CE

de la plus courte distance des lignes données.

Si en même temps pn fait la distance AB == c , et qu'on

appelle A l'angle compris entre les deux lignes données,

c'est-à-dire l'angle CDË , compris entre la ligpe CD et un^

parallèle DE à la ligne AB , le triangle CDE rectangle en £

PE c

donnera cos CD£= —7- , ou cos Anr

CÔ' ~\/(«* + ^" + c*)*

€tT on a CD = CE + ED = «* + ^« 4- c» . De là on tirerait

NOTE VIL Sur les poljrèdres symmétriques.

C'est pour plus de siiuplipit^ que npns ayons supposé dafis 1^ déf. x6, liv. YI, qjae le ]^an auquel les polyèdres spnm^triqu^ sont rappo]:)té^ , est le plan d'une face : on pourrait supposer que ce plan est un plan quelconque , et alors la définition deyiendrait phis générale , sans qu'il y. eût rien à cbanger à la (démonstration de la propos, ij, par laquelle Qou$ avons établi )es relations mutuelles de» deux polyèdres. On peut aussi pi:endre upç idée très-juste de la luaniere d'être de ces de,u^ solides^ en regardant Tun des deux comjpie l'image de l'au^i^je foi^née dans un miroir plan, lequel tieiidr^ lieu du plaji^ d^t no^s yeistons de parler^

NOTE yjIL Sur ^proposition XXV^ livre Vil.

Ce théorème qu'Eùler a déqiontfé le premier dans les Mémoires de Pétersbourg, année 17 58, offre plusieurs conséquences qui méritent d'être développées.

z^ Soit a le nombre des triangles , h le nombre des qua-> Onz. éd. 20

3o6 NOTE VIII.

drilaterés , c le nombre des pentagones , etc. qiii composent la surface d'un polyèdre; le nombre total des faces sert a + ^ +^ + ^+ etc. , et le nombre total de leurs côtés sen Sa+ 4^+ Sc+6d+ etc. Ce dernier nombre est double de* celui des arêtes , puisque la même arête appartient à deni faces j ainsi on aura

H=a+è + c4-J4-etc.

a A = 3a -4- 4è -4- 5c 4- 6^/+ etc.

Et puisque 9 suiyant le théorème dont il s*agit, S+H=A -f-a y on en tire

aS=4+a+264-3c+4<f+etc.

Unç première remarqua que fournissent ces valetirs , c'est que le nombre des faces impaires a+c-f-e+etc. est tour jours pair.

On peut faire pour àhrégeriùzzib+^c+^d+eic,^ et aloi^s on aura

S=2H-tH+-Jcd.

Ainsi dans tout polyèdre on a toujours A >| H, €tS> 2 +4 H , où il faut observer que le signe > n'exclut pas l'égalité, attendu qu'on pourrait avoir a>=o.

Le nombre de tous les angles plans du polyèdre est a A) celui des angles solides est S , de sorte que le nombre moyen

des angles plans qui forment chaque angle solide, est — -.

Ce nombre ne peut être moindre que 3 , puisqu'il faut an moins trois angles plans pour former un angle solide; ainsi on doit avoir 2 A > 3S, le signe > n'excluant pis l'égalité. Si on met au lieu de A et S leurs valeurs en Heto), onaura3H+<o>6-f-^H+|-a),ou3H>i2+«.

Remettant les valeurs de H et (t> en a ^ b^ c , etc. , il e& résultera

3« + 2^ + c > 1 2 + e -f- 5^+ 3^-f- etc.

d'où l'on voit que a^ b, c, ne peuvent pas être zéro a-ls* fois , et qu'ainsi il n'existe aucun polyèdre dont toutes les faces aient plus de cinq côtés.

Puisqu'on aH>4-f-jCo,la substitution dans les valeurs de S et de A donnera S>4-|-yû>, et A>6+co. Mais en même temps on a co < 3H-— 1 2 ; et de U il résulte S < 2H—- 4)

HOTlî TIII. Z'op.

L< 3H—5, OÙ l'on se souviendra qu« les, signes > et 'exdaent pas l'égalité. Ces limites ont lieu généralement 9 tous les polyèdres*

? Supposons aA>4S, ce qui convient à une infinité polyèdres , et nommément à ceux dont tous les angles des sont formés de quatre plans ou plus , on aura dans ^ :as H>5+a>, ou , en faisant la substitution ^ .

