S3# HOTE XII

nombre de ûgnes moindre dans chaque série, à raison dt l'invariabilité de quelques angles). Si la figure représente Tétat initial du polygone , la diagonale GD devra augmenter lolrsqu'on augmentera tous les angles A, B , C , ou seulement quelques-uns d'eux; mais la même diagonale GD, comme appartenant au polygone GFED, dont les autres côtés sont constants, devra diminuer en même temps qne les angles F et £, ou au moins rester constante, si des quatre angles D, £, F, G, il n'y a qne D et G, on seulement l'un d'^ux qui diminue ; donc l'bypotliese dont il s'agit ne saurait avoir lieu ; donc la variation ' des angles ne peut être telle, qu'elle offre seulem^&t deux séries, Vuat de signes -|- , l'autre de, signes — •

3^ Il est encore impossible qu'en faisant le tonr du polygone, on ne trouve que trois séries alternatives de signes + et de signes — ; car, dans cette hypothèse, la première et la troisième série seraient de même signe, et se suivraient immédiatement , de sorte qu'elles, ne formeraient qu'une seule série ; d'où l'on voit qu'il n'y aurait réellement dans le tour du polygone que deux séries, Tune de signes -f-, antre de signes — ; ce que nous avons démontré impossisible.

Donc enfin, les changements de signe qu'on trouvera en faisant le tour du polygone , doivent être au moins au nombre de quatre*

Corollaire. Ce que nous venons de démontrer pour les polygones sphériques, s'applique immédiatement aux angles solides dont ces polygones sont la mesure. Ainsi, éUist donné un angie solide convexe , qui assemble plus de trais angles plans y si on fait varier les inclinaisans sur les arétei d'une manière quelconque ,- telle cependant que fanglô solide ne cesse pas d'aire convexe; si ensuite . on met le signe -{- ou.le signe — sur chaque arête, selon que lin* dinaison sur cette arête augmente ou diminue, et qu'on fie marque d'aucun signe les arêtes sur lesquelles Vindèr naison resté constante , je dis qu *en faisant le tour dt r angle solide, on devra trouver au moins quatre changt' ments de signe dune arête à la suivante.

Au moyen de cette proposition et du théorème d'Ëoler

:iroTB XII. 33i

-mvt \et^ poljeditê*^ nous pouTons maintenant démontrer *25, 7! Im théorème iuivant dans toute sa généralité.

THÉO&âKS.

Eumt dorme, un polyèdre com^exe, dont tous les mngles solides assemblent plus de trois angles plans ^ il est impossible défaire varier les inclinaisons des plans de ce solide y de mmdere a produire un second polyèdre y qui serait formi avec les menus plans disposés entre eux de la même manière que dans le polyèdre donné.

Pour démontrer cette proposition, il faut distinguer deux cas , selon qu^on fait varier les inclinaisons sur toutes les arêtes , ou seulement quelques-unes de ces inclinaisons.

Premier cas.

Supposons <|u'on fasse varier à-la-fois les inclinaisons sur -toutes les arêtes , et soit N le nombre total des changements de signe qu*on trouvera tiNioe arcte à la suivante, en faisant le tour de chaque angle solide.

- On a vu dans le lemme II y que le nombre des change-

ments de signe ne peut être moindre que quatre |Y6ur chaque angle solide.

Donc si on appelle S le nombre des angles solides, on aura N > 4 S ^ le signe > n'excluant pas l'égalité.

J'observe maintenant que deux* arêtes consécutives d'un angle solide appartiennent toujours à une face du p6l]rèdre, et n'appartiennent qu'à une seule ; donc le nombre total des changements de signe observés sur. les > arêtes consécutives de chaque angle solide , doit être égal au nombre total de changements de signe observés sur les côtés consécutifs de ehaque face ; car il n'est aucun changement' de signe dans un système qui ne réponde à un pareil changement dans l'autre.

Or, pour chaque face triangulaire, le nombre des changements de signe ne peut être plus grand que deux ; car en faisant rentrer sur elle-même la suite -j--' — |-, ou la suite H- » onjx'o^tient que dsux changements de si^ne.

33a NOTB XII. ,

Pour chaque face quadrangulaire, le nombre des chai» gements de signe est de quatre au plus , ce qm est éridenK

En général , si le nombre des côtés d*nne face est pair =: 2in , le plus grand nombre des changements de signe qu'on puisse trouver en faisant le tour des côtés, est 2n\ ce qui aura lieu lorsque les côtés porteift aitematiTemeDt les signes + et — .

Mi|is si le nombre des côtés d'tne face est impair^ zzz2n+ if le plus grand nombre des ckangemenis d« signe sera a/i seulement, parce qu'en donnant altemati* Tement aux côtés les signes «{-et — , le premier et le dernier auront nécessairement le même signe; ce qui fait un changement de moins qu'il n'y a de côtés.

Cela posé, soit a le nombre des triai^les, b le nombre des quadrilatères, c le nombre des pentagones, etc. qm composent la surface du polyèdre donné , il résulte de ce qu'on vient de dire , que le nombre total des changemenU de signe observés en faisant le tour de chaque face^ ne pourra excéder 2 a sur les faces triangulaires, 4 b sur les faces de quatre côtés, ^c sur celles de cinq côtés, 6^ sur celles de six côtés. Donc on aura :

N<aa-h4*-+-4c-h6</ + 6e+ 8/4- B^ 4- etc.

