OP
Soit encore A =200^ — B, on aura sin Azusîn B, et
€0s A = — cos B ; donc tang ( 200" — B j = z=: —
R sin B __ . , - ,
^zz'-rtanff B , ce qui s accorde avec lart. xii.
XYiii. Les formules de l'article précédent , com* binées entre elles et avec l'équation sin ' A + cos * A = B. "" , en fournissent quelques autres qui méritent attention.
On a d^abord Ji' + iang' A = R' -H— ^
R'(^iVA+go^'A) ^ R* ^^^^T^..,^„^.jl,
z=zséc^ A /formule qui $e déduirait immédiatement du triangle rectangle G AT; on aurait de même, par les formules ou par le triangle rectangle CD$ , Ra + coe^ Az=zcoséc^ A.
3do Ï&IGONOM ETRIS.
Enfin , si on multiplie entre elles les forûiules
. R sin A . R cos A .
tang A = r-, coc A = — :— -- , on aura taftg k
cos A. -Slft A. '
R* X cot A = R* , formule qui donne cot At=i' -,
et tanff A = -. On aurait de même cot B :^
^ cot A
R* g. Donc cot A : cot B :: tang B : tang A ; c'est-àdire , que les cotangentes de deux arcs sont en raison i/werse de leurs tangentes.
Cette formule cot A x tàng A = R * se déduirait immédiatement de la comparaison des triangles sem« blables CAT, CDS, lesquels donnent AT:CA::.
CD : DS , ou tang A : R :: R : cot A.
XIX. Etant donnés les sinus et cosinus de deux arcs a e^ b , on peut déterminer les sinus et cosinus de la somme ou de la différence de ces arcs y au moyen des formules suivantes ^
f , V sin a cos b -4- sin b cos à
sin {a-^ b) =
sin (a — b) = cos Ça-\-b) =:
sin a cos b — sin b cos a
cos a cos b — sin' a sin b
R cos a cos b -|- sin a sin h
cos {a — b) =1
fig ». Soit le rayon AC z= R , l'arc AB = a, Tare BD=:=i,
et par conséquent ABD = «-|- b. Des points B etD
abaissez BE, DF perpendiculaires sur AC; du point
D menez DI perpendiculaire sui* BC, enfin du point I
menez IK perpendiculaire et IL parallèle à AC.
Les triangles semblables BCE, IÇK donnétit les
proportions
sin a cos h
CR : CI :: BE : IK ou R : co5 Z^ :: sin a : IK= CB:CI::CE:CK ou R:co5 i.:: co^ a:CK=
cos a cos h R
TRIGONOMÉTRIE. 35t
Lès triangles DIL, CBE-, qui ont les côtés perpendiculaires chacun à chacun , sont semblables et donnent les proportions
CB:m::CE:BLonR.sinb::cosa:Bhz=z—^—
GB:DI::BE:IL ou R\s.mh\\sina\\L'=i ^ —
Hais on a
IK4-DL5^DF=:m {u + b), et CK — IL=CF=:
-GQS (a + é). Donc
, , . sin u cos b H- sin b cos a sin{a-\-b)=-^ g^
y ^ % « COS a cos b — sin a sin b COS {n + b)=: ~ .
n serait facile de déduif e de ces -deux formules les valeurs de sin {a — b) et de cos ( a - — J ) ; mais on peut les trouver directement par la même figure. En effet , si on prolonge le sinus DI jusqu'à ce qu'il rencontre la circonférence en M, on aura BMr=zBD=^, et Ml=lD==sin b. Par le point M menez MP perpendiculaire ^t MN parallèle à AC; puisque MI=DI, on aura MN=:IL, et IN=DL. Mais on a IK— IN= W?=sm{a—b),etCK-hWS=CP=cos{a—b)'y
donc
. , , V sin a cos b — sin b cos a un \u — ^)=
, , V cos a cos b -4- sin a sin b cas (^ — b) = •
Ce sont les formules qu'il s'agissait de démontrer.