/ï > 8 H- c H- 2^/4^ 3e 4- etc.

le il faut que le solide ait au moins huit faces triangu* es ; la limite H > 8 -Hw donne S>64-«,etA>2 •^Hozâ* [a on a en môme temps(d<H«-8 ; et de là résulte S<H », A<2H — 4.

)? Supposons aA> 59, ce qui renferme entre autres j^èdres ceux dont tous les angles solides sont au moins ntuples , il en résultera H > 20 + 3 cû , ou « > 20 4- 2 ^ -f- 5 c -f- 8 €/-f- etc.

on aura en même temps S > 1 2 + 2 » , et A > 3o -4->56> ; ' in de ce que <o < ^ (H -^ 20), on tire les limites S <<

>n ne peut supposer 2A=:= 68; car on a en général 4-2Cû-f-i2=6S; donc il n'y a aucup polyèdre dont s les angles solides soient formés de six angles plans oa s ; et en effet la moindre valeur qu'aurait chaque anglt a , l'un portant l'autre , serait l'angle d'un triangle équi<! ' irai , et six de ces angles feraient quatre angles droits^ qui est trop grand pour un angle solide* .^Considérons un polyèdre dont toutes les faces strient inigulaires , on aura O) :r= o , ce qui donnera A =z= 1- H , et = a -^ V H. Supposons en outre que tous les angles solidiea. polyèdre soient en partie quintuples , en partie sextu* I ; soit/7 le nombre des angles solides quintuples, q celui sextuples , on aura S =:/> ■+- ^ et 2 A zn 5/? H- 6q, ce qui me 68— 2 Ar:ip : mais on a d'ailleurs A=£| H, et S=s --H; donc/?=s6S — 2A=:i2. "Donc si un polyèdre a tes ses /aces triangulaires^ et que ses angles solides soient partie quintuples , en partie sextuples ^ les angles soUdesf ntuplès seront toujours au nombre de i%t Les sextuples vent être en nombre quelconque : ainsi , en laissant ^ éterminé, on aura dans tous ces solides S=: xa-)-^,! = 20 + 2^^ A=:3o + 3^,

3oâ tiotn vxii.

Nous terminerons ces applications par la recherplie àa nombre de conditions ou données nécessaires pour déterminèt un polyèdre; question intéressante , et qu'il ne parait pas qu'on ait encore résolue.

Supposons d*abord que le polyèdre soit d'une espèce déterminée, c'est-à-dire qu'on connaisse le nombre de ses faces, le nombre de leurs côtés individuellement, et letf disposition les unes à l'égard des autres. On connaît donc les nombres H , S , A , ainsi que a^b^c^d^ etc. ; il ne s'agit plus que d'avoir le nombre de données effectives , lignes oa angles, parle moyen desquelles le polyèdre peut être coiu* truit et déterminé.

Considérons une des faces du polyèdre que lioiis prendrons pour sa base. Soit n le nombre de ses côtés ; il faadn ixn — 3 données pour déterminer cette base. Les angles solides bors de la base sont au nombre de S — - n ; le sommet de chaque angle exige trois données pour sa détermination; -ainsi la position de S-^/i sommets exigerait 3S— 3/t données, auxquelles ajoutant les a/i — 3 de la base^ on atirait en tout 3 S — /?-r-3« Mais ce nombre est en général trop grand , il doit être diminué du nombre de cpih ditions nécessaires pour que les sommets qui répondent à une même face soient dans un même plan, ^ous avoDS appelé n le nombre de côtés de la base, appelons de mène n' f n", etc. les nombres de côtés des autres faces. Trois points déterminent un plan ; ainsi ce qui se trouvera de plus que 3 dans chacun des nombres n' , «", etc. donnera autant de conditions pour que les différents sommets soiest situés dans les plans des faces auxquelles ils appartiennent f et le nombre total de ces conditions sera égal à la somme («'— 3) -h ( n"— 3 ) 4- {n"'—V) + etc. Mais le nombre des termes de cette suite est H' — i , et d'ailleurs /i-f-w'-f»* -|-etc. = 2A : donc la sonmie de la suite sera tià A — /}-* 3(H — i). Retranchant cette somme de 3S — « — 3,ilreS' tcra 35 — 2A-|-3H — 6, quantité qui, à cause de SH-H== A-f-2 , se réduit à A. Donc le nombre de données nécessaires pour déterminer un polyèdre , parmi tous ceux de la mcnii espèce , est égal au nombre de ses arêtes,

