X . tang* K x,x+*kk. ^ tang^ El

A=i — A r 1 — — A'*— TT elf,

Si Ton imagine maintenant que A diminue déplus euphis, X rcsfVinl la même , la valeur de ero^'* A approchera de phs

tangK

en plus de Tunité; enfin, si Ton fait A=oet — - — =i,

on aura exactement cos^ A=i. Donc on a les foramles

€OiXZZlP 1 -r — — ■ ■ ^ ^-^^

sin .r = X — — — -— -| — * — clC.

par lesquelles on pourra calculer le sinus et le cosinvsd'ini arc dont la longueur est donnée en parties du rajon pns pour unitë

xxw. Ces mêmes valeurs peuvent être exprimées d'une Manière succincte, par le moyen des exponentielles. Pour cela , il faut se rappeler que e étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est 1 , on a

Si « dans cf tte formule , on fait z=zr\^ — i, il en résultera

e*^ ~"'=i-| 1 1 ;:— etc.

O:: aurait sembîablement en dian^eant le signe de ^ — l

* ^ *=i 1 1 etc.

ÏV îà on tirp

1 1 eie-

— elc.

rr:fs *L".r.: *,r* wo,'.?»,^* TDntîciK sort ies i-al-ears titw^rtl

trigonomiStrie. 365

tos X r= , sin X = —

^V — » e"~*^ — * sinx

d'où l'on tire — ^ — ^ — =V/ — i . =:v/— x tansx^

^"^ — -j^e^'^^ — ' cosx ^

formule dont pn a fait usage , note iv.

Le» mêmes formules donnent e*v/ — »= cof jt+v/— i sinx^ € — *v^ — i=icpxa:^V/-- i**^-5P5 donc» en divisant Tune

w^ cos X'\-\/ — I sin X

par lautre , on aura e ^ == — ■. =:

*^ cos jr-^ \/ "-^ \ sm X

j|^Y/— I tangx

= , ou eu prenant les logarithmes de chaque

1— \/ — I tangx

/i -h V — I tang j:\

membre, aarv^— in^log. ( )• Mais on

\ I — \/ — I tangx/

t^it que log. \ Vrsaa-f-- ** ^~ ê «*+ctc. ; mettant

donc \/— t tang xau lieu de z, et divisant de part et d'autre par ^V — i , on aura

jp=Ya7ïg'a:— j tan^ x-^^ tang^ x^^jtang ^ a:+ etc. Formule très-simple qui sert à calculer l'arc par sa tangente 9 lorsque celle-ci est plus petite que l'unité.

XXXVI. Pour appliquer les formules précédentes à la détemônation du sinus et du co&inus d'un arc donné en degrés et parties de degré , il faiftt avoir la longueur de cet are exprimée en parties du rayon ^ ou , ce qui revient au même , il faut avoir le rapport de cet arc au rayon. Or, le rayon étant i , la demi -circonférence ou l'arc de 200* = 3. 141^9 a6535 89793a. Soit ce nombre=7r,la longueur de l'arc — . 100° sera ^ — .—^; donc si on fait dans les

formules^ précédentes x ziz — ^. — - , qu'ensuite on remette

la valeur de ir , et qu'on calcule les coefficients jusqu'à seize décimales , on aura les formules suivantes :

THIGOirOMETBIB.

sin Ç — • loo** j=

cosf — • 100® j=i

i.ooooo 00000 000000

jn'

— i.a3370 o55oi 361698—;

— o.oao86 34807 63353o— ;

+o.c»ooo 00000 ooooo3— —

n in

m .00000 ooo63 866o3i— — r

.00000 00000 005294 — fî

+0.00000 00000 oooo34 — ;7

Les sinus et cosinus des arcs depuis zéro jusqu'à 5o*, comprennent les sinus et cosinus des arcs depuis 5o* jusqu'à 100*; car on a jih (5o*+2)=cof (5o* — z) et cos (5o*+z)= sût (50""^— z). Donc, dans les formules qui donnent les

valeurs de sut — 100 et cas — 100 , on pourra toujours

ft n

m supposer — < -^ ; de sorte que les séries seront tellement

couTergentes , qu'il n'en faudra jamais calculer qu'un petit nombre de termes , sur- tout si on n'a pas bcsoia de bcaseoup de décimales.

mTîxsnri-

tWQWWi

fa" = 5** =

rue ^a