On pourrait craindre que ht. démonstration précédente ne f&t pas assez générale , parceque la figure qu'on a suivie suppose les arcs ez et ^ ^ et même a-^b plus petits, que loo^. Mais d^aib'ord la démonstration s*étend sans peine au tSLS où â et 6 étant plus petits que ioo°, leur somme n+b est > loo^. Alors le point F tomberait sur le prolongement de AC^ et le seul changement a faire dans la démonstration, serait de prendre coj (a -f-^)=:r;—CF; mais comme on aurait
352 T&IGONOMEtRIB.
«n même temps CF =: IL — CK, il ea résulte toujoutf cos(a-{'b) z= CK — IL, ou Kcot {a+b) = cas acosh — - sin a sin b.
Supposons maintenant que les formules
R sin {a + b) z=:sin a cos b -|- sin b cas a R cos ( a + 6 ) = cos a cos b — sin a sin b soient reconnues exactes pour toutes les Talears de a et de b , moindres que les limites A et B , je dis qu^elles auront encore Heu lorsque ces limites seront loo^ + A et B. £n effet , on a généralement , quelque soit Tare «, sin ( ioo° -|- or) = cos je cos ( 100° + ar) ;= — sin a?.
Ces équations sont manifestes lorsque x est < 100^, et on s*assure aisément qu'elles ont lieu pour toutes les -valeurs de j?^ au moyen de la fig. 18, où MM" et M'M'" sont deux diamètres perpendiculaires entre eux , et où l'on peut prendre successivement pour x les valeurs AM, ADMS ADBM", ADB£M'"y ou ces valeurs augmentées de tant de circonférences qu'on voudra.
Cela posé , soit .T=im-\-bj on aura
sin ( 100^ -^ m -{- b)2=z cos (^m + b) cos ( 100** -\-m-\-b ) =— .«>2 ( wi + ô).
Mais , suivant Thypothese , on connaît les valeurs des seconds membres, tant que m et b n'excèdent pas les limites A et B; donc dans cette même hypothèse on aura : R sin ( 100^ -{- m + b)z= cos m cos b — sin m sin b. R cos ( 100** -|- /w -4- ^) = — ^^^ ^ <^os b — cos m sin b. Soit 100° + m = a , puisqu'on a sin ( 100® -j- //i ) = cojot et cos ( 100° -f- /w = — sin m , il en résultera cos rnrzzsin a et sin mz=z '^ cos a; donc en faisant cette substitutioa dans les équations précédenres , on aura :
R sin ( a + è ) = sin a cos b -f- cos a sin b "Kcos {a-\-b^-=.cos a cos b^-^sin a sin b.
D'où l'on voit que ces formules, qui n'étaient démontrées d'abord que dans les limites a < A , ^ < B , le sont mainte* nant dans les limites plus étendues a < ioo*^+A, è<B. Mais , par la même raison , la limite de b pourra être reculée de 100**, ensuite celle de a^ ce qui peut se continuer indéfiniment; donc les formules dont il s'agit ont lieu 9 gueUe que soit la grandeur des arcs a et b.
TRIOONOMÉTRZS* 353
L'arc a étant composé de la somme des denx arcs a-^^b b, on aura , d'après les formules précédentes , Visinazn sin (a — b) cos b + cos {a^^b) sinb Hcosairz cas {a — b) cos b '^^ sin {a -^ b) sin b* de ceiles-ei on tire :
R sin ( fr — ft) = sin a cos b-^sin b cos a R cos ( a— 6) = cos a cos b + sin a sin b^ *miiles qui auront encore lien pour toutes Taleurs de a de b.
XX. Si dans les formules de rarticle précédent on it b=a, la première et la troisième donneront % sin a cos a cos* a-^sin* a
Sin 2a= =r « cos 2 €1= ^
îUes-ci serviront à trouver le sinus et le cosinus un arc double , k>rsqu^on connaît le sinus et la isinus de Tare simple. C'est le problème de la du* ication d'un arc.
