HOTE XII

sons un même nombre de faces égales chacune à diacuiie. U ci^e, à l'appui de sou assertion, un exemple qu'on peiU généraliser ainsi.

Si à un polyèdre qnelconque on ajoute une pyramide, en lui donnant pour base une des faces du polyèdre ; si eosuite, au lieu d'ajouter la ])yrainide, on la retranche, cb formant dans le ]>olyédre une cavité égale à la pyramide, on aura ainsi deux nouveaux solides qui auront ks ians égales chacune à chacune, et cependant ces deux solides seront inégaux.

Il n'y a aucun doate sur Tini^alité des deux solidei ainsi construits ; mais nous observerons que Vwbl de ça solides contient des angles solides rentrants : or , il est plus que probable qu'Ëuclide a entendu ex,clure les coipi irréguliers qui ont des cavités ou des angles aolides rentrants, et qu'il s'est borné aux polyèdres convexes. £i admettant cette restriction, sans laquelle d'ailleurs d'autres propositions ne seraient pas vraies , l'exemple de Rdkrt Simson ne conclut point contre la définition ou 1^ théorènc d'Euclide.

Quoi qu'il en soit , il résulte de toutes ces observa tionsipii

les définitions 9 et 10 d'Euclide ne peu veut être consenrées

telles qu'elles sont. Robert Simson supprime la définition

des solides é^aux , qui en ef^t ne doit trouver place qu

parmi les théorèmes ; et il définit solides semblaùles ceux

qui sont compris sous un même nombre de plans sembli-

bles, et qui ont les angles solides égaux chacun à chacun.

Cette définition est vraie , mais elle a l'inconvénient de

contenir bien des conditions superflues. Si on supprîaisit

la condition des angles solides égaux, on retomberait datt

l'énoncé d'Euclide , qui est défectueux en ce qu'il suppose

la démonstration du théorème sur les polyèdres égaux.

Pour éviter tout embarras, nous avons cru à propos de

diviser la définition des solides semblables en deux parties:

d'abord nous avons donné la définition des pyramides

triangulaires semblables , ensuite nous avons défini solides

semblables ceux qui ont des bases semblables , et dont les

sommets homologues hors de ces bases sont déterminés par

des pyramides triangulaires semblables chacune à chacjuiie.

HOTS XII. 32S

Cette définiticMi exige pour les bases, en les Supposant triangulaires, deux conditions, et pour diacun des som« mets hors des bases , trois conditions ; de sorte que , si S esf. le nombre des angles solides de chacun des polyèdres , la similitude de ces deux polyèdres exigera d-f-3 (S — S) angles égaux de part et d*autre, ou 3 S — 7 conditions ; et aucune -de ces conditions n*est supei^âue ou comprise clans les autres. Car nous considérons ici deux polyèdres comme ayant simplement le même nombre de sommets ou *d*angles solides ; alors il faut rigoureusement , et sans en omettre une , les 3 S — 7 conditions pour que les deux solides soient semblables ; mais si on supposai trayant tout qu'ils sont de la même espèce Tun et l'autre, c'est-à-dire qu'ils ont un égal nombre de faces , et que ces faces compa^^ rées chacune à chacune ont un égal nombre de côtés > cette supposition renfermerait des conditions dans le cas où il y aurait des faces de plus de trois côtés, et ces conditionsdiminueraient d'autant le nombre 3 S — 7 , de sorte qu'au lieu de 3 'S— 7 conditions il n'en faudrait plus que A — i ; sur quoi -voyez la note viii. On voit par là ce qui donne lieu à la difficulté de poser une bonne définition des solides semblables ; c'est qu'on peut les considérer comme étant de la même espèce , ou seulement comme ayant un égal^ nombre d'angles solides. Dans ce dernier cas toute difficulté «st écartée , et il faut que les 3 S •— 7 conditions renfennéesdan^ la définition soient remplies toutes pour que les solides, soient semblables , et on en conclura a plus forte raison^ qu'ils sont de la môme espèce. Au reste , notre définitioa étant eompLete, nous en avons déduit comme théorème la définition de Robert Simson. .

On voit donc qu'il est possible de se passer , dans les éléments , du théorème concernant l'égalité des polyèdres ;. mais, comme ce théorème est intéressant par lui-môme, on sera bien aise d'en trouver ici la démonstration , qui servira à compléter la théorie des polyèdres (i).

(i) La démonstration qne nons donnons ici, est, à qnidqnés développements près , ]a même qne M. Caachy a communiquée récemment àllnstitnt, et qu'il a découverte en partant de qtiélques idées, qài*