Soit A le nombre des arêtes du polyèdre, et H celui de ses Daces , on aura :

aiA= 3tf+ 40+ 5c + 6rf-h 7<?-h8/+ Sff-i- ete.

H= «-hô + c4- rf+e+/ + ^+ «te.

Mais suivant le théorème d*£uler , S + H t=: A + !i ; dont 4S=:8 + 4A — 4H,eten faisant les substitations : . 4S= 8 + afl{ + 46 -+-6c + 8rf+ io«H- etc.

Comparant cette valeur à la limite trouvée ci-dessus, os

sn tire :

Mais on ne saurait avoir à-Ia-fois N > i^S et N< 4S — 8;

donc il est impossible que les inclinaisons sur les arêtes da

polyèdre varient toutes à-la -fois, sans détruire la eohé^

rence des plans qui forment la surface du polyèdre.

Second cas.

Supposons maintenant que les inclinaisons sur les arêtes.

yoTS XII. 333

içie varient pat toutes à-la-fois , et qu'il y en ait quelques* unes qui demeurent constantes.

Soit FI une de ces arêtes » on pourra imaginer qu'elle Cg* ap4^ soit supprimée, et qup les deux faces adjacen'ifs FIG, EFIHy se réunissent en une seule non plane terminée par le contour de forme invariable EFGIH. Appelons S', H et A' ce que deviennent les nombres S, H et A, après la suppression d'une arête , nous aurons . H' = H — i , et A' = A — I ; d'ailleurs on a S' =z: S , puisque le nombre 4es angles solides est le même dans les deux solides; donc on aura S' + H' — A' = S -h H — A = a. D'où l'on Toit que le théorème d*£uler a encore lieu dans le nouveau solide qui contient une arête de moins , et une face de moins, puisque deux faces se sont réunies en une seule ijion plane.

Si de ce second solide on retranche encore l'une des arêtes sur lesquelles l'inclinaison reste invariable, la sup-> pression de cette arête occasionnera de nouveau la réunion de deux faces contiguës en une seule; et on prouvera de même que le théorème d'Ëuler a encore lieu dans le troisième solide qui résulte de la suppression de deux arêtes.

On peut continuer à supprimer tant d'arêtes qu'on vour dra, pourvu que cette suppression n'entraîne celle d'aucun angle solide ; et le théorème d'Ëuler aura toujours ]jieu dans le solide restait :^c'est aussi ce qu'on peut voir directement et généralement, en examinant la démonstration que nous avons donniSe du théorème d'Ëuler; en effet, cette démonstration ne suppose pas que les faces du polyèdre sont planes ; elle aurait également lieu , quand même ces fsces seraient terminées par des contours non situés dans les mêmes plans; elle suppose seulement que chaque contour soit représenté, suivant notre construction, par un polygone sphérique, et -que la somme des surfaces de ces polygones soit égale à la surface de la sphère. Et il n'est pas même nécessaire que tous ces polygones soient convexes ; il suffit que chacun d'eux puisse être regardé comme la somme de plusieurs polygones convexes ; ce qui arrivera toujours, lorsque, par la suppression de plusieurs arêtes appartenant au polyèdre dopiié « plusieurs faces planes se

334 Notfi %iî.

réuniront en une seule non plane; car alorf le |M>lygont sphérîque qui représente celle-ci, sera composé de la somme des polygones sphériques convexes ^ui représentaient lei faces planes supprimées.

Venons maintenant au cas où la suppression des arêtes sur lesquelles l'inclinaison ne varie pas , entraine celle d'an ou de plusieurs angles solides, soit parce que les inclinai* sons sur toutes les arétès, dans chacun de ces angles , sont invariables, soit parce que ces inclinaisons ne pourraient varier que sur trois arêtes seulement, et qu'alors elles seraient nécessairement constantes.

Supposons d'abord qu'on ne supprime qu'un angle solide , et soit m le nombre des faces ■ de cet angle , ou le nombre d'arêtes qui aboutissent à son sommet. En supprimant l'angle solide dont il s'agit , on supprimera en même temps m arêtes , et les m faces formant l'angle solide se réduiront à une seule ; donc , si on appelle S', A', H', ce que deviennent les nombres S , A , H , après la suppressioa d'un angle solide , on aura S' = S — i , A'' = A — m , H' = H — (m-^i).DelàontlraS'+H' — A' = S+H- A=:a : donc le théorème d'Ëulera encore lieu dans le nouveau solide.

Il est clair maintenant qu'on peut supprimer tant d'angles solides qu'on voudra du polyèdre donné, et que le théorème d'Ëuler aura toujours lieu dans le polyèdre restant; car en supprimant les angles solides un à un , on a successivement différents polyèdres , dont deux consécutifs rentrent dans le cas que nous venons d'examiner.

Donc en général, si du polyèdre proposé on supprime toutes les arêtes sur lesquelles l'inclinaison ne varie pas; soit que par cette suppression le nombre des angles solides reste le même, ou qu'il devienne moindre, le polyèdre restant satisfera toujours au théorème d'Euler , c'est-à-dire qu'en appelant ^^ ^, a, les quantités qui pour ce polyèdre correspondent aux quantités S, H, A, du polyèdre proposé , on aura s -^ h — û=zS-|-H — A=2.

Mais dans ce dernier solide, les inclinaisons sur les arêtes devront varier toutes à-la-fois, puisqu'on a supprimé toutes le« arêtes sur lesquelles l'inclinaison ne varie paa) don« ce

' .tJ.C!