TRAITÉ
DE
u A Trigonométrie a pour objet de résoudre les tritgles, c'est -à -dire, de déterminer leurs angles et ors côtés par le moyen d'un nombre de données ifBsant.
Sans les triangles rectilignes il suffit de connaître ois des six parties qui les composent, pourvu que irmi ces parties il y ait un côté. Car si on ne donnait te les trois angles, il est visible que tous les triangles Knblables satisferaient à la question.
Dans les triangles sphériques trois données quel- ^nques, angles ou côtés, suffisent toujours pour dérminer le triangle, parceque dans ces sortes de triigles on ne considère pas la grandeur absolue des ^tés , mais seulement leur rapport avec le quadrant 1. le nombre de degrés qu'ils contiennent.
Dans les problêmes annexés au livre II, on a déjà L comment les triangles rectilignes se construisent 1 moyen de trois parties données ; les proposi- :>ns XXIV et XXV du livre V donnent également le idée des constructions par lesquelles on pourrait soudre les cas analogues des triangles sphériques. ais ces constructions , qui sont exactes en théorie , ^ donneraient qu'une médiocre approximation dans pratique ( i ) ^ à cause de l'iitiperfection des instru-
(i) Il faut distinguer en effet les figures qui ne servent qu'à riger le raisonnement poivr la dénionstrati9n d'un théorème ou Onz, éd. 22
338 i^RiGôNOMEtaïk.
nients dont elles exigent Temploi : on les appelle dés rnct/iodes graphiques. Les méthodes trigonométriques, au contraire, indépendantes de toute opération mé« cahique, donnent les solutions avec tout le degré d^exactitude c^u^on peut désirer : elles sont fondées sur les propriétés des lignés appelées sinus ^ t:ostnus, tangentes, etc., au moyen desquelles on est ^anreda à exprimer d'une manière très-simple les relations qui tbxistent entrd les côtés et les angles des triangles.
Nou,s allons d'abord exposer les propriétés d.e ces lignes et les principales formules qui en résultent j formules qui sont d'uti glrahd usage dans toutes io parties des mathématiques , et qui fournissent knèiM à l'analyse algébrique des moyélis de pc^dTectioiinement. Nous les appliquerons ensuite à la résdution des triangles rectilignes et à celle des tfiaogki sphériques.
Division de la Circonférence.
I . Jusqu'à ces derniers temps les géomètres s^étaient accordés à diviser la circonférence en 36o parties égales appelées degrés, le degré en 60 minutes, h minute en 60 secondes^ etc* Ce mode présentait quelques facilités dans la pratique , à cause du grand nombre de diviseurs de 60 et de 36o : mais il était réellement sujet à l'inconvénient des nombres complexes , et il nuisait souvent à la rapidité du calcul.
Les savants , à qui on doit l'invention du nouveau systénie des poids et mesures , ont pensé qu'il y aurait un grand avantage à introduire la division déciçiak dans la mesure des angles. En conséquence, ils ont
la solution d'un problème , des figures que l'on construit poBf connaître quelques-unes de leurs dimensions. Les premières soot I « toujours supposées exactes ; les secondes , si elles ne' soûl P'' f ^ tracées exactement , donneront des résultats fautifs.
TRIGONOMÉTRIS. 339
i^gafdé comme unité principale le quart de circonierence ou le quadrant , mesure de l'angle droit , et mis ont divisé cette unité en loo parties égales appelées degrés, le degré en loo miniues ^ et la minute en IDC secondes.
Nous n'emploierons désormais que la nouvelle division ou la; division décimale de la circonférence. C'est celle qui convient le mieux à la nature de notre arithmétique, et qui est la plus propre à abréger les t^alculs.
. II. Les degrés ) minutes et secondes se désignent respectivement par les caractères <>, ', " : ainsi l'expression i6<^ 6' 75", représente un arc ou un angle de -16 d^és 6 minutes 75 secondes. Si on rapportait ce -même arc au quadrant pris pour unité , il s'exprimerait par o, 160675. On voit en même temps que l'angle mesuré par cet arc, est à l'angle droit ::i 160675 : loooooo, rapport qu'on ne déduirait pas «ussi facilement deé expressions données par l'ancienne division de la circonférence.
Les arcs et les angles sont exprimés indistinctement dans le calcul par des nombres de degrés, minutes et secondes. Ainsi nous désignerons l'angle droit ou le quadrant par ioo<^, deux angles droits . ou la demi -vcirconférence par aoo^, quatre angles droits ou ia circonférence entière par 4oo^ ; ainsi de ' suite.