Réciproquement pour diviser un ^c donné a en iux parties égales , mettons dans les mêmes formules ^ a à la place de a^ nous auixms
a sm ^ a cos\ a cos' ^ a^-^sm* \ a
Slfl €l^zz • , COS ilzz:z " ■ . I l w > i.. T d »
r, puisqu'on a tout-à-la-fois cos^^a + sin^ ja=R* ; cos * -j a — sin"" ^ a=R cos a, il en résulte w"~û=iR'+^Rco5aetj*«"ia=:iR"— iRcosa, 3nc
sin^ a=2 \/ {'-R' ^{Kcos a) cos l a= \/ (iR' +i.R cos a).
insi , en faisant a=ioo°, ou cos a=o , on a 71 5oo=cô5 5o«=i/'^R'=Rv/|; ensuite si l'on lit a=5o°, ce qui donne cos a-=.R.\/\^ on aura \n 25o=Ri/(i— ij/±) , et cos 25o=R ^/(l^l^jl).
XXI. On peut aussi avoir les valeurs de sin^ a et cos^ a xprimées par le moyen de sin a, ce qui sera utile (ïans leaucoup d'occasions ^ ces valeurs sont r Onz, éd. ai
354 TRIGONOMETaiB*
En effet , si on élevé la première au quarré , on aura sin *\a
=^(R*+Rji/îa)+^(R-— Rjwia)— iV/(R*— R**«>i*«) =-î R' — 7R cos a; on aurait de mêmeco** 7 tf =:-ï R'+^R cos a, ce qui s'accorde avec les valeurs précédentes es $in^ a et cos\ a. Il faut cependant observer que, si cos a ^tait négatif, le radical \/ (R'-*R sina^ devrait être pris avec un signe contraire dans les valeurs de sin 7 a et cos\a^ ce qui changerait l'une dans l'autre.
XXII. Au moyen de ces formules , il est facile de déterminer les sinus et cosinus de tous les dixièmes du quadrant.
£t d'abord soit sin %o^z=ix, 7.x sera la corde de 46% <m
le côté du décagone régulier inscrit; or ce côté est égftl
au plus grand segment du rayon divisé en moyenne et
^ ^> 4* extrême raison * ; donc si on fait le rayon égal =: i , on aura
llixll^xl 1 — 2x. De là on tire 4^'= I — ^Xy ouar'+'j.a^zj'j
donc (ar+'>)*=^H-T?=7T» donc x+^=^y^Sy et enfin «0U«/120*=^( — i+v^5).
Cette valeur , élevée au quarré , donne sin* ao'= — ;
ioH-2^/5
donc I— ^//i^2o', ou co^" 2o''=i — . Mais cos* a — sin^â
:i= cos 2a, donc cos Ao ou sin 00 = z=z -.
Maintenant, si dans les formules du n^ xxi on fait R=:i, «= 20°, et sin «=7 ( — I -h j/ 5 ) , on en déduira
sin io'*=|v/(3-4-V/5) — ^j/'(5 — v/5)
Si ensuite on fait dans les mêmes formules a = 60*, t sin az=:j ( i -|-\/ 5) , on aura
co^3o''=::^t/(54-V/5)4-il/^(3 — v/5).
Avec ces valeurs et celles qu'on connaît déjà de sin 5(>, et de sin xoo**, on peut former It tableau suivant :
tAiGoiroMiâTaix* 355
^ ^'ri^cost 00* =2 o.
ut 4o'=c(w 6o'=|v/(io— av/5)
«fi 5o*=:cot 5o*=TV/a
in 6€r=cos 4o'=f(i+v/5)
nn 9o' = coi io'=|v/(3 + l/5)+ip/(5— 1/5) rtR ioo*=cof o°=:i.
Ces valeurs peuvent se simplifier encore , puisqu'on a
<(3+|/5)— i|/io+iv/î»eH/(3-v/5)=Tl/io— 4v/a?
.*où Ton voit qu'en regardant comme connues ^ à , |/ 5 et / 10, il ne reste que quatre extractions de racines quarrées : faire pour avoir les valeurs des sinus et cosinus de tous es arcs multiples de io°.
