de termes ^u'on calcule de la fraction continue proposée, la valeur ^ui en résulte est plus petite que l'unité ; donc la valeur totale de cette , fraction prolongée à rinfini, est aussi plus
HQH IfOTB IV.
urrait i
n proposée serait d
petite qne l'unité. Elle De pourrait être égale à rutiill| It de la m
m" ^-i — etc.
> iaoi tout autre cas «llesent pluspetite.
Cela posé, si on nie que In valoir de la fraction foniii yroposOe soit égale à un nombre irrationnel , suppul qu'elle est égale à un nombre rationnel , et soil ce nonl
— , B et A étant des entiers quelconques ; od aura doot
a" + etc.
> , E, etc. des indéiennioé es telles qu'oi
et ainri i llnfini. Cet^diffëBtetès'^rMtiaiis q t a tïntes ijl tous leurs termes plus petits ^e l'unité , leurs valenni
^ C D E sommes— ,—,—,— , etc. seront plus petites qne luoil
'itoi'ra'nt 'te qnî liimt d'âtre flëntontré , et aâdsi bn t ^B<A, C<Bj D<C, etc.; d'où l'on Voit que lasuin. B, C, D, £,'etc. est décroissante à l'infini. Mais Venà sèment des fraciiona eomiiinn ilMuUi»!agit donne
-=-^C; d'oÙTisulte'!C = mi — mB, A n+-
C ni
==7v^Di d'où lésulle Dcsm-B — /("C,
rpi^Uque les âtnx premiers nombres A et B sont entiers r bypothesç , U s*çiiâiiit que tous les autres C , D , Il etc. , qui jus^^à ce moment étaieçt indéterminés , sont jsi des nombres entiers. Or , il implique contradictioi]^ L*1^I& suite înfiiffl^ j^ ^ B , C , D , £ , etc. soit à-la-fpij^ déoissante et composée de nombres entiers ; car d'ailleurs jcun des nombres A , B , C , D , £ , etc. ne peut être zéro , tisque la fraction continue proposée s'étend à l'infini , et
i*ainsi les somnie^ r^r^entées par ^9 ^9 7; 9 de. dai(Ten(^
vjq^ys étrç qii^lquç ohosie. Donc l'hypothèse , que la mme de la fraction continue proposée est égale à une
lantité rationnelle — , ne saurait subsister ; donc c^tte
mme est nécessairement un nombre irrationnel.
JjEmme II. Les méf^^es choses ç$ant posées', si les /raclions
m m' çi" mposantes — «, -7^— r-» etc. sont d'une grandeur quelcon- , JH n n' .
ug au CQmm^nççnfeni 4^ la suite ; mats qu'après un cçrtaù^
lersfoUe , eU^s soient constamment plus petites que l^uiutéi
dis que la fcacUon continue proposée , en supposai^ tou-
urs qu *ellç ^'étend^ ii V infini, €iura une valeur irreUioançUe.
m'" Ciir , si à compter 4e -^ 9 p^r exemple , toutes les .fracr
iTi"' wî*^ m^
^'ï»— 777» »-^ — , etc. à l'infini , sont plus petitCi «u«
tiiip , alprs 9 9i|iyai(t le lemine 1 9 1^ fir^ictioa cont^^ife
n^ + etc.
a une valeur irrationnelle. Appelons cette valeui: o 9 et raç tioB continue proposée deviendra '
s si on fait successiyement
- f If
^94 HOTE xir.
il est daîr qne, ta étant irrationnelle , toutes les qmntilliljy ttS tt", «>"' 9 doivent Tétre pareillement. Or, la dernière «'l est égale à la fraction continue proposée; donc lu yaleor âil^ celle-ci est irrationnelle. 1
Nous pouvons maintenant , pour rerenir à notre siget|l démontrer cette proposition générale.
Si un arc est commensuraBle avec le n^on, sa tangOÊi sera incommensunû»œ avec te même rayen,
£n effet y soit le rayon = i , et l'arc x = — , xft et ji étal'
des nombres entiers , la formule trouvée d-dcftsii» donnas^ en fn^ant la substitution ,
mm.
taniF. — = — m "« n n—-— «•
7/1— etc»
0r cette fraction continue est dans le cas du lemme II; cir ît est dair que les dénominateurs 3/r,5iv,7Jt, etc. 90^ ^ mentant continuellement , tandis que le nniBémteBr m* reste de Ta même grandeur, les fractions contposantes leroitt ou deviendront bientôt plus petites que- runité , donc b "^
valeur de tang. est irrationnelle ; donc 9 si Parc est con-
n moÊSwrsMc avec le rayon » sa tan^nte sera incomme»surable*
De là résulte , comme conséquence très-immédiate, It proposition qui fait Tobjet de cette note. Soit tz la àetàr circonférence dont le rayon est i ; si ir était rationnel, Ttfc
~ le serait aussi » et par conséquent sa tangente devrait ètit
irrationnelle : mais on sait , au contraire , qae \m tasgente
de Tare - est égale au rayon 1 ; donc ir ne peut être ratioo*
nd. Donc le rapport de la circonférence au diamètre , ti un nombre irrationnel (i).
i) Ott« proposition a ctr dêmonlrrc pour la pivmieBr fobp» |] Lambert > dans les Mcmoirec de Berhn , année i7&t.
HOTE V. aigS
Il est probable que le nombre tt n^est pas même comprit 'flans les irrationnelles algébriques , c'est-à-dire , qu'il ne peut être la racine d'une équation algébrique d'un nombre fini de termes dont lés coefficients sont rationnels : mais il parait très-difficile de démontrer rigoureusement cette proposition ; nous pouvons seulement faire voir que le quarré de ir est encore un nombre irrationnel.
£n effet , si dans la fraction continue qui exprime tang. j*, on fait x=ir 9 à cause de tang. ir = o , on doit avoir
5 ir»
9 — etc.
Mais si TT' était rationnel, et qu'on eût 17' nz — , m et m élant des entiers , il en résulterait
3 — p— fit
II — etc.
Qr , il est visible qu« cette fraction continue est encore
dans le cas du lemme II , sa valeur est donc irrationnelle,
et ne saurait être égale au nombre 3. Donc le quarré du
^appqrt de la circonférence au diamètre ^ est un nombre
irrationnel.
