i/x. Donc sin 5o^=:cùs 5o*>=— — =~R W^a, Dans

ce même cas le triangle CAT devient isoscele et égal au triangle CDS ; d^où Ton voit que la tangente de 5oo et sa cotangente sont toutes deux égales au rayon, et qu'ainsi on a m/îg^ 56<*=co^^5oo=R.

IX. L'arc AM continuant d'augmenter, le sinus augmente jusqu'à ce que le point M spit parvenu en D : alors le sinus est égal au rayon, et le cosinus est »éro. On a donc sin loo** =;=; R çt cos iooo==:o ; et l'on peut remarquer que ces valeurs sont une suite de celles que nous avons trouvées pour les sinus et cosinus de l'arc zéro ; car le complément de ioo<> étant zéro , on a sin loo^* = cos o® := R et cos ioo<> = sin 0*^ = 0.

Quant à la tangente , elle augmente d'une manière très-rapide à mesure que le point M s'approche de D ; et enfin lorsqu'il est parvenu en D , il n'existe plus proprement de tangente, parce que les lignes AT , CD , étant parallèles , ne peuvent se rencontrer. C'est ce qu'on exprime en disant que la tangente de ^oo*' est infinie, çt on écrit tang^ ioo° = oo .

Le complément de lop^ étant zéro , on a long 0== çot ioo<* et cot o = tc^nff 100^. Donc cot o =oc et coc 100^ = 0.

X. Le point M continuant à avancer de D vei"S C, les sinus diminuent et les cosinus augmentant. Aiij>i

ÏRIGONOMÉTRIE. 343

«n voit <jue Tare AM' a pour sinus M' P', et pour «osinus M'Qôu CP'. Mais l'arc M'B est supplément de AM', puisque AM'-f- M'B est égal à une demicirconférence; d^ailleurs si l'on mené M 'M parallelie à AB, il est clair que les arcs AM, BM', compris entre parallèles^ seront égaux, ainsi que les perpendioulaires ou sinus MP, M'P'. Donc le sinus iTun arc *

ou d^tLpt angle est égal au sinus du supplément de cet arc ou de cet angle.

L'arc ou l'angle A a pour supplément 200<> — A: ainsi on a en général

sin A=2sin ( 200<>-n-A).

La même propriété s'exprimerait aussi par l'équation sin ( looo -h B ) = 5m ( loo*» — B ) , B étant l'arc DM ou son égal DM'.

XI. Les mêmes arcs AM', AM qui sont suppléments l'un de l'autre, et qui ont des sinus égauj^,' ont aussi les cosinus égaux CP', CP ; mais ri faut observer que ces cosinus sont dirigés dans des sens difféf^nts. Cette différence de situation s'exprime dans le calcul par l'opposition des signes : de sorte que si on regarde comme positifs, ou affectés du signe +, les cosinus des arcs moindres que'ioo^, il faudra reg^der* comme négatifs ou affectés du signe — -, les cosinus des arcs plus grands que loo**; On aura donc en général ^

cos A =z— côs {206^* — A), ou cos (looo + B ) 1= — cos ( ioo°-r— B ) ; c'estfài^lire, que lé cosfnus d^un arc ou d'un angla plus grand que ioo<* est égal au cosinus dç son supplément, pris négatii^enient, y

Le complément d'un arc plus grand que loo® * ui. étant négatif '^, il n^est pas étonnant que le sinus.de ce complément soit négatif; mais pour rendre cette vérité encore plus palpable, cherchons l'expression de la distance du point A à la perpend^lbulaire MP»

344 TJLlGOHOMBTRIfe. .

Si on fait Tare A]\l==j:, on aiira CPsrzcos Jt,fXh distance cherchée AP = R — cas x* La même formule doit exprimer la distance du point A à It droite MP , quelle que soit la grandeur de Tare AM, dont Torigine est au point A. Supposons dono qttek point M vienne en M '^ en sorte que x désigne Tare AM', on aura encore en ce point AP' = R — co5 x; ^ doncco5^ = R — AP'=AC— AP'=— CP';cequi fait voir que cos x est alors négatif; et parce qae CP' = CP = cos ( 200<* — jr), on aco5J?=: — cù% ( 200^ — a: ) , comme on Ta déjà trouvé.

On voit par-là qu^un angle obtus a le même sinus et le même cosinus que Tangle aigu qui lui seii^t de supplément, avec cette seule différence que le cosinus de l'angle obtus doit être affecté du signe — . Ainsi on a sin i5(^ = sin 5o<* = ^ Rl/^a, elcos i5o«*2= — cos 5oo= — ^R v/a.

Quant à l'arc ADB égal à la demi - circonférence, son sinus est zéro, et son cosinus est ^al au rayon pris négativement ; on a donc sin 200*^=0 , et cos 200^ = — R. C'est aussi ce que donneraient les formules sin A =zsin (200<> — A) , et cos A= — cos (200® — A), en y faisant A = 200**.