XXIII. Nous tirerons de ces formules deux conséquences «marquables. i^ Puisque ^sùi 40** est la corde de 80**, ou le todu pentagone régulier inscrit, ce côté=:S7V/(io-"2V/5)»
Ml quarré=r ^— -. Le côté du décagone régulier
ïa«/iao*=:^( — i+v/5),son quarré=j(6— 2v/5);or ( 10— 2^/'5)=:i+-J;(6— 2\/5).Donc/<ajowi/7ïeyâàc€fa ugrré du rayon et du quarré du côté du décagone, est égalé i quarré du pentagone régulier inscrit»
:i^ Entre les sinus des divisions décimales impaires du ladrant, on a cette relation
sin 9o'+«>i 3o°+xm lô'^znsm 5o*+ j£fi 70*, • les divisions paires donnent semblablement sin 60^:2: vt ao**+~. Mais ces formules ne sont que des cas particu-* -rs , et on peut démontror que x étant un arc d*un nombre lelconqne de degrés , on a '«(i oo°-ar)H^i>ï (20*+:c)-4-f i>i (ao'-nar)==::fi/ï(6o'-nr)-f-j/^
3En effet, la formule ^tVi (a+b)-\-sin(a'^b)z:^iisinacosb, Onne
«Vt (ao'+j:) +«« (20°— a:) = 2 JtVi 20* cro^a? sin ( 6o' -I- x)+sin (60'— a:) =: 2 sin 60 cosa»
350 T&IGOUOMBTRIB.
Donc, puisqu'on a sin So'* — ^m . 3Q* :=: - , et cOi jr:s sin (}oo°*^4r), ces deux é<iuatioiis retraadiéeA Tune k Tautre, donneront
s'm (6o'4-:c) +râ (6o*-jr)->r«/ï (fto^H-ar>-x//t (ao'-«)=«îf (i oo*-cr). Formule d'où l'on tire I^quation de% divisions impaires en faisant â?=io*, et qui en général peut servir à la vérific»tion des tables de sinus. "^
xxiY. Si dans les formules première et troi4ieiBi de Varticle xix, on bit b^=z^a, on aura
sm j«= ,cojr3«= = •
■Ci A
Substituant dan& celles-ci, an lieu de simka fH cas aa^ les valeurs trouvées dans Tarticle zx, et simplifiant les résultats au moyen de Yéijfmàmt sin^a-^cos* a:=R^, on aura f;^
sm 6 a = a sm a ^-^ —
CO& 3 a^=: p, — ' — 3 C05 a. "r*
Ces lormules qui servent à la triplication des arcS) peuvent servir aussi à opérer leur trisection w division en trois parties égales. En effet, si on fait sin 3 a=c et sin a:=ix , on aura pour déterminera l'équation c R"" = 3 R"" oc — 4 .r\ D'où l'on voit que le problême de la trisection de l'angle , considéré anaJjtiquement,^ est du troisième degré.
Si dans les mêmes formulc^s de l'article xix , oi fait successivement b=iZ a^ bz=z^ a, etc. , ou aufli , les. sinus et cosinus des arcs ^a,^ a, etc. ; c'est-à-diit) en général, les sinus et cosinus des multiples de fl* Réciproquement les formules qui servent à la multt' plics^tion des arcs, donneront les équations à résoudre pour diviser un arc donné en parties égaks; c'est-à-dire, pour déterminer sin a ou cos a,. lorsqu'on connaît sin n a et cos n a.
xxT. Développbna encore les yaleurs àestnSn%K cas 5 a, 0t pour cela prenons les formules
^ sin^a cas i^a ■\- cos 3 a sin a a
cd^ 3 a a)f 2 ô — Mrt 5 d .y/« 1 a cotf (3g-|->akg)= ' -i^
Ai on 7 substitue les valeuts déjà tifoUyées ktt Ix et xur^ en aura , après les réductions ,
, ^ ... -ao«>i'rt i6«/i* a f M 5 « ::r= 5 f 2/t g — ■■ ^ , ' " H ; ■ ■ * *
^ ^ 20coj^<i i6cof*a
cof 5 a = 5 cof et rr— H ^,^ - ■*
^B'fù Ton iroit que le problème de la quintiséctiofi de Tangle 'ferait du cinquième degré, et ainsi des autres ditisioiis par les nombres premiers 7 , 1 1 9 1 3 , etc.
xxYj. Soit proposé pour exemple de trouver la Taleur de sin i*" approchée jusqu'à quinze décimales , ce qui peut être utile pour la construction des tables de sinus. L'expression de sin lo**, trouvée n** xxii, étant réduite en déci- Hnales dans la supposition de R=z=i, donne sin 10*"=: o. ï 5643 4465o 4oa3i ;*dé là on tire, par la foiiftiule du n^ xxi, *4Ôï 5'=z:o. 07845 90957 27845.
