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De la amstruciion des iahUs c*V jr;>;ciu>\

xzxTn. La la^aats ntil«s à cpii oc do:t ]» première cons- Irncdoo ds tailles de sinas . ont fv>i:«îe I^-r.r» c^lcuU $ur vl<'« inéduides ÎB^éuenses , mais dont Tap f>lù-aition et;iiit Ik^rt P^niUe. L'aulrse a fourni depuis des méthodes be«uc\n)p pla$ expcdidrcs pour remplir cet objet ; mais le* csîouU ^tant déjà faits , ces méthodes seraient restées sans api^î cation, si rétablissement du système m^lr;iue n ei\t fourni l'occasion de calculer de nouvelles tables conformes à la dirision décimale du cercle.

Ponr donner une idée des méthodes qu*on peut suivre dansia construction des tables , supposons qu*il s*«gisse de calculer les sinus de tous les arcs do minute en minute , 'epnis I minute jusqu'à loooo minutes ou loo degrés; nous irons le rayon=i, Tare d'une minute = a^ et d*«bonl il Indra trouver le sinus et le cosinus de l'arc A avec un rand degré d'approximation.

Le rayon étant i , on sait que la demi- circonférence ou arc de 2oo'=3. 14159 a6535 8979*32 j divisant ce nombre

368 TEIGOVOMSTftIS.

parioooo,onararcde i ' on 0=0.0001570796 32679489^

valeur ci acte jusque dans laTingtieme décimale. Quand m

arc est trcs-peHt, son sinus est sensiblement égal à Tan,

ainsi on a à très^peu près tin a=o.oooi5 70796 82679

48966. Mais cette valeur est déjà en erreur à la treizième

«lécirnale , laquelle n'est que le dixième chiffre significatif.

Pour en avoir une plus exacte, le moyen le plu^ simple est

de recourir aux formules de l'art. 36, dans lesquelles, si <M

fait — =■ , on aura immédiatement , par les deux ra

trob premiers termes de chaque série,

jrrW /!;;=: 0.000 1 5 70796 3ao33 5^5563

r<vci=io.99.)99 99876 62994 Sa4oo 5a5J

valeurs exactes jusqu'à la vingtième décimale pour le sÙÊm,

et jusqu'à la vingt-quatrième pour le cosinus.

\KXviii. Connaissant le sinus et le cosinus de l'arc d'oM

minute désigné par a , pour en déduire succeasîveaeat kl

sinns de tous les arcs multiples de «^ on fera dans ks f<»-,

mules de Tart. aa,7' = jr-4-^j g=x— -a. La iHremirre eth

troisième donneront par cette substitution , et en iaisnt

toujours R ^ I «

sin y^.r -f- rt '^ =: 1 rrw a fin jr — sin (.r — a )

f A* ^ .r -|- <j ' zr î cof <i co< .r — cos ^ jt — a )

Il n^sulte de ci?s formulfs qi:e si en a une suite d*aicsei

pr\>i:ro*sioîi arithmétique . dont la différence soit a , lenn

*i«u< tor:uen.^nt une su::* récurrente dont réchelle de

fYUtioa r5î i<vor»:. — T. c'est -i-dire, que deux sinus

wmstv.;!!* \ et Be:ar.: «:i'cv.l-.5. or. îro avéra le suivant C,

t:î rau.^î^-îîar: B j^ir i vV-- .: . A f*r — i • el ajoutant les

ô^,;v vTvxiu* ;ii . c^ q"i dcr.r.^rî C = 3 B rcj a — A- Les c»-

sir.u* .*<■* "::;r*.r* jitv* :>Tr:f r,'r.: -,^i>=i*r: une soite rtfstr

Vftx:\< *i»x*.î '. . .■ . i^". f ,:e r;!.- ,.j-r. fît 1 .-.v «s , — i : {^ 121

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V ï S^ rz «i ,*

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f T&IGONOMâTlItB» 369

[. n ne s'agit plus que d'exécuter les opérations in* , en substituait les valeurs de sin a et cos a. Si on nstruire des tables de sinus avec 10 décimales , il ie prendre les valeurs de sin a et cos a approchées 16 décimales , savoir :

jr</i a = 0.000x5 70796 3ao33S cw = 0.99999 99^7^ 6a9945

mme cos a diffère très-peu de l'unité , il y a un moyen îation dont il faut profiter. Soit X- 2z a ( i -^cos a)ss

00246 7401x0, ou aura 2 cof as=a-»X> ce qui a,

' x-\-a) — sin arsr:^i7tar— •«/i(x— <i)— /■ sin x \x-\-a) — cos xz:^ cos x»^^ cos (x— £«)— -/* cosx

voir le terme sm (x+a) il suffit d'ajouter au terme ent sinx la différence sin (x+<<) — sinx^ laquelle mjour^ très-petite : or cette différence est, suivant iule , égale à nne différence semblable déjà calculée - ^c/2 (x — * a ) ,moins le produit de sin x par le nombre nt A-. Cette multiplication est donc la seule opération

1 longue qu'on ait à faire pour déduire un sinus des précédents; mais il faut observer x^ qne l'on n'a bee connaître le produit que jusqu'à la seizième décice qui donnera fort peu de chiffres à calculer; 0^ que il tipli cations peuvent être abrégées beaucoup en for- L'avance les produits du nombre constant 2467401 10

a , 3 jusqu'à 9 ; car , par ce moyen , on aura immé- Lent les produits partiels qui résultent des différents s du multiplicateur stn x^ et il ne restera plus qu'à 'addition de ces produits , en se bornant toujours à ieme décimale.

mêmes procédés devront être suivis dans le calcul des lS ; et , lorsqu'on aura prolongé l'une et l'antre sérief» à So**, la table sera complète.

Il est nécessaire , nous le répétons , de calculer les avec 16 décimales, c'est-à-dire avec cinq ou six dés de plus qu'on n'en veut avoir réellement , afin assuré que les erreurs , qui peuvent se multiplier le cours de 5ooo opérationii , n'influeront cependant

3^0 tAli;01fO»£T&l«.

pas sur la .dixième décimale des derniers résolUits. Le càleol fait , on retranchera les décimales superflues et on ne contj fttryera dans la table que dix décimales.

Au reste , quand il s'agit d'exécuter tant de calculs, oïL doit clierclier à vérifier les résultats aussi souvent qu'il est possible. Dans l'exemple que nous avons apporté d'une table calculée de minute en minute, il serait nécessaire de calculer préalablement les sinus et cosinus dLe degré end^ gré ^ ce qui fera , de loo termes en loo termes , une Yér&* cation très-utile. Or , pour calculer les sinus de degré fl degré 9 on aies formules et les valeurs qui suivent :

êtl

sin («c-h i") — fùi.Tz=zfùi x — sin{^x — i*) — hginx

c^OA• (.c-j- i") — €OS jrz=zcos X — coy(ar— 1*)— Actw*

sin i* = 0.01570 73173 ii8ao 676

cos 1* = 0.99987 663^4 81660 599

A=a(i — ro5-i*)= 0.00024 67350 36678 802

Les sinus calculés de degré en degré se vérifieront eoi' mêmes de dix en dix par les valeurs déjà connues deiûrio', >in 'ào*^ etc. Enfin lorsque la table entière est constmite, on peut encore la vérifier de tant de manières qu'on Toodn par IVquation