* -m. Le complément d'un angle ou d'un arc est ce ' qui reste en retranchant cet angle ou cet arc de 100^* ; Ainsi un angle de a 5^ 4o' ^ pour complément, '. 74** 60' ; un angle de i2<> 4' 62" « pour complément, ' '87095' 38\ ." En général, A étant un angle ou un arc quelconque, looo — A est le complément de cet angle outle cet arc. D'où l'on voit que, si l'angle ou l'arc dont il s'agit est plus grand que 100^, son complément sera
34o ~ t R 1 GO N OBt Etais.
négatif. Cest ainsi que Ib comJ>lément de 160'* 84' 10' est — 600 84' 10". Dans ce cas, le complément , pris positivement , serait la quantité qu'il faudrait retris* cher de Fangle ou de Tare donné, pour que le itst« fût égal à ioo<^.
Les deux angles d'un triangle rectangle valent ensemble un angle droit : ils sont donc compléments l'un de l'autre.
IV. Le supplément d'un angle ou d'un arc est ce qui reste en ôtant cet angle ou cet arc de !200<^, vaknr de deux angles droits ou d'une demi-circonférenoe. Ainsi A étant un angle ou un arc quelconque, aoo* — A est son supplément.
Dans tout triangle , un angle est le supplément de la somme des deux autres , puisque les trois ensemble font aoo*^.
Les angles des triangles, tant rectilignes quesph^ riques , et les côtés de ces derniers , ont toujours leun suppléments positifs ; car ils sont toujours moindres que 200**.
Notions générales sur les sinus ^ cosinus f
tangentes^ etc.
fig. I. V. Le sinus de l'arc AM, ou de l'angle ACM,at la perpendiculaire MP abaissée d'une extrémité de l'arc sur le diamètre qui passe par l'autre extrémité. Si à l'extrémité du rayon CA on mené la perpendiculaire AT jusqu'à la rencontre du rayon CM prolongé, la ligne AT, ainsi terminée, s'appelle la um' gente , et CT la sécante de l'arc AM ou de l'angle ACM. CejBi trois lignes MP, AT, CT, dépendantes de •l'àr-c AM, et toujours déterminées par l'arc AM et le rayon , se désignent ainsi : MP = sin AM , ou sin ACM, A!lz=tang km, ou tang ACM^ CT = séc AM, ou séc ACM.
VRIGOHOMÉTRIS. 34 1
VI. Ayant pris Tare AD égal à un quadrant, si des points M et D on mené les lignes MQ, DS perpendiculaires au rayon CD^ Fune terminée à ce rayon, Tautre terminée au rayon CM prolongé; les lignes MQ, DS et GS seront pareillement les sinus, tangente et sécante de Tare MD, complément de AM. On les appelle, pour abréger , les cosinus, cotant gerue et cosécante de Tare AM, et on les désigne ainsi : MQ = co5 AM, ou cos ACM, DS=r co^ AM, ou col ACM , es = coséc AM , ou cosec ACM. En général, A étant un arc ou un angle quelconque, on a cos A=zsm (ioo<* — A) , cotA=ztang (loo®— A), coséc A :=:Séc {loo^ — A).
Le triangle MQC est, par construction, égal au %/i; triangle GPM, ainsi on a CP = MQ; donc dans le triangle rectangle CMP , dont Thypoténuse est égale au rayon, les deux côtés MP, CP sont la sinus et le cosinus de Tare AM. Quant aux triangles CAT, CDS, ils sont semblables aux triangles égaux CPM , CQM , et ainsi ils sont semblables entre eux. De là nous •déduirons bientôt les différents rapports qui existent entre les lignes que nous Tenons de définir ; mais auparavant il faut voir quelle est la marche progressive de ces mimes lignes, lorsque Tare auquel elles se rapportent augmente depuis zéro jusqu'à 200<>.
▼u. Supposons qu'une extrémité de Tare demeure fixe en A , et que l'autre extrémité , marquée M , parcoure successivement toute l'étendue de la demicirconférence depuis A jusqu'en B dans le sens ADB. Lorsque le point M est réuni en A, ou lorsque l'arc AM est zéro , les trois points T , M , P , se cpn- Jondent avec le point A ; d'où l'on voit que le sinus «t la tangente d'un arc zéro sont zéro, et que le cosinus de ce même arc est égal au rayon , aipsi que sa sécante. Donc en désignant par R le rayon du corde, on aura
sin o=:o, tang o=o^co5 0=R.^ 5ec o=R«
34^ TH1GONOMÉTRI9/
vm. A mesure que le point M s^Tance vers-D, le sinus augmente, ainsi que la tangente et la se* cante ; mais le cosimis y la cotangente et L^ cosécante diminuent^
Lorsque le point M se trouve au milieu de AD, ou lorsque Tare AM est de 5o<^ , ainsi que son complément MD, le sinus MP est égal au cosinus. MQ ou GP, et le triangle CMP, devenu isoscele, donne la proportion MP : CM :: i : v^ a, ou sin. 5o« iJX::