Soit maintenant sin i*z:za:, il faudra , pour avoir x , résoudre l'équation
i6x'^— 20 jr'-f-5ic=: 0.07845 90957 17845.
Si, pour abréger, on fait le second membre me, on aura à-peu-près Sse — 2ùx^=^c^ et a?=f c:-f-4(|-c)*. Or jczz: .01569 18191 et 4 (jc)^ =0.00001 5456; donc on a, pour llremiere approximation, j: = o. 01570 7275, valeur qui Ki'èât en erreur que dans la Huitième dëciniale. Pour en ilToif une plus exacte, soit .r = 0.01570 73+^, on aura, ^n substituant dans l'équation proposée , et négligeant le qnarré et les autres puissances de^^
D.o78459oo9424927+4.9852oi7j=o.07845909572784S} iToù l'on tire j^=: 0.00000 00 173 11 8207, et
ofousin i''=:o,oi570 73173 118207,
950 TKIGOirOHBTKIS.
Da siriTi» de i* ou loo', on dnluiraît semblablrineDl i smus de 5o', de lo', de S', «i enfin celui de i'.
xxvrr. Les formules de l'arlicle su fournis un grand nombre de conséquences, entie lesijiielli il suffira de rapporter celles qui sont de l'usage 1 plus fréquent. On en tire d'abord les quatre d vantes :
sinacoi 4:=:iR«n (a + i) +iRrtn (a—*)
sin b caiû=^Rji!n {a-\-b) — ^Rsï/t (a— i)
Gojacos i=jR cas {a — b) -\- ^Kcos {a + h)
sin a sin * = iRcoj {a — b) — jRcoj {a+h)
lesquelles servent à cVi iger un produit de plusifi
fiiius DU cosinus, en qus et cosinus linéaires^
multipliés seulement ] * des constantes.
xxTiii. Si dans ces formules on fait a + b:= a — b^t], ce qui donne a = , b :^ — r-,
eu déduira
.inp + .i., = t^„
-iip+l)"
aip+mi, = ^c
'Hp+i)"
•iC^-5)
lïouTelles formules qu'on emploie souvent dansls calculs trigonométriques pour réduire deux teimai un seul.
XXIX. Enfin , de ces dernières on tire encore pu , ,- . . , 1 > sin a tangi la diviâion, et ayant égard a ce que =^"5 —
— --, celles qui suivenl ;
TRIGONOMETRIE^ 359
sin p + sinq sin^(j}+q)cos\{p—q) tang\{p+q)
sinp — sin q cos^ {p-hq) «'«t (p — ^) ^^^ê^i iP"^^ sinp -^-slnq $ln\ ( j» + ^ ) tang^ ( i' + 9 ) cos p -f- cos q cos t ( /? + <7 ) R
sinp + sirCq cos^(p — q) cot^ (p — q)
^^'Î ^ — COJ/i «/?7 [p — q) R
^//i p — sin q sm\ (p — q ) tang^ (^p^^ q'^
cos p + cos q cos^ {^p — ^) R
sinp — sinq cos ^ ( /» + ^ ) ^of-J(/? + y)
cos q — cosp sin \ ^ p + q) R
cosp -{'COS q cos-^ (p-Hl ) ^^ % (/^""^ ) cot^{p'{^ )
cos q — cosp sin^ {P + ^) *^ {p — ^ ) ^^'^(P'^ )
sin (p + q) 2 J^/l^(j^-^^) cof^ (/H-g ) cost^P-H)
sin p -^ sinq a sin^ {p-hq ) ^^^t {p — q)''^cos~ {p-^) sin {p+q ) ^sini{p-{-q)cos^{p-{-q) sin^P'\-q) sin p — sin q 2 sin^ (/?— ^) cos^ {p-^ç) ^^-^t {P'^Ç)
Formules qui sont Texpression d'autant de théorèmes. De la première il résulte que la somme des sinus de deux arcs est à la différence de ces mêmes sinus, comme la tangente de la demi^somme des arcs est à la tangente de leur demi-différence.