XII. Examinons maintenant ce que devient la angente d'un arc AM' plus grand que 100^. Suivant la définition , elle doit être déterminée par le concours des lignés AT, CM'. Ces lignes ne se rencontrent point dans le sens AT, mais elles se rencontrent dans le sens opposé AY ; d'où l'on voit que la tangente d'un arc plus grand que loo^/ est négative. D'ailleurs , si on observe que AY est la tangente de «g. 1. l'arc AN supplément de AM' ( puisque NAM' est une demi-circonférence ) , on en conclura que la tangerue d^uii arc ou d'un angle plus grand que 100** e^t égale à celle de son supplément , prise négativement , de

sorte qu^on a

lang A = — cang [^ 200*> — A )

II en est de même de la cotangente représentée par DS') laquelle est égale, et en sens contraire à DS cotangente de AH. On a donc aussi

cot A = — cot ( ao9« — A ).

Les tangentes et les cotangentes sont donc négatives, ainsi que les cosinus, depuis loo^ jusqu^à 200<*. Et, dans cette dernière limite , on a tang aoo^ = o et cot aoo^ = — cot o ==■

xin. Dans la trigonométrie il n'y a pas lien de considérer les sinus , cosinus , etc. , des arcs ou des angles plus grands que aoo^; car c'est toigours entre o et aoo^ que sont compris les angles des triangles tant rectilignes que sphériques, et les côtés de ces derniers. Mais dans diverses applications de la géométrie ^ il n'est pas rare de considérer des arcs plus grands que la demi-circonférence , et même des arcs comprenant plusieurs circonférences. Il est donc nécessaire de trouver l'expression des sinus et cosinus de ces arcs , quelle que soit leur grandeur.

Observons d'abord que deux arci égaux et de signes contraires AM, AN, ont des sinus égaux et de signes contraires MP , PN , tandis que le cosinus CP est le même pour l'un et pour l'autre. On a donc en général

sin ( — .r ) = — sin x

formules qui serviront à exprimer les sinus et cosinus de^ arcs négatifs.

Depuis o^ jusqu'à aoo^ les sinus sont touJQurs positifs , parce qu'ils sont situés d'un même côté du diamètre AB ; depuis 2QO^ jusqu'à 400^ les sinus sont négatifs, parce qu'ils sont situés de l'autre c6té de ce diamètre. Soit ABN' =1 x lin arc plus grand que 200^, sou sinus P'N' est égal à PM sinus de l'arc AM z=lx — aoo^ ; donc on a en général

Cette formule donnerait les sinus entre 200° et 400^ au moyen des sinus entre o^ et 200^ ; elle donne en particulier sin 400*^=— jw 200*= o; il est évident en effet que si nu arc est égal à la circonférence entière , les deux extré-

346 VRIÇONOMÉTRIlf.

mités se confondent en un mêm^ poi^t ^ei^ j,e sinm^.se i|édiik i zéro.

Il n'est p^s moins, évident que-, si à un arc qaelcoocpe AM on ajoute i^ie ou plusieurs circonférences y^ on retombera exactement sur le point M , et Tare ainsi au^enté a]ara le même sinus que Tapc AM ; donc si C désigne une circonférence entière on 400** , on aura

sin X = sîn (C +^) = 5/« ( 2 C-ha:)=^£rï ( 3 C -|-a?)«to. La même cliose aurait lieu pour les cosinus , tangente^ etc.

Maii)tenant, quel que soit Tare proposé jr, il est fadledo voir que son sinus pourra toujours s'exprimer , avec nu signe convenable , par le sinus d'un arc moindre «pie 100°. Car d'abord on peut retrancher de Tare x> autant de fois 400° qu'ils peuvent y être contenus; soit le reste ^,011 aura sin xz=.sin y. Ensuite si y est phis grand que àoo® , on fera y = 200** -+- z , et on aura sin y = 1— sin z. Tous les cas sont donc réduits à celui où l'arc proposé est moindre que 200**, et comme d'ailleurs on a sin (ioo^+j:) = sin (100** — X ) , il est clair qu'ils se réduisent ultérieurement 9U cas QÙ l'arc proposé est entre zéro et 100^.

XIV. Les cosinus se réduisent toujours aux sinus en vertu de Ja formule cos A. = sin ( 100** — A) , ou, si l'on veut, de la formule cos Azrzsin ( ioo*^-|~ A ) ; ainsi , sachant évaluer les sinus dans tous les cas possibles , on saura de même évaluer les cosinus. Au reste, on voit directement par la figure que les cosinus négatifs sont séparés des cosinus positifs par le diamètre DE , en sorte que tous les arc^ doiit Tcxtrémité tombe à gauche de DE ont un cosinus positif, tandis que ceux dont rextrémité tombe à droite ont. un cosinus négatif.