Kemarquez cependant que les données dont il s'agit se

NOTE Vllt. 3o9

doivent pas être prises au liasard parmi les lignes et les angles qui constituent les éléments du polyèdre ; car , quoiqu'on eût autaqt d'équations que d'inconnues , il pourrait se faire que certaines relations entré les' quantités connues rendissent le problème indéterminé. Ainsi il sen^lerait , d'après le théorème qu'on Tient de trouvei^, que la connaissance des arêtes iseules suffit en général pour déterminer un polyèdre ; mais il y a des cas où cette connaissance n'est pas suffisante. Par exemple , étant donné un prisme non triangulaire quelconque , on pourra former une infinité d*aures prismes qui auront des arêtes égales et placées de la même manière. Car, dès que la base a plus de trois côtés , on peut , en conservant les côtés , changer les angles , et donner, ainsi à cette base une infinité de formes différentes ; on peut aussi changer la position de l'arête longitudinale du prisme par rapport au plan de la base , éhfin on peiàt Boni]>iner ces deux changements l'un avec l'autre ; et il en résultera toujours un prisme dont les arêtes ou côtés n'auront pas changé. D'où l'on voit que les arêtes seules ne suffisent pas dans ce cas pour déterminer le s(^ide.

Le» données qu'il confient de prendre pour déterminer un solide, sont celles qui ne laissent aucUhé indétermination , et qm ne donnent absolument qu'une solution. Et d'abord la base ABCDE sera déterminée entre autres ma- fig- 281. nieres , si on connaît le côté AB , avec les angles adjacents BAC , ABC , pour le point C ; les angles BAD , ABD, pouk» le point D, et ainsi des antres, ^oit ensuite M un point dont U faut détermine' la position hors du plan de la base ; ce point sera déterminé , si , en imaginant la pyramide MABC , ou seulement le plan MAB, on connaît le$ angles MAB, ABM , et l'inchnaison du plan MAB sur la ba^se ABC. Si on détermine , par le moyeh de trois données pareill-cs la position de chacun des sommets du polyèdre hors du plan de la base , il est clair que le polyèdre sera detcnniné abso- Jument et d'une mani'ere unique , de sorte que doux polyèdres construits avec les mêmes données seront nécessairement égaux ; ils seraient cependant symmétriques Van de l'autre , s'ils étaient construita dé' différents côtés du plai^ de la ba&ô«

3x6 iroTB.Tiii.

n nVst pas loujours nécessaire d'avoir trois donnée! pour déterminer chaque sommet d'un jpolycdre ; car si le point M doit se trouver sur un plan déjà déterminé dont l'intersection avec la base soit FG , il suffira , après aviwr pris FG à volonté» de amnaitre les angles MGF,.1IFG; ainsi il faudra une donnée de moins. Si le point M doit «e trouver sur deux plans déjà déterminés , ou sur leur intov section commune MR qui rencontre le plan ABC en K, os connaitra déjà le c6té AK, l'angle AXM , et l'inclinaisondt plan AKM sur la Ibse ; il suffira donc d'avoir pour noavelle donnée Tangle MAK. C'est ainsi que le nombre de donnéei nécessaires pour déterminer un polyèdre absoltunent et d*ùne manière unique t se réduira toujours am tiombre A ses anètes A*

Le côté AB et un nombre A«-« x d'angles donnés déto^ minent un polyèdre ; un anire côté à volonté et les roénei angles détermineront unpplyèdre semblable. D'où ilsnitqitf le nombre de conditions nécessairps pot^r que deujc poljéditi de la même espèce soient semblables , est égal au nombre àt pa*étes moins un.

\jk question qu'on vient de résoudre serait beaucoup plm simple si on ne connaissait pas l'espèce du polyèdre, içais seulement le nombre de ses angles solides S» Déterminex alors trois sommets à volonté par le moyen d'un triangle où il y aura trois données ; ce triangle sera regardé comme la ba^e du solide , ensuite les somro^ets hors de cette iMse seront au nombre de S — 3 ; et la détermination de cbacos d'eux exigeant trois données, il est clair que le nombn total de données nécessaires pour déterminer le polyèdre, sera 3 + 3 (S — 3), ou 3 S — 6.

Il faudra donc 3 S -^ 7 conditions pour que deux polyè* dres qui ont un égal nombre S d'angles solides soient seà- Uables entre eux.