XXX. Si on fait bz=.a ou q=:o dans les formules des trois articles précédents , on aura les résultats qui suivent :
cos* azzz^'R.* +4 Kcos^a êin* a = -jR* — j^Kcosiàa
R + cosp = iil
R — cosp =
2 sm* ^p R
2 sin \p cos ip ^ R
sinp tang^p R
1^ + cosp R ^ot^p
36o TXIGOHOl^BTmiB.
sinp cot^p R
R — cosp "^ R tang -J- p
R-f-cwjD cot^ip R?
R — cosp R* umg^ip
XXXI. Pour développer aussi quelques' formules relatives aux tangentes , considérons Fexpressîon
urne (a + b)=. - -^^— ^T^, dans laquelle la subs- ° ^ ' cos\^a-\-h) ' *
titution des valeurs de sia (a + £) et eos (d + &)9
donnera
, , V R f sin a cos b + sin h cos a^
long (a+b) =— î^ , ^. , . ^•
*^ ^ * cos a cos h — sm b sin a
^ . cos a tang a . , c<m b tamgh
Or on a sut a z= ~ — 2— et sm b = = — ^^-*
substituant ces valeurs et divisant ensuite tcAis ks termes par cos a cos b, on aura
° ^ ' R^ '^ tang a tang b
Cesx la valeur de la canc^ente de la somme de demi arcs , exprimée par les tangentes de chacun de ces arcs ; on trouverait de même pour la tangente de leur
dilTérence
, - . R* f tansr a — tang b *)
^^ ^ K^ -\- tan^ a tang b
Soit &=a, on aura pour la duplication des arcs
la formule
% R' tang a tans a a = ^r — «
d'où résulterait
fO/atf= ^^ -tang a'==,\ cota — ^tanga,
tang À il 1 tang a » ^
Soit 4 ^ a â , on aurait pour leur triplication la
formule :
^ R V tang a -|- ta/tg a a >
^ R' — Lin^ tz tang '^ a
TRIGOVOUEtEIB. 36l
dans laquelle si on substitue la valeur de king 2 a, on aura *" ^
5 3 R* tang a — tans ^ a
^ R' — 3 tangt a
XXXII. Le développement des formules trigonora\>tri-. ques , considéré dans toute sa généralité , forme une branche importante 4^ l'analyse , sur laquelle on peut consulter lexcellent ouvrage d'Euler , intitulé : Introductio in anàL Inf. , ou sa traduction par H. Labey, Nous croyons cependant devoir démontrer encore les formules qui servent à exprimer le sinus et le cosinus en fonctions de Tare, formules dont la connaissance est supposée dans la note iv, et qui d'ailleurs sont nécessaires pc/ur la construction des tables.
Et d'abord , supposant le rayon =: i , ce qui n'altère pas la g;énëralîté des résultats , on a la formule co.v' K-^sin^ A,= i , dont le premier membre peut être regardé comme le produit des deux facteurs imaginaires co^ A H-V^ — i ^^^ -A. et 505" A— V^^ 1 sinK- Si on multiplie ensenfble deux facteurs semblables cof A --h^-— 1 sinA.^ cos B-fc-v/ — i ^^/ïB, Le produit sera cos A cos B — sin A sin B -f- (.«/i A cos B -{- 9in B cos A)^— - 1 , et il se réduit par conséquent à la forme cas ( A-f-B) -f- 1/ — I sin ( A-|-B) , laquelle est semblable à chacun des facteurs. On a donc en général
icosA.-\:\/'^isiRjL) (r(wB-f-v/-i««B)=coj(A-f-B)+v/-i^«/«(A>+^ ) » et il est remarquable que la multiplication de ces sortes de quantités s'exécute en ajoutant seulement les arcs , ce qui est une propriété analogue à celle des logarithmes. On en conclura successivement
(cojA -4- V/— I -«« A) {cos AH-j/'— i.w« k^z=icos%A,+\/^i sin 2 A {cas A -I- v/— I sin A) {cos a A+ \/-^isin 2 A) 3= cay 3 A-f-v/— i sin 3 A (cwA+V/^— i««A) (cof 3A-h|/— i««3A)=c(w4 A-H^-i *''^A A.
etc.
