sin ^sin » Donc la solidité cherchée

sin- • siD = sin — ■ — sm — - — | •

3oo »aTB ▼•

PROBLâMBV.'

Les mêmes choses étant données que dtms l» proWme précédent ^ trouver Vexpression de la diagenaie quijoinÈ deux sommets opposés.

££• 278. Soit la diagonale de la basé SP = z el 1» diagonale chercLée ST = « ; te triangle ASP dans lequel eoa SAP = — co» y , donnera z'=^' +^ + a^cos y; pareîllenMSl le triangle TSP dans lequel co» TPS= — eos CSF, donnera u*z=:z*+h^+ihz cçs CSP. Il ne s'agit j^hia que d'aToir le cosinus de Fangle CSP ou de Tare FH : or dans le triangle sphërique £FH , on a cos FH=: cos £ F cos £ H 4- sin £F sin £H cos £ ; substituait les

^^ ^ cos e — cos a cos Y ., .

valeurs ££= a et cos E = — ^ — : : , il ^viendra

sm flc sin y

sinEH, '

cos FU=:cos aCOsEH-^ : (cos € — cos a cos Y)=i

sin «^

sin £H cos 6 sin (y — £H). cos a sin EH cos g+sin DHcos a* siny sin y sin y

Donc 2^2 cos FH , ou 11 h z cos CSP = 2^ cos 6.

5 sin EH z sin DH .^

— : \^^n cos a. — : . Mais dans le tnangle BSP

âin y sin y

^^ SP sin BSP ^ SP sin BPS

on a BP = — : — ^ et BS= — : — , ce qui doniM

•^ sinSBP sinSBP ^

; sin EH ^ z sin DH , „

— : •=/el — : z=g. Donc ^hz cos CSP = a/*

sm y sin y

cos ^-\-^gh cos a. Donc enfin le quarré de la diagonale

cherdiée :

u* =/^ +5' -h^* -h ^/g cos y 4- ^/h cos 6 + ^gh cos a.

Corollaire. L'angle solide A est formé par les arêtes

/y§yhy faisant entre elles deux à deux les angles 200^— y ^

200**— 6, a; ainsi il suffit de changer les signes de cos y et

cos € dans l'expression de SE pour avoir celle de AM. Faisant de même pour les deux autres diagonales , on aura les valeurs de leurs quarrés comme il suit :

NOTB V. 3pi

ST =/*+^+A*+a/^cos Y + a/A cos 6 + 2 ^A cos « AM =1/^ +é^+ A'— ^y^ cos y — %fh cos 6 + 2 ^ A cos « BNr=/*4^'4- )4*^ 2/^ cos Y + 2/A cos €— 2 ^ A cos a

C P =/**+5^-|- A'+ %fg cos y 2/*A cos 6 ■— 2 ^ A COS oC

De là on lire ST + AM+BNVcp'==4/* + A^-f-4^^ Donc^ dans tout parallélépipède y la somme des quarrés des ^quatre 'âlagondles est égale a "la ^othtnt des quarrés des douze arêtes» Ce théorème remarquable et analo.g|ie à celui t|tii a 'lieu -d«ns le parallélogramme'* , pourrait se déduire • ^t iti immédiatement de ce dernier. Car au moyen des.parallélo- cor. gammes SCTP , ABMN , on a

ST*+ CP = 2 S^ V a SP*

AM + Bn"== 2 BM*+ a Âb' Ajoutant ces deux équations et observant .qu'on ^ $C=:6M

€t âpV^*= 2SiV<a^\ il viendra SÏ*+'Âm'+ 5n*+ CP*= 4 SA + 4 SB*+ 4 se*

PROBLEME VI

Étant données les trois arêtes qui aboutissent à un même sommet d^ûne pyramide triangulaire , et les trois angles que ces ariies forment entre elles , trouver la solidité de la pyramide.

Soit S ABC la pyramide triai^ridàire pf^po^e , dans fig. ^7$.. laquelle on connaît les arêtes SA =y, SB =^, SC = A , et les angles coAipris ASBs=y , A'SC==6 , BSC = a. Si sur les arêtes SA , SB , SC , données de grandeur et de position , du décrit le parkllâepîpéde ST ; la pyramide qui est le tiers du prisme triangulaire BSANMC sera le sixieAe dir ]^aâ!ëlèpipede^ST.^Donc en appelant P la solidité de la pyfkmide , on aura , 'd'après le prdbl. < iv , ==^l^iî^ 1/(1"^ cos** — c6s*6— cos*y^-acos«-cosgcosy)

«a V=^jf§n y^\%xxk ■ ^ sm ■ « nt sm » .. ' ■ .■■■sin- ].

3oa HOTS y*

PAOBLÂMB TH.

Étant donnés les six côtés ou arêtes d'une pyramide tiv-

angulaire y tjouver sa solidité.

fig. 278. Si l'on conserve les mèmefi dénominations que dans le

problème précédent , et qu'on fasse de plus BG =/'}

f*+f^ — h'* CA=r^, BA=^' , on aura cos v = 2 eos 6 =

., 9 cos a = , . Substituant ces va-

^fh 'kg h

eurs dans la formule trouvée , et faisant pour abréger

on aura la solidité demandée