HOTE

PROBLÂMB IV.

Étant donméfs les trois arêtes d^un parallélépipède avec les angles qu"" elles font entre elles , trouver la solidité du parallélépipède.

Soient lc# arêtes SXzrz/^ SB=:^, SC=A, et les angles ^5 *7*compris A5B=:y , ASC =6 , BSC = a. Si du point C on abaisse CO perpendiculaire sur le plan ASB , Je triangle rectangle CSO donnera CO = CS sin CSO = A sin CSO. D'ailleurs la surface du parallélogramme ASBP =^ sin y. Donc si on appelle S^la solidité du parallélépipède ST, on aura S:=i/gh sin a. sin CSO. Il reste à trouver sin CSO.

Pour cela du point S comme centre et d*un rayon = i , décrivez une surface sphérique qui rencontre en D , E , F, G , les droites SA , SB , SC , SO-; vous aurez un triangle DEF dans lequel Tare FG est perpendiculaire sur £D , puis«> que le plan CSO est perpendiculaire sur ASB. Or le triangle DEF, où l'on a les trois côtés DE=:y, DF =

^^ , ^ COS € COSocCOSy . ^

C , EF=à, donne cos E=: : : -^ et sinEzi:

sin a sin Y

l/' ( I — cos* a — cos' 6 — cos* y-{- 7. cos a. cos € cos y )

sin a sin «y

Ensuite le triangle rectangle EFG donne sin GF ou sin CSO

= sin £ sin £F= sin a sin £. Donc S:=zfgh sin a sin y sin £»

ou

S=/^^/(i — cos*a— cos*6— cos*y-|-2co8«cos€cosy\

Bans cette expression la quantité sous le radical est le

T>ra<luit des deux facteurs sin a sin y + co« S — cos a cos y ( t

•in a sin y^cos 6+cos a. cos y. Le premier=cos 6— cos («4-^)

;iz a sin ^ ^ sin ^ — » ^e second=cos (œ — y) — cos S