Le premier produit est égal à (coj A + v/ — i ^w A)% le second est égal à {ços A-f-\/' — i sin A) ^; et ainsi de suite. Donc en général , n étant un nombre entier quelconque 9 on aura
{cos A + v/^— I sin LYz=:ços n A 4-^/ — i sm n A.
362 TmiGOiroMÉTRix.
De là résulte , «n changeant le signe de V/^— r 9
• ( cos A— ^— I sm A)'*= cos n A — \/' — i sin n A,
et de ces deux équations qui sont une suite Tune de Tantre, on déduira les valeurs séparées de sin /i A et cos n A. savoir:
cos n A=7 (coj A-H/' — i sin A)'*+7(cof A— i/^ — i x£fi A)"
$in nk'=z— ' — (roj A+l/— i sin A)"' — (cos A— t/— i sin A)*
av/ — 1 «V/ — »
XX XI II. Si on veut exprimer les mêmes quantités ei •érics , il faudra développer par la formulé du biaoïiM (cos A 4- \/ — I ft>i A)'*, ce qui donnera
cas" A + -cof"— ' A ^//i A\/-i— '^ ' """' coj^ — »AiiVA I
Kt col te ({uantité étant la valeur de cos n A-f-v^ — isut «A, J on t'(j[alcra séparément la partie réelle à cos nA. , et la partie imajjinaire à ^Z — i fin nA, On aura donc
€wnA=cos*A cos^^*Astn*A-\ cos'^ — ♦Afw*A*
XiVt nA^incos^—'Asin A- " — coy"— "A *t>i 'A + etc,
sérios dont la loi est facile à saisir , et au moyen desqneDd on trouve le sinus et le cosinus d*un arc multiple de A, d'une manière beaucoup plus prompte que par les opér»* tions indiquées art. xxiv.
xwiv. l^iisqu'on a sin A = «w A tang A, ces scri«s poux ont se mettre sous la forme
- / «.«— i . n.n^iM — 2.n — 3
€\M w.V = Ctv"A ï i r€3nc^A-\ /tf/ig* A— etc.
«.A' ''•* l.lf-2 ^ \
.«; V *f A 1:: AV A I « /i?.\v A — ra«^' A + etc. 1
Ni^it K =: --- « on aura « en substituant cette yaleor tt A
c\xii»ervant cependant le facteur ccw* A,
TRIGONOMETRIE. 365
f ar.av-A tang^K ar.jr— A.a>-2A.a>-3A tang*A. \
cosxzzco^M i-»— ^ : 1 — ^ • — r-i «te. J
9inx=co^h\ -• — ^ -— ^r h etc. 1
Vi A 1.2.3 h} J
Dans £65 formules on peut prendre A à volonté ; supposons
A très-petit, alors — ^ — sera très-peu différent de l'unité,
parceque la tangente d'un arc très-petit est presqu'égalc à Tare. Cependant , tant que l'arc n'est pas nul , on a
tang A.>A. (i) ou — ^ — > i ; on a en même temps
A>.«A(.); doncîf^<'^,ouîf^ <.-!-. De ^ A sinA A cos A.
tang A , ,
là on Yoit que le rapport — ^ — est toujours compris entre
les limites z et . Soit A=o , on aura cos A= i ; donc
co^ A
tung A. I
puisque est'compris entre i et « il faudra qu*oa
A cos A
tangk. ^ - . ^
ait exactement — - — = i. Donc en faisant Arro , on aura
' ' ' rri a / g g +^^^' ) 1.2 1.2.3.4 1.2.3.4.5.0 /
sinx=cos'^A.[ j:— 1 — etc. )
Il reste à yoir ce que devient cosf^ A , lorsque A diminue
de plus en plus, et devient enfin zéro. Or on a — --- =
cos* A
sec* A= I -\-tang* A ; donc cw A = ( i-i-tang* -^ ) * » ^^^^
€Os'*Â:=df i-^tang*A) ';=:i — tang * AH — '- tang^h.^ etc-
(i) AT est plas grand que AM, parceqne le triangle ATC est an sec- fig. t^ teur ACM : : ATX -j AC : AMX 7 AC : : AT : AM.
(a) AM est plus grand ^e MP; parce qiie Tare MAN est plus grand ifue M corde Mlf .
COJf"
