HOTE XII

La question qu'il faut examiner, est de saToir si, en faisant varier les inclinaisons des plans qui composent k 1 ^ surface d'un polyèdre convexe donné , on peut former os 1 1 second polyèdre convexe, compris sons les même» ]^IM I < polygonaux ; assemblés entre eux dans le même ordre. ' 1 1

Nous observerons d^abord que , s'il y. a un second polyèdrf qui satisfait à la question, ce ne peut pas étref le polyUit «ymmétrique du polyèdre donné , puisque dans ces den polyèdres les plans égaux sont disposés dans un ordre inverse autour des angles solides correspondants. Ainsi la considération des polyèdres symmétriques doit être entièrement écartée de l'objet dont nous nous occupons. '

Nous observerons, en second lieu, que si le polyèdre donné contient un ou plusieurs angles solides triples^ ces -angles sont de leur nature invariables , puisque In connaissance de trois angles plans suffit pour déterminer les inclinaisons mutuelles de ces plans , lorsqu'ils sont réunis en angle solide. On peut donc supprimer dans le solide fto* posé toutes les pyramides triangulaires qui forment les angles solides triples (i); et si le nouveau polyèdre cpii résulte de cette suppi^ession , offre encore des angles solides triples , on pourra de même les supprimer, et ainsi successivement , jusqu'à ce qu'on parvienne à un polyèdre dont tous les angles solides n'assemblent pas moins de quatre angles plans chacun. £n effet, si le solide proposé peut .changer de figure par des variations quelconques dans les inclinaisons de ses plans, ce changement ne peut avoir lies sur les pyramides triangulaires retranchées, et il devra s'opérer tout entier sur le polyèdre restant après la suppression de toutes les pyramides triangulaires. Nous ne nous occuperons donc dans ce qui suit, que des polyèdres dont tous les angles solides assentbknt au moins quatre angles plans, fig. a86. Cela posé, soit S l'un quelconque des anglea solides du

avaient été proposées pour la mêffle objet dans la premièrt éditioa de cas £léuiezit5, pag. 3^7 et suiv.

(i) Si uue même arête était commune à deux angles solides trip]c«» (tu ue sopprimerait dans la première opération c^a^nn de ces angles.

KOYB XII. 3ay

polyèdre, «t'soit décrit, du sommet S comme centre, une surface sphérique dont Tintersection avec leai plans de Tangle solide formera le polygone sphéri^e ABCD£F. Les eôtés de be polygone ABy-BC , etc. serrent, de mesure aux angles plans jiSB, BSC, etc. et sont par conséquent invariables ; quant aux angles A, B , C , etc. du polygone , cha-; cun d'eux est U| mesure, de Tinclinaison de deux plans adjacents de Tan^e solide : ainsi l'angle B «st la mesure de l'inclinaison des plans ASB, SBC, que nous appellerons , pour abréger, inclinçtifion sur V arête SB*; de même l'angle C est la mesure de l'inclinaison sur l'f rétq.Sp, et ainsi de suite. ■ • •

Nous pourrons dpnc juger des changements de figure de chaque angle solide S, par ceux du polygone sphérique ABCDëF, dont les certes sgnt constants , et dont les angles varient d'une manière quelconque , pourvu que le polygone ne cess^ pas d'éire convexe. Or , dans ces polygones , le& signes des variations sur les angles offrent des lois asse« remarquables , que nous allons exposer dans Iqs deux lemmes suivants.

LBMifE I.

. Tous les cotes d^un, polygone sphérique AB, BC^ fig. 2»*. CD, DE, étant donnés j a F exception du dernier kS y si Von fait varier Vun des angles B, G, D, E, opposés au côté A¥j les autres étant constants y je dis que le côté AF augmentefa si F angle augmente y et qu*il dimi* nuera si F angle diminue* Dans tous tes cas ^ on suppose que le polygone est com^exe avant et après son change^ ment de figure.

.' Supposons d'abord qu'on fasse, vawcp l'angle B , ;les trois antres C , D , £ , étant constants , si l'on joint, BF, la figure BCDËF n'éprouvera aucune variation , et BF sera constant. On aura donc un triangle sphérique ABF, dont hs. cMH AB , BF, sont constants , et dans lequel l'angle AF varie d'une même quantité que l'angle ABC du polygone , puisque la partie FBC reste constante. Or , par les propriétés coiv*

3a9 ^ HOTE xir.

nues (i) , cm sait que le c6té AF augmentera ai Fan^ AM augmente , et qu'il diminuera si l'angle ABF diminue.