Ainsi de o** à 100^ les cosinus sont positifs , de loo*^ à 3oo^ ils sont négatifs, de 3oo*^à 400^ ils redeviennent positif^; et après une révolution entière, ils prennent les mêmes valeurs que dans la révolution précédente , car on a aussi cos ( 400** -\- a: ) zz: cos x, '

D'après ces explications , il est aisé de voir que les sinus et cosinus des arcs uiultiples du quadrant , .ont Içs valeur» ^.uiv^nte^ :

TRIGON40METRIB.

sin o®—

sin 100° — R

cos o°=R

cos 100** a

sin 20o**=o

sin 300**= — R

co^ 3 00^ —

sin 400** —

sin 5oo** — R

cos 400® — R

coj 5oo**

sin 600^=0

sin 700**= — R

cos 600^ — R

cos 700** a

sin aoa**—

sin 900^ — R

cos »oo^ — R

cos 900^

etc.

En général k désignant un nombre entier quelconque, on

aura :

sin a^. 100^ =::= Q, *«r(4it+i). 100* =;R sin (4^ — ï) • 100® = — R

cos ( a^ 4- I ) • 10.0** =: o. cos 4^- 100*^= R cos (tiA + %). 100®= — R Ce que nous venons de dire des sinus et qosinus nous dispense d'entrer dans aucun détail particulier sur les tan* gentes , cotangentes, etc. des arcs plus grands que 200^; car les valeurs de ces quantités sont toujours faciles à déduire de celles des sinus et cosinus des mêmes arcs , ainsi qu'on le

Terra par les formules que nous allons exposer.

Théorèmes et formules concernant les sinus ^ cosinus, tangentes, etc.

XV. Le sinus d'un arc est la moitié de la corde qui sous'tend un arc double.

Car le rayon CA, perpendiculaire à MN, divise fis en deux parties égales la corde MN et l'arc sous* tendu MAN; donc MP, sinus de l'arc MA, est la moitié de la corde MN qui sous-tend l'arc MA^ , double de MA.

La corde qui sous-tend la sixième partie de la

circonférence est égale au rayon ; donc dn

XOk

ou sin 33*^ -j = ^ R , c'est-à-dire que le sinus du tiers de l'angle droit est égal à la moitié du rayon. , Tk\\. Le quarré du sinus d*un arc plus le quarré de son cosinus est égal au quarré du rayon , de sorte qu*on a en général sin "* A + cos ' A=R ' (i ).

(i) On désigne ici par si/i' A le quarré de sin A , et soniblablQloent pgr cos* A le c^uarré de ços A.

348 T&teONOXiTKIB*

Cette propriëtë résulte immédiatement du triangh

rectangle GMP, où Ton a MP+CP=GMr

n i^ensttit qu'étant donné le sinus d'un arc on trouvera son cosinus, et vice vend, au moyen dei formules -cos A=:zfc v/ (R* — 5În" A), sot A=± V (R* — cas* A). Le double signe de ces fennuki vient de ce que le même sinus MP répond à deoz arcs AM, AM\ dont les cosinus GP, GP^ s<mt égau et de signes contraires , comme le même cosinm CP répond à deux arcs AM , AN , dont les simu MP , PN sont pareillement égaux et de signes con* traires.

Ainsi, par exemple, ayant trouvé jiis SS^js^R, onen déduira co533^iou 5111 66^|=ï/{R*—iR')= V/|R*={^Rv/3.

XVII. Etant donnés les sinus et casimis de l'arc A , on peut trouver les tangente, sécante^ cotangente et cosécante du même arc au moyen des formules suivantes :

. R sin A , . R* A RcorA

taiig A=: ~- , sec A = r-, cot A =

cos A cos A sin A

coséc A =

sin

En effet les triangles semblables CPM , G AT , GDS

donnent les proportions :

CP:PM::GA:ATouco5A:5wA::R:/a/ifi^A=5i^

^ cos A

CP : CM :: CA : CT ou co5 A : R :; R : 5^c A= ^' J'M:CP:.CD:DSou5mA:co5A::R:co^A= PM : CM :: CD ! es ou jw A : R :: R : coséc A=

cos A.

"Rcosk

sink

"sink

d'où Ton tire les quatre formules dont il s^agit. On peut observer au reste que les deux dernières for*

TRIGONOMETRIE. 349

muleâ se dédmiraient des deux premières en mettant simplement loo** — A au lieu de A.

Ces formules donneront les valeurs et les signes propres des tangentes , sécantes , etc. pour tout arc dont on connaîtra le sinus et le cdsinus; et comme la loi progressive des sinus et cosinus , selon les différents arcs auxquels ils se rapportent, a été suffisamment développée dans le chapitre précédent , il ne reste rien à désirer sur la loi que suivent semblable ment les tangentes , sécantes , etc.

On peut confirmer aussi par leur moyen plusieurs résultats qui ont été déjà obtenus relativement aux tangentes ; par exemple , si Ton fait A= loo^ , on aura sin A =: R , et

cos A=^o, donc tang 100^= — , expression qui désigne

une quantité infinie; car R' divisé par une quantité trèspetite^ donnerait un quotient très-grand ; donc R* divisé par zéro donne un quotient plus grand que toute quantité finie. Et parceque zéro peut être pris avec le signe -j^ ou avec le signe — , on aura la valeur ambiguë tang ipo^ =