Supposons maintenant que l'angle C Tarie, les troii autres B, D, £, étant constants; si on tire les diagonales AC , FC , il est = visible que ees diagonales denaeiireront constantes, ainsi que les angles ACB, FCD; on aura donc encore un triangle sphérîque ACP , dont les côté» A€ , CF, S'- jt constants, et dans lequel l'angle ACF tarie de la même quantité que l'angle C du polygone ; d'où l'on conclura de même que le côté AF augmentera si l'angle G augmente) et qu'il diminuera si l'angle G diminue.

Il est évident que le même raisonnement peut s'appfi* quer à la variation de l'un ou l'autre des angles D et £, et qu'il aurait également lieu pour tout autre polygone splié' riqae de plus de trois côtés. Ainsi la condusion sera ^ dais tous les cas , conforme à l'énoncé de la proposition , si toa^ tefois le polygone est convexe avant et après son cliaiige* ment de figure. Cette restriction est néeessaire, ear si l'angle £ , par exemple, diminuait jusqu'à ce que le point F tombât sur la diagonale A£, alors AF serait on Fmmmumi et si , à compter de ce point , on continuait de diminuer l'angle £, il est visible que le côté AF augmenterait an lieu de diminuer; mais, dans ee dernier cas, l'Migle AFE deviendrait nn angle rentrant , et le polygone cesserait d'être convexe.

Corollaire, Les mêmes choses étant posées, si plusieurs des angles opposés au dernier côté AF augmentent , et qu'aucun d'eux ne diminue y le côté AF augmentera nécessairement par l'effet de toutes les variations réunies. Le contraire aura lieu, si plusieurs des angles opposés an côté AF diminuent, et qu'aucun d'eux n'augmente.

Car , si par l'effet de l'augmentation ou de la diminution simultanée, les ang^s A, B, C, etc. du polygone doivent être changés en A', 6', C, etc. on pourra passer successivement du polygone proposé à celui qui ne contient qu'un angle varié A' ; de celui-ci au polygone qui ne contient que

(i) Cette proposition se démoBtre de la même manière que U proposition X, liv. I, poar les triangles rectiligmes.

ifOTS XII. 3^9

les deux angles varies A' et B', et ainsi de snite. Or, dans chacun de ces passages, Tapplication de la proposition est manifeste, et conduit toujours au même résultat.

LSMMB II.

Etant donné un polygone sphérique convexe dont les côtés sont constants^ et qui en a plus de trois , sionjai^ varier le$ angles d^une mamère quelconque j sans cdjpendant que le polygone cesse d^être convexe; si on met ensuite le signe -^ au sommet de chaque angle qui augmente ^ le signe — €tu sommet de chaque angle qui diminue f et qu^on ne mette aucun signe aux angles qui demeurent constants ; je dis qu^ en faisant le tour du pofygoncj on devra trouver au mx>ins quatre change^ ments de signe d^un sommet au sommet suivant.

£n effet, i^ si n est le nombre des angles du poljrgone, , il ne pourrait y avoir n — 2 angles consécutifs, qui augw mentent tons à-la-fois , ou dont les uns augmentent et Ica autres restent constants ; car si Tun ou Tautre de ces caa^ ayait lieu, il s'ensuivrait, par le corollaire du lemme pré^ cèdent , que le côté du polygone qui est opposé à ces it— •» angles, augmenterait; ce qui est contraire à Thypothese^ que tous les côtés du polygone sont constants. Par une raison semblable, on ne pourra supposer que n— a angles, consécutifs diminuent tous à-la-fois , on que qoelques-uiu ^ diminuent, les autresi restant constants. Donc, dans la série de 71-^2 angles consécutifs, il devra y avoir an moins un changement de signe ; à plus forte raison ce changement devra-t-il être observé dans la séiie des n angles consécu-^ tils , lorsqu'on fera le tour entier du polygone.

a^ Les variations dans les angles du polygone ne peuvent être telles , qu'elles offrent seulement une série de signes -H et une de signes — , de sorte qull n'y ait que deux changer menls.de signe dans le tour entier du polygone.

Car soient, par exemple. A, B, C, les trois angles mar* ^ ^g qnés du signe -f-, et D, £, F, G, les quatre marqués du signe — (cette hypothèse comprend celle où il y aurait un